Ehtimollar nazariyasi. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish reja: Ehtimollarni qo'shish

Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Ikki mustaqil hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli LEKIN va DA bu hodisalarning ehtimolliklarining mahsulotiga teng va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
5-misol Tanga ketma-ket uch marta tashlanadi. Gerbning uch marta ham tushishi ehtimolini toping.
Yechim. Gerbning tangani birinchi otishda, ikkinchi marta va uchinchi marta tushish ehtimoli. Gerbning uch marta tushishi ehtimolini toping:

Ehtimollarni ko'paytirish bo'yicha muammolarni o'zingiz hal qiling va keyin yechimga qarang
6-misol To'qqizta yangi tennis to'pi bo'lgan quti bor. O'yin uchun uchta to'p olinadi, o'yindan keyin ular orqaga qaytariladi. To'plarni tanlashda ular o'ynalgan va o'ynalmagan to'plarni ajratmaydilar. Uchta o‘yindan keyin qutida o‘ynalmagan to‘plar qolmasligi ehtimoli qanday?
7-misol Kesilgan alifbo kartalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta kartochka birin-ketin tasodifiy chiziladi va ular paydo bo'lgan tartibda stolga qo'yiladi. Harflarning “tugash” so‘zini hosil qilish ehtimolini toping.
8-misol To'liq kartalar to'plamidan (52 varaq) bir vaqtning o'zida to'rtta karta chiqariladi. Ushbu to'rtta kartaning hammasi bir xil kostyumda bo'lish ehtimolini toping.
9-misol 8-misoldagi kabi muammo, lekin har bir karta chizilganidan keyin pastki qismga qaytariladi.
Ko'proq murakkab vazifalar, unda siz ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz, shuningdek bir nechta hodisalarning mahsulotini hisoblashingiz kerak - sahifada "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish bo'yicha turli vazifalar".
O'zaro mustaqil hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimolini 1 dan qarama-qarshi hodisalar ehtimoli ko'paytmasini ayirish, ya'ni formula bo'yicha hisoblash mumkin.
transkript
1 Javob = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P(4, 5, 6) = a) P 4 = 24; b) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Yetarli emas, 9, Hodisalar bo‘yicha harakatlar Agar test natijasi ushbu hodisaning yuzaga kelishi yoki ro‘y bermasligiga olib kelsa, hodisa tasodifiy yoki mumkin bo‘lgan hodisa deb ataladi. . Masalan, tanga otishda gerbning yo'qolishi; zar otishda 3 ga teng ochkolar soni bo'lgan yuzni tushirish. Agar sinov sharoitida u albatta sodir bo'ladigan bo'lsa, hodisa aniq deb ataladi. Masalan, faqat oq sharlar bo'lgan urnadan oq sharni olish; zar otishda 6 balldan ko'p bo'lmagan ball tushirish. Agar sinov shartlariga ko'ra sodir bo'lmasligi ma'lum bo'lsa, hodisa imkonsiz deb ataladi. Masalan, bitta zar otishda etti ochko yo'qotish; oddiy kartalar to'plamidan to'rttadan ortiq eys chizish. Tasodifiy hodisalar A, B, C va hokazo alifboning lotin harflari bilan belgilanadi. Voqealar qo'shma va bir-biriga mos kelmaydi. Agar sinov sharoitlarida ulardan birining sodir bo'lishi boshqalarining sodir bo'lishini istisno qilsa, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Masalan, bir tanga otish bilan gerb va dumlarning yo'qolishi; bitta zarba bilan urish va o'tkazib yuborish. Hodisalar qo'shma deb ataladi, agar sinov sharoitida ulardan birining paydo bo'lishi boshqalarning sodir bo'lishini istisno qilmasa. Masalan, bir vaqtning o'zida ikkita miltiqdan o'q uzishda nishonga tegish va g'oyib bo'lish; ikkita tanga otishda ikkita gerbning yo'qolishi. Hodisalar bir xil ehtimollik deb ataladi, agar berilgan test shartlariga ko'ra, bu hodisalarning har birining sodir bo'lish ehtimoli bir xil bo'lsa. Bir xil ehtimolli hodisalarga misollar: tanga otishda gerbning yo'qolishi va dumlarning yo'qolishi; 13
