Erkin ergashevich jumayev

---

1

O‘ZBEKISTON  RESPUBLIKASI

OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

O‘RTA MAXSUS, KASB-HUNAR TA’LIMI MARKAZI

ERKIN ERGASHEVICH JUMAYEV

BOSHLANG‘ICH

MATEMATIKA NAZARIYASI VA

METODIKASI

Kasb-hunar kollejlari uchun o‘quv qo‘llanma

Qayta ishlangan uchinchi nashr

TOSHKENT

«TURON-IQBOL»

2010

---

2

T a q r i z c h i l a r:

M. Mirsaburov

— professor, fizika-matematika fanlari doktori, Termiz

davlat universiteti;

M. Jumayev

— dotsent, pedagogika fanlari nomzodi, Nizomiy

nomidagi Toshkent pedagogika universiteti;

Z. Yakubova

— dotsent, pedagogika fanlari nomzodi, Toshkent

viloyati pedagogika kolleji;

O. Qo‘ziyev

— o‘qituvchi, Qarshi pedagogika kolleji.

Mazkur o‘quv qo‘llanma pedagogik yo‘nalishdagi kasb-hunar kollejlari

o‘quvchilari uchun «Boshlang‘ich matematika nazariyasi va metodikasi» fanidan

Davlat ta’lim standartlari dasturi asosida matematik bilim berish va uni o‘qitish

metodikasiga asoslangan bo‘lib, unda matematika asoslari, shuningdek, nazariy

materiallar bilan birgalikda amaliy mashg‘ulotlarda foydalanish uchun misol

va masalalar, topshiriqlar keng yoritilgan.

© «Bilim» nashriyoti, 2005-y.

© «TURON-IQBOL» MCHJ, 2009-y.

© «TURON-IQBOL» MCHJ, 2010-y.

ISBN 978-9943-14-121-6

BBK 74.26

J 87

≠

— teng emas

<

— kichik

>

— katta

≤

— kichik yoki teng

≥

— katta yoki teng

∠

— burchak

daraja ko‘rsatkichi

3

4

3 ning 4 marta o‘z-o‘ziga

ko‘paytmasi

asos

%

— foiz

π

— 3,14 (pi)

{1; 2; 3; ...}

— natural sonlar

{0; 1; 2; 3; ...}

— butun sonlar

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} — raqamlar

SHARTLI BELGILAR

---

3

KIRISH

Pedagogika  yo‘nalishidagi  kasb-hunar  kollejlari  o‘quvchi-

lariga boshlang‘ich matematika nazariyasi va metodikasi fanini

o‘qitish o‘qituvchidan nafaqat metodik mahoratni, balki metodik

tushuncha,  faktlar  mohiyatini  chuqur  tushunishni  ham  talab

etadi.

O‘quv qo‘llanmaning professional yo‘nalganligi ma’lum nazariy

materiallarni tanlash va boshlang‘ich sinf o‘quvchilari bajaradigan

topshiriqlarni kiritish yo‘li bilan bu materiallar bayoniga metodik

yondashish orqali erishiladi. Qo‘llanma o‘quvchilar uchun o‘quv

materiallarning asosiy manbayi sifatida mo‘ljallangan bo‘lib, Davlat

ta’lim standartiga mos keladi.

«Boshlang‘ich sinflarda tarbiyaviy ishlar tashkilotchisi» muta-

xassisligi  uchun  qo‘llanmaning  mazmunini  «Matematikaning

umumiy  tushunchalari»,  «Matematik  jumlalar»,  «Matematik

isbotlar»,  «Òo‘plamlar  va  ular  ustida  amallar»,  «Moslik  va

munosabat», «Manfiy bo‘lmagan butun sonlar haqida tushuncha

va ularning raqamlarini o‘rganish uslubi», «Manfiy bo‘lmagan

butun  sonlar  ustida  amallarni  bajarish»,  «Manfiy  bo‘lmagan

butun sonlarning bo‘linuvchanligi», «Matnli masalalar va ularni

yechish», «Son tushunchasini kengaytirish», «Algebraik tushun-

chalarni  o‘rgatish  uslubi»,  «Kattaliklar  va  ularni  o‘lchash»,

«Boshlang‘ich  geometrik  ma’lumotlarni  o‘rgatish  uslubi»,

«Boshlang‘ich sinfda matematika o‘qitishga o‘rgatishning umu-

miy  tushunchalari»,  «Matematikada  sinfdan  tashqari  ishlar»

tashkil etadi.

Muallif o‘quv qo‘llanmani yaratishda o‘zining qimmatli masla-

hatlarini bergan Òermiz davlat universiteti «Differensial tenglama-

lar va geometriya» kafedrasining mudiri, fizika-matematika fanlari

doktori Mirahmad Mirsaburovga, shuningdek, Òoshkent shahar

1- son  Pedagogika  kasb-hunar  kolleji  va  Nizomiy  nomidagi

ÒDPUning «Gumanitar fakultetlarda matematika» kafedrasi profes-

sor-o‘qituvchilari ish tajribalaridan foydalanilganligi uchun, Toshkent

viloyati pedagogika kolleji, Qarshi pedagogika kolleji, Termiz

pedagogika kolleji ilmiy kengashiga mazkur qo‘llanmadan darslik

sifatida foydalanish mumkinligi to‘g‘risidagi fikr mulohazalari

uchun ularga minnatdorchilik bildiradi.

---

4

Birinchi bob

MATEMATIKANING  UMUMIY

TUSHUNCHALARI

1- §.  MATEMATIK  TUSHUNCHALAR

Matematika, barcha fanlar qatori, butun borliqda yuz bera-

digan barcha jarayonlarni o‘rganadi. Bundan, sodir bo‘ladigan

bu jarayonlarni matematik ifodasi mavjud, degan xulosa kelib

chiqishi  tabiiy.  Masalan,  talabalarning  o‘zlashtirish  darajasi,

samolyotning  parvozi,  talabaning  harakati,  havo  harorati  va

turli iqtisodiy masalalar maxsus tenglamalar orqali o‘rganiladi.

Ayniqsa, narsalarning rangi, og‘irligi va zichligi qanday bo‘lishi-

dan qat’i nazar, ularning geometrik xossalarini matematikaning

bo‘limi bo‘lgan geometriya fani tekshiradi va o‘rgatadi.

Tushuncha — bu predmetlar va hodisalarni ba’zi bir muhim

alomatlariga  ko‘ra  farqlash  yoki  umumiylashtirish  natijasidir.

Masalan, «son», «miqdor», «kesma», «to‘g‘ri chiziq» va hokazo.

Alomat  (belgi)  esa  predmet  yoki  hodisalarning  bir-biriga

o‘xshashligi, tengligi yoki farqlanishini bildiruvchi xossalardir.

Masalan, uchburchakning teng yonli bo‘lishlik belgisini quyida-

gicha  ifodalash  mumkin:  «Agar  uchburchak  asosining  uchla-

ridan  o‘tkazilgan  medianalar  o‘zaro  teng  bo‘lsa,  bu  uchbur-

chak teng yonli bo‘ladi».

Predmetlar  deganda  obyektlar  nazarda  tutiladi.  Odatda,

obyektlar ma’lum muhim va muhim bo‘lmagan xossalarga ega.

Muhim xossa deb, faqat shu obyektga tegishli va bu xossasiz

obyekt  mavjud  bo‘la  olmaydigan  xossalarga  aytiladi.  Masalan,

ixtiyoriy uchburchak uchun «uchburchakning o‘rta chizig‘i asosiga

parallel va uning yarmiga teng» xossasi muhim xossa hisoblanadi.

