Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

2 Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari
Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , , 0, -, 1^, 0⁰, ⁰ ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.


1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x0 da f(x)0 va g(x)0 bo‘lsa, nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha xa da nisbatning limitini topishga qaraganda nisbatning limitini topish oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.


1-teorema. Agar
1) f(x) va g(x) funksiyalar (a-;a)(a;a+), bu erda >0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)0, g‘(x)0;
2) ;
3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz)
=A
mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud va
= (2.1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra f(x)=0=f(a), g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda x kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan
(2.2)
bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a bo‘lganligi sababli, xa bo‘lganda ca bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan = =A kelib chiqadi.
Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Misol. Ushbu limitni xisoblang.
Yechish. Bu holda bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi.
Haqiqatan ham,
1) , ;
2) ;
3) bo‘ladi.
Demak, 1-teoremaga binoan .
1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas.
Masalan, funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni qanoatlantiradi va , lekin
mavjud emas, chunki n da

n da esa
.
2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,
1) (c;+) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)0,
2) ;
3) hosilalar nisbatining limiti ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti mavjud va
= (2.3)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.