Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

• Основные понятия
• Дифференциальные уравнения первого порядка
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Asosiy tushunchalar

Matematika, fizika va boshqa fanlarning turli muammolarini hal qilishda matematik modellar ko'pincha, mustaqil o'zgaruvchi x, izlanayotgan funktsiya y = f(x) va uning hosilalari bog’lovchi tenglamalar shaklida qo'llaniladi. Bunday tenglamalar differentsial tenglamalar (DT) deb ataladi.
Differentsial tenglama yozilishi:
Differensial tenglamaning tartibi tenglamadagi eng yuqori hosilaning tartibidir.
Masalan, tenglama
ikkinchi tartibli tenglamadir

Asosiy tushunchalar

Agar izlanayotgan funktsiya y = f(x) bitta erkin o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, differensial tenglama oddiy deb ataladi, aks holda u xususiy differensial tenglama hisoblanadi.
Differensial tenglamani yechimi deb funksiyani tenglamaga qo’yganda ayniyatga aylantiradigan funksiyaga aytiladi, yechimni topish jarayoni differensial tenglamaning integrallash deb ataladi.
Masalan, tenglamani ko'rib chiqing:
Tenglamaning echimi. Chunki
Funktsiyani va uning hosilalarini tenglamaga qo’yganda, ayniyatga ega bo’lamiz

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Birinchi tartibli differentsial tenglama quyidagi shaklga ega:
Agar tenglamani quyidagicha yozish mumkin bo'lsa:
u holda hosilaga nisbatan echilgan birinchi tartibli DTdeyiladi.
Birinchi tartibli tenglamani differentsial shaklda ham yozish mumkin:
P(x; y) и Q(x; y) – ma'lum funktsiyalardir.
DTni umumiy holatda integrallash bir-biridan o’zgarmas qiymatlar bilan farq qiluvchi cheksiz yechimlar to‘plamiga olib keladi.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Masalan, tenglamani yechimi
va umuman shaklning har qanday funktsiyasi
Differensial tenglamaning yechimi konkret ma'noga ega bo'lishi uchun u qo'shimcha shartlar bo'ysunishi kerak.
x = x0 da у funksiya berilgan у0,songa teng bo’lishligi boshlang’ich shart deyiladi va qo’yidagicha yoziladi :
, va

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi qo’yidagi shartlarni qanoatlantiruvchi fbitta ixtiyoriy o’zgarmasga ega bo’lgan funksiya aytiladii
у(x0 ) = у0 bosglang’ich shart qanday bo’lishidan qatiiy nazar С0 o’zgarmasning qiymatini topish mumkin, funksiya
funksiya har bir fiksirlangan C ning qiymantida DT echimi bo’ladi
bu dastlabki shartni qanoatlantiradi.
Birinchi tartibli DT ning xususiy yechimi deb С = С0 o’zgarmasning aniq qiymatidagi umumiy yechimdan olingan funktsiyadir
Agar differensial tenglamaning umumiy yechimi yashirin shaklda topilsa : Ф(x; y; C) = 0, u holda bunday yechim umumiy integral deyiladi, Ф(x; y; С0) = 0 tenglama xususiy integral deyiladi.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deyiladi
Geometrik nuqtai nazardan, birinchi tartibli DT ning umumiy yechimi XOY tekisligidagi integral egri chiziqlar oilasidir.
Masalan, DT ning umumiy yechimi
parabolalar oilasi mavjud :
x
y
0
Xususiy yechim - М(х0; у0) nuqtadan o'tuvchi egri chiziqdir
Boshlang’ich shartni qanaoatlantiradigan xususiy yechim : у(1) = 2 - bu bitta parabola, nuqtadan o’tuvchi М(1, 2) qo’yidagi tenglama bilan:
Berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.

O’zgaruvchilari alamashadigan tenglamalar

Eng sodda birinchi tartibli DT qo’yigagi shaklning tenglamadir :
Bunday tenglama o'zgaruvchalari ajraladilgan tenglama deyiladi..
Bu tenglamani har bir qismini integtallab:
- DE ning umumiy integrali.
Umumiyroq holat shakl :
(1)
(2)
(2)tenglama (1) tenglamaga har bir qismini qo’yidagiga bo’lish orqali hosil qilinadi