Obyektning mavjudligiga ta’sir qilmaydigan xossalar muhim

bo‘lmagan  xossalar  hisoblanadi.  Masalan,  2•x = 4  tenglama

uchun «tenglikning har ikkala tomonini bir xil songa bo‘lsak,

natija  o‘zgarmaydi»  deyilgan  xossa  muhim  bo‘lmagan  xossa

hisoblanadi.

---

5

Obyektning nimani anglatishini bilish uchun uning xossalari

mavjud bo‘lsa, u holda bu obyekt haqida «tushuncha mavjud»

deyiladi. Tushuncha nomlanadi, shuningdek mazmun va hajmga

ega bo‘ladi.

Obyektning barcha muhim xossalari birgalikda tushuncha-

ning mazmunini tashkil qiladi. Bir xil muhim xossalarga ega

bo‘lgan  obyektlar  to‘plami  tushuncha  hajmini  tashkil  etadi.

Demak,  tushuncha  hajmi  bitta  tushuncha  bilan  nomlanishi

mumkin  bo‘lgan  obyektlar  to‘plami  ham  ekan.  Masalan,

«uchburchak»  tushunchasi  «to‘g‘ri  burchakli  uchburchak»

tushunchasi  uchun  umumiy,  «to‘g‘ri  burchakli  uchburchak»

tushunchasi esa «uchburchak» tushunchasining xususiy holidir.

Tushunchalar insoniyat to‘plagan katta tajribani umumlash-

tirish natijasida yuzaga keladi va moddiy dunyoning tub mohiya-

tini aks ettiradi, lekin real obyektlarning ko‘pgina xossalaridan

ko‘z yumgan holda, ularni ideallashtirish natijasida hosil bo‘ladi.

Obyektni bilish uchun yetarli bo‘lgan xossalarini ko‘rsatish

tushunchaga ta’rif berish deyiladi.

1- misol. Kvadratning ta’rifini tahlil qilling.

Y e c h i s h . «Hamma tomonlari teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rt-

burchak kvadrat deyiladi». Dastlab kvadrat chiziladi, keyin to‘g‘ri

to‘rtburchak  bo‘lishlik,  hamma  tomonlari  teng  bo‘lishlik

xossalarini o‘z ichiga oluvchi tushuncha kiritiladi. Kvadratning

ta’rifidan uni to‘g‘ri to‘rtburchakning xususiy holi ekanligi ko‘ri-

nib turibdi. Bundan kvadrat va to‘g‘ri to‘rtburchakning bir xil

jinsli tushuncha ekanligi kelib chiqadi.

Sodda  va  murakkab  mulohazalar  bilan  tanishaylik.  Inson

tabiatni  idrok  qiladi,  shuningdek,  obyektlar  o‘rtasida  turli

bog‘lanishlar o‘rnatadi. Bu bog‘lanishlar tushunchalar yordamida

mulohazalar orqali ifodalanadi. Masalan, «To‘g‘ri to‘rtburchakda

barcha burchaklar teng», «36 soni uchga bo‘linadi», «Yomg‘ir

yog‘ayapti»,  «O‘zbekiston  1991- yil  sentabr  oyining  birinchi

kunida mustaqillikka erishdi», «2003- yil — Obod mahalla yili»,

«2004- yil  —  Mehr-muruvvat  yili»,  «2009-yil  —  Qishloq

taraqqiyoti va farovonligi yili». Har bir mulohaza mazmuni va

mantiqiy  tuzilishi  bilan  xarakterlanadi.  Matematikada  sodda

va murakkab mulohazalar o‘rganiladi. Masalan: «36 soni 3 ga

bo‘linadi» mulohazasi sodda. Murakkab mulohazalarga 21 soni

toq va 7 ga bo‘linadi yoki  a soni 3 ga teng yoki katta, yoki

Kadrlar  tayyorlash  milliy  dasturining  ikkinchi  bosqichi  sifat

bosqichidir va hokazolarni misol keltirsa bo‘ladi.

---

6

Murakkab  mulohazalar  «va»,  «yoki»  so‘zlari  orqali  oddiy

mulohazalar  yordamida  tuziladi.  Bu  so‘zlar  matematikada

mantiqiy bog‘lanish deyiladi.

2- misol.  Akbar  matematikadan  uy  vazifasini  bajarmagan

va darsda 2 baho oldi. Mulohazani mantiqiy tuzilishini aniqlang.

Y e c h i s h. Bu mulohaza 2 ta sodda mulohazadan tuzilgan:

A mulohaza «Akbar uy vazifasini bajarmagan» va B mulohaza

«darsda  2  baho  oldi».  Ular  bitta  murakkab  mulohazada  va

bog‘lovchisi yordamida tuzilgan. Buni qisqacha «A va B» deb

yoziladi, lekin «B va A» mulohaza har doim ham o‘rinli emas.

Mashqlar

1. Tushunchaning hajmi va mazmuni orasida qanday bog‘liqlik

bor?

2. Ta’riflanadigan  va  ta’riflanmaydigan  tushunchalarning

qanday farqi bor?

3. Tushunchani ta’riflashga qanday talablar qo‘yiladi?

4. Uzunligi 10 m, eni esa 5 m bo‘lgan polning yuzini toping.

5. To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi suzish havzasining uzunligi

50 m, eni (kengligi) 24 m va chuqurligi 3 m. Agar havzadagi

suv sathi havza yon devorlari (borti) dan 50 sm past bo‘lsa,

havzaga necha kub metr suv sig‘adi?

6. Trapetsiyaning  quyida  keltirilgan  xossalaridan  qaysilari

muhim xossalar, qaysilari muhim bo‘lmagan xossalar bo‘ladi:

1) trapetsiyaning ikkita tomoni parallel; 2) trapetsiyaning

asoslari gorizontal holatda; 3) katta asosidagi ikkala burchagi

o‘tkir; 4) kichik asosidagi ikkala burchagi o‘tmas; 5) tra-

petsiya ichki burchaklarining yig‘indisi 360° ga teng.

7. «To‘g‘ri to‘rtburchak» tushunchasining hajmi «kvadrat» tushun-

chasining hajmidan «katta» ekanligi to‘g‘rimi? Bu tushuncha-

larning mazmuni orasida o‘zaro qanday bog‘lanish mavjud?

8. Quyidagi ta’riflarni tahlil qiling:

1) agar to‘g‘ri chiziqlar bir tekislikda yotsa va kesishmasa,

ular parallel deyiladi;

2) agar  uchburchakning  aqalli  ikkita  tomoni  teng  bo‘lsa,

bu uchburchak teng yonli uchburchak deyiladi;

3) o‘zgaruvchining tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiruvchi

qiymati tenglamaning ildizi deyiladi.

9. O‘quvchi to‘g‘ri burchakni tomonlari o‘zaro perpendikular

bo‘lgan  burchak  sifatida,  o‘zaro  perpendikular  to‘g‘ri

---

7

chiziqlarni esa kesishishi natijasida to‘g‘ri burchaklar hosil

qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar sifatida ta’rifladi. O‘quvchi qanday

xatoga yo‘l qo‘ygan? Boshlang‘ich sinf o‘quvchilarini to‘g‘ri

burchak tushunchasi bilan qanday tanishtirish mumkin?

10. Quyidagi jumlalardan qaysilari sodda va qaysilari murakkab

jumlalar:

1) teng yonli ABC uchburchakning asosiga o‘tkazilgan bis-

sektrisa, mediana va balandliklar teng; 2) to‘g‘ri burchakli

uchburchakda  gipotenuzaning  kvadrati  katetlari  kvadrat-

larining  yig‘indisiga  teng;  3)  agar  uchburchak  teng  yonli

bo‘lsa, u holda uning asosidagi burchaklari teng.