2 bitta zarni otishda 1 dan 6 gacha nuqtalar sonini tushirish. A yoki V hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat bo'lgan S hodisasi hodisalar yig'indisi (birlashmasi) deb ataladi va C = A + B (C = A B) bilan belgilanadi. A va V hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat bo'lgan S hodisasi bu hodisalarning hosilasi (kesishmasi) deb ataladi va C = A B (C = A B) bilan belgilanadi. A hodisaning sodir bo'lmasligidan iborat bo'lgan S hodisa qarama-qarshi hodisa deyiladi va A bilan belgilanadi. Qarama-qarshi hodisalar yig'indisi ma'lum bir hodisa Ō, ya'ni A + A = Ō. Qarama-qarshi hodisalarning hosilasi imkonsiz hodisa (V), ya'ni A A = V. Mumkin bo'lgan hodisalar to'plami, agar sinov natijasida ushbu hodisalardan kamida bittasi paydo bo'lsa, to'liq guruhni tashkil qiladi: n A i = Ō. i=1 Misol uchun, o'limni uloqtirganda, birdan olti ballgacha o'tkazib yuborilganlar, to'rtta sinovdan o'tgan lampochkadan iborat A hodisasining to'liq guruhini tashkil qiladi, barchasi nuqsonli; hodisa B barcha lampalar yaxshi. Hodisalar nimani anglatadi: 1) A + B; 2) A B; 3) A; 4) B? Yechim. 1) A hodisasi - barcha lampochkalarning nuqsonli bo'lishi va B hodisasi - barcha lampochkalarning yaxshi ekanligi. A + B hodisalarining yig'indisi barcha lampochkalarning nuqsonli yoki yaxshi bo'lishi kerakligini anglatadi. 2) A B hodisasi lampochkalari ham nuqsonli, ham yaxshi bo'lishi kerak, shuning uchun A B hodisasi mumkin emas. 3) Barcha lampalar nuqsonli, shuning uchun kamida bitta lampochka yaxshi. 4) B barcha lampalar yaxshi, shuning uchun B kamida bitta lampochka nuqsonli. o'n to'rt
3 2.2. Bitta raqam tasodifiy sonlar jadvalidan tasodifiy ravishda olinadi. A hodisasi tanlangan son 2 ga, B hodisasi tanlangan son 3 ga boʻlinadi. Hodisalar nimani anglatadi: 1) A+B; 2) A B; 3) A B? Yechim. 1) a + B hodisalar yig'indisi - bu A yoki B hodisalaridan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa, ya'ni tasodifiy tanlangan son 2 ga yoki 3 ga yoki 6 ga bo'linishi kerak. 2) A B hodisalarining mahsuloti A va B hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishini anglatadi. Shuning uchun tanlangan raqam 6 ga bo'linishi kerak. 3) A B tanlangan son ga bo'linmaydi. Ikki otuvchi bitta nishonga bittadan o'q uzadi. Hodisa A birinchi otishma nishonga tegadi; B hodisasi ikkinchi otuvchi nishonga tegadi. Hodisalar nimani anglatadi: a) A + B; b) A B; c) A + B; d) A B? Yechim. a) A+B hodisasi quyidagilarni bildiradi: otuvchilardan kamida bittasi nishonga tegsa; b) A B hodisasi: ikkala o‘q ham nishonga tegishini bildiradi; c) A+B hodisasi: kamida bitta o‘tkazib yuborilganligini bildiradi; d) hodisalar A B degani: ikkalasi ham xato qiladi Ikki shaxmatchi bir o'yin o'ynaydi. A hodisasida birinchi o'yinchi, B voqeasida ikkinchi o'yinchi g'alaba qozonadi. To'liq hodisalar guruhini olish uchun belgilangan to'plamga qanday voqea qo'shilishi kerak? Yechim. C hodisasi chizish Ikki nusxadagi bloklar berilgan a 1 va a 2. Tizim yopilgan voqeani yozing. Yechim. Keling, quyidagi belgini kiritamiz: A 1 hodisasi, a 1 blokining xizmat ko'rsatishi mumkinligidan iborat; a1 a 2 ni bloklaydigan 2 2 hodisa sog'lom; S - tizim yopilgan hodisa. Bloklar ortiqcha, shuning uchun bloklardan kamida bittasi ishlaganda tizim yopiladi, ya'ni S = A 1 + A uchta blokli tizim a 1, a 2, b berilgan. Voqealarni yozing - 15
