Ekonometrikada ehtimollar nazariyasining va matematik statistikaning asosiy tushunchalari

2.2. To‘plamlar va ularning xossalari
Statistikada to‘plam iborasi juda keng qo‘llaniladi. To‘plam hajmi deb bu to‘plamdagi obyektlar soniga aytiladi. To‘plamning quyidagi turlari mavjud:

• 
  asosiy;
  
• 
  tanlama;
  
• 
  cheklangan;
  
• 
  cheksiz.
  

Tanlanma to‘plam, yoki oddiy kilib, tanlanma deb tasodifiy ravishda tanlab olingan obyektlar to‘plamiga aytiladi.
Bosh to‘plam deb tanlanma ajratilgan obyektlar to‘plamiga aytiladi.
Masalan, 1000 ta detaldan tekshirish uchun 100 ta detal olingan bo‘lsa, u holda bosh to‘plam hajmiga N=1000, tanlanma hajmi esa n=100.
Bosh to‘plam ko‘pincha chekli sondagi elementlarni o‘z ichiga oladi. Ammo bu son ancha katta bo‘lsa, u holda hisoblashlarni soddalashtirish yoki nazariy xulosalarni ixchamlash maqsadini ko‘zda tutib, baʼzan bosh to‘plam cheksiz ko‘p sondagi obyektlardan iborat deb faraz qilinadi. Bunday yo‘l qo‘yish shu bilan oqlanadaki bosh to‘plam hajmini orttirish tanlanma maʼlumotlarini ishlab chiqish natijalariga amalda taʼsir etmaydi.
To‘plam birligi - kuzatish talab etiladigan element.
Belgi - to‘plam birligining belgilar turlari:

• 
  sonli;
  
• 
  son bilan ifodalab bo‘lmaydigan.
  

Variatsiya - belgining o‘zgarishidir.
Variant - o‘zgaruvchi belgining konkret ifodasi. Variantlar lotin harflarida belgilanadi.
Masalan:

O‘zgaruvchi belgining miqdorlari majmuasi variatsion qator deb ataladi.
Agar variantlarni ko‘payish yoki kamayish bo‘yicha joylashtirsak, tartibli variatsion qatorni tuzamiz.
2.3. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar
Tasodifiy miqdor X deb, avvaldan nomaʼlum bo‘lgan va oldindan inobatga olib bo‘lmaydigan tasodifiy sabablarga bog‘liq bo‘lgan hamda sinash natijasida bitta mumkin bo‘lgan qiymat qabul qiluvchi miqdorga aytiladi.
Diskret (uzlukli) tasodifiy miqdor deb, ayrim, ajralgan qiymatlarni maʼlum ehtimollar bilan qabul qiluvchi miqdorga aytiladi. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin.
20 ta talabalar ichida o‘g‘il bolalar soni 0,1,2,.........20 qiymatlarni qabul qilish mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdordir.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarini qabul qilishi mumkin bo‘lgan miqdorga aytiladi.
To‘pdan otilgan snaryadning uchib o‘tgan masofasi tasodifiy miqdordir. Bu miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari (a,v) oraliqqa tegishlidir.
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko‘paytmalari yig‘indisiga aytiladi:
(1)
Matematik kutilishning xossalari.
1-xossa. O‘zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o‘zgarmasning o‘ziga teng:
(2)
2-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
(3)
3-xossa. Ikkita erkli X va U tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko‘paytmasiga teng:
(4)
4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi qo‘shiluvchilarning matematik kutilishlar yig‘indisiga teng:
(5)
tasodifiy miqdorning - tartibli boshlang‘ich momenti deb, miqdorning matematik kutilishiga aytiladi:
(6)
tasodifiy miqdorning - tartibli markaziy momenti deb, miqdorning matematik kutilishiga aytiladi.
2.4. Tasodifiy miqdorlarning xarakteristikalarini hisoblash
Arifmetik o’rtacha
(7)
Chastota (m) - absolyut miqdor bo‘lib, har variantning to‘plamda necha bor uchrashuvini ko‘rsatadi.
Chastotaning nisbiy ko‘rinishi chastota ulushi deb ataladi.
(8)
Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar ro‘yxatiga aytiladi.
Variatsiya chegarasi (R) - variatsion qatorning ekstremal qiymatlari farqiga aytiladi.
(9)
 O‘rtacha chiziqli farq :
(torttirilmagan), (10)
(torttirilgan) (11)

Dispersiya   - variantlarning arifmetik o‘rtachadan farqlarining o‘rtacha kvadrati.
(torttirilmagan), (12)
(torttirilgan) (13)
O‘rtacha kvadratik farq  - belgining o‘zgarishini ifodalaydi va quyidagicha hisoblanadi:
- (torttirilmagan), (14)
- ( torttirilgan) , (15)
Variatsiya koeffitsiyenti (V) - nisbiy ko‘rsatkich bo‘lib, belgining o‘zgarishini ifodalaydi va protsentlarda ifodalanadi.
- variatsiya chegarasi bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti, ossillyatsiya koeffitsiyenti.
- o‘rtacha chiziq farq bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti.
- kvadrat farq bo‘yicha variatsiya koeffitsiyenti.
Moda  deb eng katta chastotaga ega bo‘lgan variantaga aytiladi. Masalan, ushbu
variant 1 4 7 9
chastota 5 1 20 6
qator uchun moda 7 ga teng.
Mediana   deb variatsion qatorni variantalar soni teng bo‘lgan ikki qismga ajratadigan variantaga aytiladi. Agar variantalar soni toq, yaʼni , , bo‘lsa, u holda ; juft, yaʼni da mediana:
(16)
Normal taqsimot deb
(17)
differensial funksiya bilan tavsiflanadigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga aytiladi ( - normal taqsimotning matematik kutilishi, - o‘rtacha kvadratik chetlanishi). Shu maqsadda maxsus xarakteristikalar, jumladan, assimetriya va eksses tushunchalari kiritiladi.
Nazariy taqsimot assimetriyasi deb uchinchi tartibli markaziy momentning o‘rta kvadratik chetlanish kubi nisbatiga aytiladi:
(18)