11. Har bir fikrning mantiqiy strukturasini aniqlang.

1) 12 juft son va 6 ga bo‘linadi; 2) agar burchaklar vertikal

bo‘lsa, u holda ular tengdir; 3) 3  soni irratsional sondir.

12. Jumlalarni oxiriga yetkazing va ularning mantiqiy struktu-

ralarini aniqlang:

1)  uchburchakning  o‘rta  chizig‘i  asosga  parallel  va  ...  ;

2) agar A•B = 0 bo‘lsa, u holda A=0 yoki ... .

2- §. ROST VA YOLG‘ON MULOHAZALAR,

KVANTORLAR

Rost yoki yolg‘on mazmundagi gaplar mulohazalar deyiladi.

Masalan,  «O‘zbekistonning  poytaxti  Toshkent»,  «4  soni  juft»

mazmundagi  gaplar  rost  mulohazalarga,  «Pedagogika  kollejini

tugatgan talabalarga hamshira mutaxassisligi beriladi», — degan

gap esa yolg‘on mulohazaga misol bo‘la oladi. Umuman har bir

mulohaza  ikkita  qiymatga  ega  bo‘lishi  mumkin:  rost  (1)  va

yolg‘on (0).

Agar  A  va  B  mulohazalarning  ikkalasi  ham  rost  bo‘lsa,  u

holda  «A  va  B»  ko‘rinishidagi  mulohazalar  rost  bo‘ladi.  Agar

ulardan birortasi yolg‘on bo‘lsa, unda «A va B» mulohaza yolg‘on

bo‘ladi.

1- misol. 12 soni juft va 5 ga bo‘linadi. Mulohazaning rost

yoki yolg‘onligini aniqlang.

Y e c h i s h.  Mulohaza  «A  va  B»  ko‘rinishdagi  mulohaza

bo‘lib, A — «12 soni juft», B — esa «12 soni 5 ga bo‘linadi».

Ko‘rinib turibdiki, A mulohaza rost, B mulohaza esa yolg‘on

(chunki 12 soni 5 ga bo‘linmaydi). Bundan berilgan mulohazani

yolg‘onligi kelib chiqadi.

---

8

2- misol.  6  kichik  yoki  teng  11  mulohazasi  rost  bo‘lishi

mumkinmi?

Y e c h i s h. Bu murakkab mulohaza «A yoki B» ko‘rinishga

ega  bo‘lib,  A  —  «6  kichik  11»,  B  —  «6  teng  11».  Ko‘rinib

turibdiki,  A  —  mulohaza  rost,  B  —  mulohaza  esa  yolg‘on.

Bundan berilgan mulohazaning rostligi kelib chiqadi. Demak,

A va B mulohazalardan birortasi rost bo‘lsa, «A yoki B» mulohaza

rost bo‘ladi.

3- misol. 7 kichik yoki teng 5 mulohaza rost bo‘lishi mumkinmi?

Y e c h i s h.  Bu «A yoki B» mulohaza bo‘lib, A — «7 kichik 5»,

B — esa «7 teng 5». Ko‘rinib turibdiki, A mulohaza yolg‘on, B

mulohaza ham yolg‘on. Unda berilgan mulohazaning yolg‘onligi

kelib chiqadi. Demak, agar A va B mulohazalarning har ikkalasi

yolg‘on bo‘lsa, «A yoki B» mulohaza yolg‘on bo‘ladi.

4- misol. «14 tub son». Gapni izohlang.

Y e c h i s h . Bu yolg‘on mulohaza, chunki 14 soni faqatgina

1  soniga  bo‘linmasdan,  balki  2,  7  yoki  14  sonlariga  ham

bo‘linadi.  Bu  mulohazaning  inkorini  «14  ni  tub  son,  deyish

noto‘g‘ri». Rost mulohaza hosil bo‘ldi. Shunday qilib, «14 tub

son»  mulohazasining  inkorini  «14  tub  son  emas»  deb  yozish

mumkin. Bu ham rost mulohaza bo‘ladi.

Odatda,  A  mulohazaning  inkorini<A  deb  belgilash  qabul

qilingan va «A emas» deb o‘qiladi.

Umuman, agar A rost bo‘lsa, yolg‘on va A yolg‘on bo‘lsa,

rost bo‘ladigan mulohaza A mulohazaning inkori deyiladi.

«Va», «yoki», «emas» so‘zlari bilan tuzilgan mulohazalarning

rostlik jadvali quyidagicha tuziladi:

A

B

A va  B

A  yoki B

A emas

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Demak,  murakkab  mulohazalarning  rostligi  mulohaza

tarkibidagi sodda mulohazalarning rostligiga bog‘liq.

«Barcha» va «ba’zi» so‘zlarining ma’nosiga to‘xtalib o‘taylik.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sonlar haqida quyidagi mulohazalarni

aytish mumkin:

---

9

1) barcha sonlar bir xonali sonlardir;

2) sonlardan ba’zilari juft sonlardir.

Umuman, to‘g‘ri va noto‘g‘ri mulohazalar mavjud. Odatda,

to‘g‘ri mulohazalarni rost va noto‘g‘ri mulohazalarni yolg‘on

mulohazalar deb qaraymiz.

Agar  1- jumladan  «barcha»  so‘zini  olib  tashlansa,  «sonlar

bir xonali sonlardir», — degan jumla hosil bo‘ladi. «Bu jumla

chinmi  yoki  yolg‘onmi?»  savoli  ma’noga  ega  emas.  Demak,

qatnashayotgan «barcha» so‘zi uni mulohazaga aylantiradi.

2- jumla  ham  shunga  o‘xshash  tuzilgan,  faqat  «sonlar  juft

sonlaridir»  «ba’zi»  so‘zi  mulohazaga  aylantiradi.  «Barcha»  va

«ba’zi» so‘zlari kvantorlar deyiladi. «Kvantor» so‘zi lotincha bo‘lib,

«qancha» degan ma’noni bildiradi. Bundan tashqari, «ixtiyoriy»,

«har qanday», «har bir», «barcha (hamma)» umumiylik kvantorlari

va «mavjud», «ba’zi», «topiladi», «aqalli bitta» kvantorlari mavjud.

Ko‘pgina  matematik  jumlalar  kvantorli  fikr  shakliga  ega,

masalan: barcha kvadratlar to‘g‘ri to‘rtburchaklardir, ba’zi juft

sonlar  4  ga  bo‘linadi,  ixtiyoriy  to‘g‘ri  to‘rtburchakda  ichki

burchaklar yig‘indisi 360° ga teng.

Ko‘p  hollarda  fikrlardagi  kvantorlar  tushirib  qoldiriladi.

Masalan,  sonlarni  qo‘shishning  o‘rin  almashtirish  qonuni

a + b = b + a tenglik ko‘rinishida yoziladi. Ixtiyoriy a va b son-

lar  uchun a + b = b + a tenglikning  o‘rinli  ekanligini,  ya’ni

qo‘shishning o‘rin almashtirish qonuni umumiylik kvantorlari

qatnashgan fikr ekanini bildiradi.

5- misol. Ixtiyoriy 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sonlar x + 2 > x

tengsizlikning yechimi bo‘ladi. Bu fikrlar rostmi yoki yolg‘onmi?

Y e c h i s h.  Ixtiyoriy 0, 1, 2, ..., 9 sonlar x + 2 > x tengsiz-

likning yechimi bo‘lishiga ishonch hosil qilish uchun quyidagi

hollar ko‘rib chiqiladi:

x = 0 da 0 + 2 > 0 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost.

x = 1 da 1 + 2 > 1 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost.

x = 2 da 2 + 2 > 2 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost.

x = 9 da 9 + 2 > 9 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost.