4 ta galstuk, tizim yopiq ekanligidan iborat. Yechim. Belgilanishni kiritamiz: A 1 a a 1 2 b a 1 blokining xizmat ko'rsatishi mumkinligidan iborat bo'lgan quyidagi hodisa; 2 ni bloklaydigan 2 hodisasi sog'lom; B blok b sog'lom ekanligidan iborat hodisa; S - tizim yopilgan hodisa. Keling, tizimni ikki qismga ajratamiz. Ikki nusxadagi bloklardan tashkil topgan tizimning yopilishi, biz ko'rib turganimizdek, A 1 + A 2 hodisasi sifatida yozilishi mumkin. Butun tizimning yopilishi uchun B blokining xizmatga yaroqliligi doimo talab qilinadi, shuning uchun S = (A 1 + A 2) B. Mustaqil yechish uchun masalalar 2.7 . Bitta raqam tasodifiy sonlar jadvalidan tasodifiy ravishda olinadi. Hodisa Tanlangan raqam 5 ga bo'linadi, B hodisasi bu raqam nol bilan tugaydi. Hodisalar nimani anglatadi: 1) A+B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Uchta otuvchi nishonga o'q uzadi. Voqealar: birinchi otishmaning nishonga 1 zarbasi; Ikkinchi otishuvchi tomonidan 2 zarbasi; Uchinchi otuvchi tomonidan 3 zarbasi. Hodisalarning to'liq guruhini yarating Qutidagi bir xil o'lchamdagi, ammo turli xil rangdagi bir nechta to'plar mavjud: oq, qizil, ko'k. Voqea K i tasodifiy olingan qizil to'p; hodisa B i oq; hodisa C i ko'k rangda. Ikkita to'p ketma-ket chiqariladi (i = 1, 2 - chiqarilgan to'plarning seriya raqami). Quyidagi hodisalarni yozing: a) A hodisasi, tasodifiy olingan ikkinchi to'p ko'k bo'lib chiqdi; b) A hodisasi; c) B hodisasi ikkala shar ham qizilmi? Voqealarning to'liq guruhini tuzing. Nishonga uchta o'q uziladi. Hodisalarni hisobga olgan holda A i (i = 1, 2, 3) i-o'q paytida nishonga tegishi. Quyidagi hodisalarni A i va A i orqali ifodalang: 1) 16 ta zarba yo‘q
5 gol; 2) nishonga bitta zarba; 3) nishonga ikkita zarba; 4) nishonga uchta zarba; 5) nishonga kamida bitta zarba berish; 6) kamida bitta o'tkazib yuborish Quyidagi hodisalar mos kelmaydimi: a) tanga tashlash tajribasi; hodisalar: A gerbning ko'rinishi, B raqamlarning ko'rinishi; b) nishonga ikki marta zarba berish; hodisalar: Va kamida bitta zarba, Kamida bitta o'tkazib yuborish Quyidagi hodisalar teng darajada mumkinmi: a) tanga tashlash tajribasi; hodisalar: A gerbning ko'rinishi, B raqamlarning ko'rinishi; b) egilgan tanga tashlash tajribasi; hodisalar: A gerbning ko'rinishi, B raqamlarning ko'rinishi; v) tajriba: nishonga otish; hodisalar: A hit, B miss Quyidagi hodisalar hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi: a) tanga otish tajribasi; voqealar: gerb, B shakli; b) ikkita tanga tashlash tajribasi; hodisalar: A ikki gerb, B ikki raqam Zar otish. Hodisalarni belgilaymiz: 6 ball yo'qotish, B 3 ball yo'qotish, C juft sonli ball yo'qotish; D uchga karrali nuqtalar sonini tushirish. Ushbu hodisalar o'rtasidagi munosabatlar qanday? A, B, C ixtiyoriy hodisalar bo'lsin. Quyidagi hodisalar nimani anglatadi: ABC; ABC; A+BC; ABC+ABC++ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Ixtiyoriy A, B, C hodisalar orqali quyidagi hodisalar uchun ifodalarni toping: a) faqat A hodisa sodir bo'ldi; b) A va B sodir bo'ldi, C sodir bo'lmadi; v) uchala voqea sodir bo'lgan; d) ushbu hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lgan; e) kamida ikkita hodisa sodir bo'lgan; e) bitta va faqat bitta hodisa sodir bo'lgan; g) ikkita va faqat ikkita voqea sodir bo'lgan; 17

EHTIMOLLAR NAZARIYASI Elementlari. Ehtimollar nazariyasi - tasodifiy sinovlarda paydo bo'ladigan naqshlarni o'rganadigan matematikaning bo'limi. Sinov natijasi testga nisbatan tasodifiy, agar bu davomida bo'lsa

1 Kombinatorikaning asosiy tushunchalari 1 Qo'llash ta'rifi 1 dan n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasi n-faktorial deb ataladi va yoziladi Misol 4 Hisoblash! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18