Haqiqatan  ham,  0,  1,  2,  ...,  9  sonlardan  biri  x + 2 > x

tengsizlikning  yechimi  bo‘ladi,  ya’ni  «ixtiyoriy  0,  1,  2,  ...,  9

sonlar x + 2 > x tengsizlikning yechimi bo‘ladi» degan fikr rost.

Biz  buni  qanday  aniqladik?  Barcha  xususiy  va  mumkin

bo‘lgan hollarni qarab chiqish bilan isbotladik. Isbotlanishning

foydalangan usuli to‘la induksiya deb ataladi.

---

10

6- misol. Ketma-ket keluvchi ixtiyoriy uchta natural sonning

yig‘indisi 3 ga bo‘linadi. Bu fikr rostmi yoki yolg‘onmi?

Y e c h i s h. Isbotlashning birinchi jumla uchun qo‘llanilgan

usulini bu yerda qo‘llab bo‘lmaydi, chunki barcha hollarni ko‘rib

chiqish imkoniga ega emasmiz.

Ketma-ket keluvchi natural sonlar x, x + 1, x +2 lar orqali

belgilanadi va ixtiyoriy x da x + (x + 1) + (x +2) yig‘indi 3 ga

bo‘linishi  isbotlanadi.  x + (x + 1) + (x +2)  ifodani  x + x +

+ 1 + x +2 = 3x +3 = 3(x +1) ko‘rinishida yozish mumkin. 3

soni  3  ga  bo‘lingani  uchun  ko‘paytma  ham  3  ga  bo‘linadi.

Demak,  ketma-ket  keluvchi  ixtiyoriy  uchta  natural  sonning

yig‘indisi ham 3 ga bo‘linadi

7- misol. Ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchak kvadratdir. Berilgan

fikr qanday tuzilgan?

Y e c h i s h. Bu yolg‘on fikr. Bunga ishonch hosil qilish uchun

kvadrat bo‘lmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchak chizish yetarli.

Umuman, umumiylik kvantori qatnashgan fikrlarning rostli-

gini isbotlash yo‘li bilan aniqlanadi.

3 ga karrali natural sonlar mavjud va to‘g‘ri burchakli teng

tomonli uchburchaklar mavjud, degan mulohazalarni qaraylik.

Birinchi fikr rost. Bu xulosani asoslash uchun misol keltirish

yetarli. Masalan, 9 natural son va u 3 ga bo‘linadi.

Ikkinchi  fikr  yolg‘on.  Haqiqatan  ham,  to‘g‘ri  burchakli

uchburchakning bir burchagi 90° bo‘lishi kerak, teng tomonli

uchburchakning  hamma  burchaklari  kattaliklari  60°  ga  teng.

Demak, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar orasida teng tomonli

uchburchaklar yo‘q.

Umuman,  mavjudlik  kvantori  qatnashgan  fikrning  rostligi

misollar keltirish bilan aniqlanadi. Aslini olganda, umumiy xa-

rakterdagi barcha fikrlar umumiylik kvantori qatnashgan fikrlar

bo‘ladi. Quyidagi fikrlar xuddi shunday fikrlardir:

1)  a + b = b + a;

3) 0 + a = a;

5) ab = ba;

2) 0•a = 0;

4) 1•a = a;

6) a : 1 = a.

Haqiqatan ham, ixtiyoriy b va a natural sonlar uchun qo‘shish

va ko‘paytirishning o‘rin almashtirish xossasi o‘rinli: ixtiyoriy

a son uchun 0+a = a,  0•a = 0.

«Barcha natural sonlar 3 ga bo‘linadi». Bu yolg‘on mulohaza

ekanligiga  oson  ishonch  hosil  qilish  mumkin.  Masalan,  17

natural son 3 ga bo‘linmaydi.

---

11

Berilgan mulohazaning inkori quyidagicha tuziladi (yasaladi).

«Barcha  natural  sonlarning  3  ga  bo‘linishi  yolg‘on».  Bu

mulohaza  rost  va  u  mazmuniga  ko‘ra  «3  ga  bo‘linmaydigan

natural sonlar mavjud» degan mulohaza bilan bir xil.

Shunday  qilib,  «barcha  natural  sonlar  3  ga  bo‘linadi»

mulohazaning inkorlarini ikki usul bilan tuzish mumkin ekan:

1)  berilgan  jumlaning  oxiriga  «bo‘lishi  (ekani)  yolg‘on»

so‘zini qo‘shish bilan;

2)  umumiylik  kvantorlarini  mavjudlik  kvantorlariga  al-

mashtirish  hamda  kvantordan  keyin  keluvchi  so‘zni  inkoriga

aylantirish bilan.

«Barcha  natural  sonlar  3  ga  bo‘linmaydi»  jumla  «barcha

natural sonlar 3 ga bo‘linadi» jumlaning inkori emas, chunki

bu jumla ham berilgan jumla kabi yolg‘on mulohaza bo‘ladi.

8- misol. «Ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi» mulohazasining

inkorini tuzing.

Y e c h i s h . «Ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi». Bu yolg‘on

mulohaza. Barcha toq sonlar ikkiga bo‘linmaydi va, demak, 4

ga ham bo‘linmaydi. Berilgan mulohazaning inkori: «ba’zi toq

sonlarning  4  ga  bo‘linishi  yolg‘on».  Bu  rost  mulohaza  va

mazmuniga ko‘ra «barcha toq sonlar 4 ga bo‘linmaydi» mulohaza

mazmuniga mos keladi.

Shunday qilib, «ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi» mulohazasi-

ning inkorini ikki usul bilan tuzish mumkin:

1) berilgan jumlaning oxiriga «ekani (bo‘lish) yolg‘on» so‘zini

qo‘shish bilan;

2) mavjudlik kvantorini umumiylik kvantoriga almashtirish

hamda  kvantordan  keyin  keluvchi  jumlani  uning  inkoriga

almashtirish bilan.

Kvantorli (umumiylik yoki mavjudlik) fikrning inkori ikki

xil usul bilan yasalishi mumkin:

1) berilgan fikrning oxiriga «ekani (bo‘lishi) yolg‘on» so‘zla-

rini qo‘shish bilan;

2) umumiylik (mavjudlik) kvantorlarini mavjudlik (umumiy-

lik) kvantorlariga almashtirish hamda kvantordan keyin keluvchi

jumlani uning inkoriga almashtirish bilan.

Keltirilgan bu qoida kvantorli mulohazaning inkorini to‘g‘ri

yasash uchun yetarli. Berilgan mulohazaning inkori yana boshqa

shaklda ham yasalishi mumkin. Bunda faqat ushbu talabga rioya

qilish muhim: agar berilgan mulohaza yolg‘on bo‘lsa, u holda

uning inkori rost mulohaza bo‘lishi kerak va aksincha.

---

12

Mashqlar

1. Quyidagi jumlalar orasidan rost fikrlarni toping va ularning

rostlik qiymatini aniqlang: 8 butun son; 42 ni 5 ga bo‘lganda

qoldiq 2 qoladi; x < 3; har qanday to‘g‘ri to‘rtburchakning

diagonallari teng; 34•2 - 17 = 51.

2. Ushbu fikrlardan qaysilari rost: 6 soni 2 ga va 3 ga bo‘linadi;

123 soni 3 ga va 9 ga bo‘linadi.

3. Quyidagi fikrlarning inkorini tuzing: 132 soni 9 ga bo‘linadi;

5 < 4; 3,2 — natural son.

4. A rost fikr ekani ma’lum. Faqat shuni bilgan holda 1) A va B;

2)  A  yoki  B  ko‘rinishdagi  fikrlarning  rostlik  qiymatlarini

aniqlash mumkinmi?

5. 21, 52, 409, 248, 30, 2094, 322, 22, 371, 142, 2, 222, 14,

20 sonlar berilgan:

1) yozuvda ikkita raqam va 2 raqami bo‘lgan barcha sonlarni

ko‘chirib yozing:

2)  yozuvda  ikkita  raqam  yoki  3  raqami  bo‘lgan  barcha

sonlarni ko‘chirib yozing.

6. Quyidagi fikrlar yolg‘on fikrlar ekanini isbotlang va ularning

inkorini ikki xil usul bilan yozing:

1) kvadratning har qanday xossasi to‘g‘ri to‘rtburchak uchun

o‘rinli;

2)  ixtiyoriy  natural  son  x +1 = 2x - (x -1)  tenglamaning

yechimi bo‘ladi;

3) x

2

=-1 tenglamaning yechimi bo‘lgan natural son mavjud.

7. Quyida keltirilgan fikrlarning qaysilari «har qanday juft son

3 ga bo‘linadi» jumlasining inkori bo‘ladi:

1) har qanday juft son 3 ga bo‘linmaydi;

2) har qanday juft sonning 3 ga bo‘linishi noto‘g‘ri;

3) 3 ga bo‘linmaydigan juft son mavjud;

4) ba’zi juft sonlar 3 ga bo‘linadi;

5) har qanday son ham 3 ga bo‘linavermaydi.

8. Jadvalni tahlil qiling va xulosa chiqaring.

T/r

Mulohaza

Mulohaza inkori

1.

Toshkent — O‘zbekiston

poytaxti

Toshkent O‘zbekiastonning

poytaxti emas

2.

Ikki karra ikki — besh

Ikki karra ikki beshga teng

emas

3.

Yupiterning vazni Yerning

vaznidan kam

Yupiterning vazni Yerning

vaznida kam emas

---

13

davomi

T/r

Mulohaza

Mulohaza inkori

4.

32 soni 3 ga bo‘linadi

32 soni 3 ga bo‘linmaydi

5.

Eng katta natural son

mavjud

Eng katta natural son mavjud

emas

6.

36 soni 36 dan katta

36 soni 36 dan katta emas

7.

Nargizaning akasi bor

Nargizaning akasi yo‘q

8.

a>b

a soni b dan katta emas

9. Jadvalda fikrning inkori to‘g‘ri tuzilganligini izohlang.

T/r

Fikr

Inkorini tushunish

Inkorini ifodalash

1. Sinf xonasida

hech narsa yo‘q

Balkim, sinf xonasida

hesh narsa yo‘q

Sinf xonasida nima-

dir bor

2. 11010 soni

sodda

Balkim, 111010 soni

sodda

111010 sonu sodda

emas

3. 24 ga

bo‘linadigan son

9 ga bo‘linadi

Balkim 24 ga bo‘li-

nadigan son 9 ga

bo‘linadi

24 ga bo‘linadigan

son 9 ga bo‘lin-

masligi mumkin

4. Aka-uka

Jumayevlar bir

sinfda o‘qiydi

Balkim, aka-uka

Jumayevlar bir sinfda

o‘qiydi

Aka-uka Jumayev-

lar turli sinflarda

o‘qiydi

5. 12 soni 3 va 4

ga bo‘linadi

Balkim, 12 soni 3 ga

va 4 ga bo‘linadi

12 soni hech bo‘l-

maganda 3 va 4 ning

bittasiga bo‘lin-

maydi

10. Mulogaza turini aniqlang. Uning inkorini yozing:

1) har bir natural son o‘ziga va 1 ga bo‘linadi;

2) ayrim sonlar faqat bitta bo‘luvchiga ega;

3)  har  qanday  natural  son  hech  bo‘lmaganda  ikkita

bo‘luvchiga ega;

4) sodda son har doim murakkabdan kichik;

5) o‘zaro tub sonlarning o‘zlari ham tub son bo‘ladi;

6) 9 va 15 sonlari o‘zaro tub;

7) 3 ga karrali son 3 bilan tugamasligi mumkin.

---

14

3- §. JUMLALAR ORASIDAGI KELIB CHIQISHLIK VA TENG

KUCHLILIK MUNOSABATLARI. ZARUR VA YETARLI

SHARTLAR. TEOREMANING  TUZILISHI  VA

ULARNING  TURLARI

Har  qanday  mulohaza  «demak»,  «berilgan  mulohazadan

kelib  chiqadi»,  «bundan  kelib  chiqadi»  so‘zlari  bilan  amalga

oshiriladi. Masalan, A «x soni 4 ga karrali» va B «x soni 2 ga

karrali». Ular bir-biri bilan quyidagicha bog‘langan: 4 ga karrali

ixtiyoriy  son  2  ga  karrali  bo‘ladi  yoki  sonning  4  ga  karrali

ekanidan uning 2 ga karrali ekani kelib chiqadi.

Agar har safar A mulohaza rost bo‘lganda B mulohaza ham

rost bo‘lsa, A mulohazadan B mulohaza kelib chiqadi, deyiladi.

A dan B kelib chiqadi mulohazasini 

⇒

 belgidan foydalanib,

A

⇒

B deb yozish mumkin. 

⇒

 belgi mulohazalar orasida kelib

chiqishlik  munosabatini  ifodalaydi.  A

⇒

B  yozuv  turlicha

o‘qiladi: A dan B kelib chiqadi; BA dan kelib chiqadi; agar A

bo‘lsa,  u  holda  B  bo‘ladi;  A  bo‘ladi,  demak,  B  bo‘ladi;  har

qanday AB hamdir.

1- masala. «x soni 4 ga karrali ekanidan uning 2 ga karrali

ekani  kelib  chiqadi»  mulohazasi  uchun  kelib  chiqishlilik

munosabatini  ifodalang.

Y e c h i sh . «x soni 4 ga karrali ekanligidan uning 2 ga karrali

ekani kelib chiqadi» mulohazasini bunday yozish ham mumkin:

4 ga bo‘linuvchi har qanday son 2 ga ham bo‘linadi; agar son 4

ga bo‘linsa, u holda 2 ga ham bo‘linadi; x soni 4 ga bo‘linadi.

Demak, 2 ga ham bo‘linadi.

2- masala. A «uchburchak teng yonli» va B «uchburchak-

ning asosidagi burchaklari teng» mulohazalar berilgan. Ularning

qanday bog‘langanligini aniqlang.

Y e c h i sh. Agar uchburchak teng yonli bo‘lsa, u holda uning

asosidagi burchaklari teng (ya’ni ÐA = ÐB deb tasdiqlash mum-

kin) ekani va, aksincha, agar uchburchakning asosidagi burchaklar

teng bo‘lsa, u holda bu uchburchak teng yonli uchburchak (ya’ni,

ÐB = ÐA ) bo‘lishi geometriya kursidan ma’lum.

Agar  A  mulohazadan  B  mulohaza  kelib  chiqsa,  B  mulo-

hazadan A mulohaza kelib chiqsa, u holda A va B mulohazalar

teng kuchli mulohazalar deyiladi.

Bu ta’rifga ko‘ra, «uchburchak teng yonli» va «uchburchak-

ning  bir  tomoniga  yopishgan  burchaklari  teng»  mulohazalari

teng kuchli mulohazalar bo‘ladi.

---

15

«A mulohaza B mulohazaga teng kuchli» mulohazasi «

⇔

»

belgidan foydalanib, A

⇔

B deb yoziladi.

A

⇔

B yozuv turlicha o‘qiladi: a) A mulohaza B mulohazaga

teng kuchli; b) B va faqat B bo‘lganda, A bo‘ladi; d) agar B

faqat B bo‘lsa, A bo‘ladi.

Zarur va yetarli shartlar bilan tanishib o‘taylik.

Agar A mulohazadan B mulohaza kelib chiqsa, u holda B

mulohaza A mulohaza uchun zarur shart, A mulohaza esa B

mulohaza uchun yetarli shart deyiladi.

Agar  A  va  B  mulohazalar  teng  kuchli  bo‘lsa,  u  holda  A

mulohaza B mulohaza uchun zarur va yetarli shart deyiladi va

aksincha.

3- misol. A — «x sonining yozuvi 0; 2; 4; 6; 8 raqamlarining

biri  bilan  tugaydi»,  B  —   «x  soni  2  ga  bo‘linadi»  mulohazasi

bo‘lsin. Sonning 2 ga bo‘linishining biror belgisini yozing.

Y e c h i s h. x sonining yozuvi 0; 2; 4; 6; 8 raqamlarining biri

bilan tugashidan, bu sonning 2 ga bo‘linishi kelib chiqadi. Teskari

da’vo  ham  o‘rinli.  Demak,  berilgan  A va  B  mulohazalar  teng

kuchli va ularning har biri ikkinchisi uchun zarur va yetarli shart

bo‘ladi, ya’ni sonning 2 ga bo‘linishi uchun bu sonning yozuvi

0; 2; 4; 6; 8 raqamlarining biri bilan tugashi zarur va yetarli.

4- misol. Surxondaryo viloyatida oltita pedagogika kolleji,

Toshkent viloyatida esa undan uchta ko‘p pedagogika kolleji

bor bo‘lsin. Ikkala viloyatda nechta pedagogika kolleji bor?

Y e c h i s h. Ikkala viloyatda hammasi bo‘lib nechta peda-

gogika kolleji borligini birdaniga aytish qiyin, chunki Toshkent

viloyatida  nechta  pedagogika  kolleji  borligini  bilish  kerak.

Demak, «kerak» va «mumkin» so‘zlarini to‘g‘ri qo‘llay bilish

matematikani o‘rganishda «zarur» va «yetarli» so‘zlaridan foyda-

lanishda qo‘l keladi.

Matematikani o‘rganishda teoremalar deb ataluvchi jumlalar

bilan  ishlashga  to‘g‘ri  keladi.  Ular  mazmunan  xilma-xil

bo‘lishiga  qaramasdan,  ularning  hammasi  isbotlashni  talab

qiladigan fikrlardir.

Bizga ma’lum bo‘lgan matematik mantiq tushunchalaridan

foydalanib, teoremaning tuzilishini aniqlashga harakat qilaylik.

Masalan, «Agar nuqta burchak bissektrisasida yotsa, u burchak

tomonlaridan teng uzoqlashgan bo‘ladi». Bu teoremaning sharti

«nuqta  burchak  bissektrisasida  yotadi»  va  xulosasi  «nuqta

burchak tomonlaridan teng uzoqlashgan».

---

16

Teoremaning isboti bu fikrlar ketma-ketligi bo‘lib, u qarala-

yotgan nazariyaning aksiomalariga yoki avvalroq isbot qilingan

teoremalarga  asoslanadi.

1- teorema. Rombning diagonallari o‘zaro perpendikular.

Agar to‘rtburchak romb bo‘lsa, uning diagonallari perpen-

dikular bo‘lishi ma’lum.

Z a r u r i y   s h a r t: to‘rtburchak romb bo‘lishi uchun uning

diagonallari perpendikular bo‘lishi zarur.

Y e t a r l i   s h a r t: to‘rtburchak diagonallari perpendikular

bo‘lishi uchun uning romb bo‘lishi yetarli.

2- teorema. Agar sonning raqamlari yig‘indisi 9 ga bo‘linsa,

sonning o‘zi ham 9 ga bo‘linadi.

Teskari  teorema.  Agar  son  9  ga  bo‘linsa,  uning  raqamlari

yig‘indisi ham 9 ga bo‘linadi. Teskari teorema to‘g‘ri bo‘lgani

uchun bu ikki teoremani bittaga birlashtirish mumkin: son 9 ga

bo‘linishi uchun uning raqamlari yig‘indisi 9 ga bo‘linishi zarur

va yetarli.

Teoremalardan tashqari, isbotsiz qabul qilinadigan jumlalar,

aniqrog‘i, isbot talab qilmaydigan jumlalar mavjud. Masalan,

paxta oq rangda, to‘g‘ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka

ajratadi, ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq uchun unga tegishli bo‘lgan va

tegishli bo‘lmagan nuqtalar mavjud va hokazo. Bunday jumlalar

aksiomalar deyiladi. «Aksioma» so‘zi grekchadan olingan bo‘lib,

«to‘g‘riligini tan olish» ma’nosini anglatadi.

5- misol. «Agar burchaklar vertikal burchaklar bo‘lsa, u holda

ular teng burchaklar bo‘ladi» teoremasiga teskari teorema yozing.

Turli teoremalar yozish mumkinmi?

Y e c h i s h. Berilgan teoremaga teskari teorema: agar bur-

chaklar teng bo‘lsa, u holda ular vertikal burchaklar bo‘ladi,

deb yoziladi. Bu yolg‘on fikr.

Berilgan  teoremaga  qarama-qarshi  teorema  «agar  bur-

chaklar  vertikal  burchaklar  bo‘lmasa,  u  holda  ular  teng

bo‘lmaydi»  deb  yoziladi.  Bu  ham  yolg‘on  fikr.  Bundan

tashqari, qarama-qarshisiga teskari teorema «agar burchaklar

teng bo‘lmasa, u holda ular vertikal burchaklar bo‘lmaydi»

deb yoziladi. Bu rost fikr. Shunday qilib, har doim A

⇔

B

teorema rost bo‘lganda, B

⇔

A teorema rost va, aksincha,

bo‘lishidan darak beradi.

---

17

Mashqlar

1. O‘quvchi  3+5=8,  9+5=14,  11+17=28  tengliklarni  hosil

qilib, quyidagicha xulosa chiqaradi: ixtiyoriy ikkita toq sonning

yig‘indisi juft son bo‘ladi. Bu xulosa to‘g‘rimi? Yig‘indisi juft

son bo‘ladigan ikkita toq son o‘ylab topa olasizmi? Sizning

javobingiz bunday ikkita toq son mavjud emasligini isbotlay

oladimi?

2. Quyida keltirilgan A va B jumlalar kelib chiqishlik muno-

sabatida  bo‘lish-bo‘lmasligini  aniqlang:  A  —   «x  soni  3  ga

karrali»;  B  —  «to‘rtburchakning  diagonallari  teng»;  B  —

«x 5 ga  karrali  son»;  A  —  «uchburchak  to‘g‘ri  burchakli

uchburchakdir»; B — «uchburchak teng yonli uchburchakdir».

3. «Demak»  so‘zi  to‘g‘ri  qo‘llanilganmi:  10a  natural  son,

demak, 15a ham natural son; a-4 musbat son; a-1 musbat

son.

4. Matematika kursidan biror teoremani olib, sharti, xulosasi

va tushuntirish qismini ajratib ko‘rsating.

5. Biror teoremani to‘g‘ri teorema deb qabul qilib, unga teskari,

qarama-qarshi,  teskarisiga  qarama-qarshi  teoremalarni

tuzing va ularning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini aniqlang.

6. «Agar son 4 ga bo‘linsa, u holda u 2 ga bo‘linadi» jumlasining

rost  ekani  ma’lum.  Uni  «zarur»  va  «yetarli»  so‘zlaridan

foydalanib ifodalang.

7. Quyidagi  jumlalardan  qaysilarini  «zarur»  va  «yetarli»

so‘zlaridan foydalanib qayta ifodalash mumkin: har qanday

teng  tomonli  uchburchak  teng  yonli  uchburchak  bo‘ladi;

har  qanday  to‘g‘ri  burchakli  uchburchak  teng  yonli  uch-

burchak bo‘ladi?

8. Quyidagi  jumlalarni  «agar  ...  bo‘lsa,  u  holda  ...  bo‘ladi»,

«har qanday», «kelib chiqadi» so‘zlaridan foydalanib, qayta

ifodalang: son 10 ga bo‘linishi uchun uning yozuvi nol bilan

tugashi zarur; 2a butun son bo‘lishi uchun a ning butun

son bo‘lishi yetarli.

9. Quyidagi fikrlardan qaysilari rost fikrlar: son 2 ga bo‘linishi

uchun  uning  nol  bilan  tugashi  zarur;  son  3  ga  bo‘linishi

uchun 6 ga bo‘linishi yetarli; son 10 ga bo‘linishi uchun

uning 2 ga va 5 ga bo‘linishi zarur va yetarli; son 15 ga

bo‘linishi  uchun  uning  5  ga  bo‘linishi  zarur;  son  100  ga

bo‘linishi uchun uning 10 ga bo‘linishi yetarli.

2 — E. Jumayev

---

18

10. Quyidagi teoremalarning har birida shart va xulosani ajrating:

agar uchburchakning hamma tomonlari teng bo‘lsa, u holda

uning  hamma  burchaklari  ham  teng  bo‘ladi;  ikkita  juft

sonning yig‘indisi juft son; agar son 3 va 4 ga karrali bo‘lsa,

u  12  ga  karrali  bo‘ladi;  ayirma  berilgan  songa  bo‘linishi

uchun kamayuvchi va ayriluvchi shu songa bo‘linishi yetarli;

a va b natural sonlar ayirmasi natural son bo‘lishi uchun

a > b bo‘lishi zarur va yetarli.

11. «To‘rtburchakning  parallelogramm  bo‘lishi  uchun  uning

qarama-qarshi  tomonlari  teng  bo‘lishi  zarur»  teoremasi

berilgan. Bu teoremada shart va xulosani ajrating va: kelib

chiqadi;  har  qanday;  yetarli  so‘zlarini  qo‘llab,  uni  qayta

ifodalang.

12. Quyidagi  teoremalardan  qaysilari  «har  qanday  to‘g‘ri

to‘rtburchakning diagonallari teng bo‘ladi» teoremasiga teng

kuchli: agar to‘rtburchakning diagonallari teng bo‘lmasa, u

holda bu to‘rtburchak to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lmaydi; agar

to‘rtburchakning  diagonallari  teng  bo‘lsa,  u  holda  bu

to‘rtburchak to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘ladi; to‘rtburchakning

diagonallari  teng  bo‘lishi  uchun  bu  to‘rtburchak  to‘g‘ri

to‘rtburchak bo‘lishi yetarli.

4- §. MATEMATIK ISBOTLAR. TO‘LIQMAS INDUKSIYA,

DEDUKSIYA,  ANALOGIYA.  ALGORITM

TUSHUNCHASI VA UNING XOSSALARI

Agar  n

2

+ n + 41  ifodada  n  o‘rniga  1,  2,  3,  4  va  hokazo

sonlar qo‘yilsa, masalan, n = 1 da ifodaning qiymati tub son

43  ga  teng,  n = 2  da  ifodaning  qiymati  tub  son  47  ga  teng,

n = 3 da ifodaning qiymati tub son 53 ga teng va hokazo bo‘ladi.

Olingan  natijalarga  suyangan  holda  ixtiyoriy  natural  n  da

n

2

+ n + 41 ifodaning qiymati tub son bo‘ladi, deb xulosa chiqa-

rish mumkin bo‘ladi.

Ma’lumki, 15 soni 5 ga bo‘linadi, 25 soni 5 ga bo‘linadi, 35

soni 5 ga bo‘linadi, 95 soni 5 ga bo‘linadi. Bularni hisobga olib,

5 raqami bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo‘linadi, deb xulosa

chiqarsak bo‘ladi. Bir qator xususiy hollar asosida umumiy xulosa

chiqardik. Bunday mulohaza to‘liqsiz induksiya bo‘ladi.

To‘liqsiz  induksiya  natijasida  olingan  xulosalar  rost  ham,

yolg‘on  ham  bo‘lishi  mumkin.  Masalan,  5  raqami  bilan

tugaydigan  sonning  5  ga  bo‘linishi  haqidagi  xulosa  rost  va

---

19

ixtiyoriy  natural  n  da  n

2

+ n + 41  ifodaning  qiymati  tub  son

bo‘ladi, degan da’vo esa yolg‘on. Haqiqatan ham, agar n = 41

bo‘lsa,  41

2

+ 41 + 41 = 41

2

+ 2•41 = 41•(41 + 2) = 41•43

hosil bo‘ladi, aniqrog‘i n

2

+ n + 41 ifodaning qiymati murakkab

son bo‘lib chiqadi.

Mulohazalar tahlilida asos tushunchasi muhim ahamiyatga ega.

1- misol.  5  va  6  sonlari  orasida  «kichik»  munosabatini

o‘rnating.

Y e c h i s h. Sanoqda 5 soni 6 sonidan oldin aytilgani uchun

5 kichik 6. Chunki: agar a soni sanoqda b sonidan oldin aytilsa,

u holda a kichik b; 5 soni sanoqda 6 dan oldin aytiladi. Birinchi

jumla  ixtiyoriy  a  va  b  sonlari  uchun  o‘rinli  va  umumiy  asos

deyiladi. Ikkinchi jumla esa aniq 5 va 6 sonlariga tegishli va

xususiy asos deyiladi. Ikki asos natijasida olingan natija xulosa

deb ataladi.

Asos bilan xulosa orasidagi kelib chiqishlik munosabati o‘rinli

bo‘ladigan mulohaza deduktiv mulohaza deyiladi.

Mulohazada asos ham, xulosa ham rost bo‘lsa, uni deduktiv

deb qarash mumkin. Masalan, umumiy asos «agar natural son

4 ga karrali bo‘lsa, u holda u 2 ga karrali bo‘ladi» bo‘lsa, xususiy

asos 12 soni 2 ga karrali va xulosa 12 soni 2 ga karrali bo‘ladi.

Shunday qilib, bilish jarayonida deduktiv va induktiv mulo-

hazalar o‘zaro bog‘langan bo‘lib chiqadi.

Induktiv  mulohazalar  har  doim  to‘g‘ri  xulosalarga  olib

kelavermaydi  ham,  lekin  matematika  va  boshqa  fanlarni

o‘rganishda  ularning  roli  juda  katta.  Induktiv  mulohazalar

yuritish  davomida  xususiy  hollarda  umumiylikni  ko‘ra  bilish,

o‘z taxminlarini ayta olish malakalari shakllanadi.

Pedagogika kollejlarida to‘liqsiz induktiv xulosa tez-tez qo‘l-

laniladi. Odatda, barcha umumiy qonuniyatlar bu yerda induktiv

yo‘l  bilan  keltirilib  chiqariladi.  Qo‘shish  va  ko‘paytirishning

o‘rin almashtirish qonuni 0 + a = a, 1•a = a, a : 1 = a, 0•a = 0

tengliklar va boshqa qonuniyatlar shunday asoslanadi.

Pedagogika kollejlarida to‘liqsiz induktiv xulosadan tashqari

analogiya  bo‘yicha  (taqqoslab)  xulosa  chiqarishdan  keng

foydalaniladi,  bunda  bilimlarni  o‘rganilgan  obyektlarga  ko‘-

chirish amalga oshiriladi. Ko‘chirish uchun bu obyektlarning

o‘xshashlik va farq qilishi alomatlari (belgilari) haqidagi bilimlar

asos  bo‘lib  xizmat  qiladi.  Analogiya  matematik  induksiyani

rivojlantirish  imkonini  beradi,  u  fanni  chuqur  o‘zlashtirishga

imkon beruvchi muhim manba bo‘ladi.

---

20

Biroq  shuni  unutmaslik  kerakki,  analogiya  bo‘yicha  hosil

qilingan  xulosalar  rost  bo‘lishi  ham,  yolg‘on  bo‘lishi  ham

mumkin. Analogiya bo‘yicha hosil qilingan xulosalar deduktiv

metod bilan isbot qilinishi kerak.

Algoritm — bajariladigan ishning tartibini belgilash.

Algoritm  tushunchasi  matematik  tushunchalardan  bo‘lib,

matematikaning «Algoritmlar nazariyasi» deb ataluvchi maxsus

bo‘limining tadqiqot obyekti hisoblanadi.

Algoritm biror jarayonni aniq tasvirlash va uni bajarish uchun

ko‘rsatmadir. «Algoritm» so‘zi IX asrda yashagan O‘rta osiyolik

matematik  al-Xorazmiyning  ismini  Yevropa  tillariga  tarjima

qilish natijasida kelib chiqqan. Al-Xorazmiy arifmetik amallarni

bajarish qoidasi (algoritm)ni ko‘rsatib bergan.

Algoritmlashtirishning vazifasi algoritmlarni tuzish (yozish)ga

o‘rgatishdan  iborat  bo‘lib,  bajaruvchi  (odam,  robot,  EHM)

algoritmlarni  bajarish  qoidasiga  rioya  qilgan  holda  yagona

natijaga erishmog‘i lozim. Bu esa algoritmlarni yozish qoidasiga

ba’zi  talablar  qo‘yadi.  Bular  quyidagi  xossalar  ko‘rinishida

ifodalanadi:

Aniqlik xossasi. Algoritm ko‘rsatmalari bir ma’noli bo‘lishi

zarur. Algoritm bajariladigan amallarning zarur ketma-ketligini

aniq  belgilab  beradi.  Algoritmning  amalga  oshish  jarayoni

konkret hisobchiga bog‘liq bo‘lmaydi.

Ommaviylik xossasi. Algoritmning boshlang‘ich ma’lumot-

larning ruxsat etilgan ixtiyoriy qiymatlarida yaroqli bo‘lishi zarur.

Natijaviylik xossasi. Izlanayotgan natijani boshlang‘ich

ma’lumotlarning  ruxsat  etilgan  qiymatlari  uchun  chekli

sondagi yetarlicha raqamlardan so‘ng olishi mumkin bo‘lishi

kerak.

1- misol. Nargiza qovurma kartoshkani xush ko‘radi. Ona-

sining bajargan ishini tartib bilan joylashtiring:

a) kartoshkani tuzladi;

b) qizitilgan yog‘ga kartoshkani tashladi;

d) gaz pechkani yoqdi;

e) kartoshkani artdi;

f) magazindan kartoshka va yog‘ sotib oldi;

g) yog‘ni qozonga quydi va gazga qo‘ydi;

h) gazni o‘chirdi va kartoshkani likopchaga suzdi.

---

21

Mashqlar

1. Quyidagi mulohazalarning har birida umumiy asosni, xususiy

asosni  va  xulosani  ajrating:  agar  uchburchak  teng  yonli

bo‘lsa,  u  holda  uning  asosidagi  burchaklari  teng  bo‘ladi;

har qanday teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari

teng; ABC uchburchakning asosidagi burchaklari teng emas,

demak, ABC teng yonli uchburchak emas; har qanday teng

yonli  uchburchakning  asosidagi  burchaklari  teng  bo‘ladi;

ABC teng yonli uchburchak emas, demak, uning asosidagi

burchaklari teng bo‘lmaydi.

2. Karim 5 ta yong‘oq topdi, Olim esa 3 ta yong‘oq topdi.

Karim nechta ko‘p yong‘oq topdi?

Masalani  yechishda  amallar  tanlashni  asoslash  tavsiya

etilgan  edi.  Bir  o‘quvchi  bunday  qildi:  «Bu  masalada  5

soni 3 dan nechta ko‘p ekanligini bilish kerak. Shuning

uchun 5 dan 3 ni ayirish kerak». Boshqa o‘quvchi bunday

asoslashni tavsiya etdi: «Bir soni ikkinchisidan nechta ko‘p

ekanini aniqlashni talab etadigan hamma masalalar ayirish

bilan  yechiladi.  Bu  masalani  5  soni  3  dan  nechta  ko‘p

ekanini  bilish  kerak.  Demak,  masalaning  savoliga  javob

berish  uchun  5  dan  3  ni  ayirish  kerak».  O‘tkazilgan

mulohazalar  to‘g‘rimi?  Ular  bir-biridan  nima  bilan  farq

qiladi?

3. Mulohazani  shunday  tuzingki,  natijada  u  to‘g‘ri  bo‘lsin:

agar  sonning  raqamlari  yig‘indisi  3  ga  bo‘linsa,  u  holda

son 3 ga bo‘linadi; 327 sonining raqamlari yig‘indisi 3 ga

bo‘linadi, demak ... ; agar sonning raqamlari yig‘indisi 3

ga  bo‘linsa,  u  holda  son  3  ga  bo‘linadi;  m  soni  3  ga

bo‘linmaydi, demak ... ; agar son 18 ga bo‘linsa, u holda

u 6 ga bo‘linadi; agar son 6 ga bo‘linsa, u holda u 3 ga

bo‘linadi, demak ... .

4. Quyidagi  mulohazalar  deduktivmi:  III  sinfning  hamma

a’lochilari sport bilan shug‘ullanadi; III sinf o‘quvchisi Salim

a’lochi; demak Salim sport bilan shug‘ullanadi; III sinfning

hamma  a’lochilari  sport  bilan  shug‘ullanadi.  III  sinf

o‘quvchisi Vali sport bilan shug‘ullanmaydi; demak u a’lochi

emas; III sinfning hamma a’lochilari sport bilan shug‘ul-

lanadi. III sinf o‘quvchisi Lola a’lochi emas; demak u sport

bilan shug‘ullanmaydi; III sinfning hamma a’lochilari sport

---

22

bilan  shug‘ullanadi.  III  sinf  o‘quvchisi  Ra’no  sport  bilan

shug‘ullanadi; demak, u a’lochi?

5. Quyidagi  har  bir  mulohazada  umumiy  asosni  tiklang:  12

natural  son,  demak,  u  musbat;  ABC  uchburchak  teng

tomonli uchburchak, demak, u teng yonli uchburchak; 188

soni 9 ga bo‘linmaydi, demak, uning raqamlari yig‘indisi 9

ga bo‘linmaydi.

6. Quyidagi  jumlalarning  tuzilishini  tahlil  qiling:  ba’zi  toq

sonlar 9 ga bo‘linadi; har qanday to‘g‘ri to‘rtburchakning

diagonallari teng; birinchi o‘nlikdagi sonlardan aqalli bittasi

murakkab son; ketma-ket keluvchi ixtiyoriy ikkita natural

sonning ko‘paytmasi 2 ga karralidir.

7. Quyidagi fikrlarni isbotlang yoki rad eting: ixtiyoriy to‘rtbur-

chakning diagonallari teng; ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi;

7 ga karrali juft sonlar mavjud; barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar

ko‘pburchaklardir.

8. Fikrlarning rostligini to‘la induksiyadan foydalanib isbot-

lang: barcha bir xonali natural sonlar tenglamaning yechimi

bo‘ladi; 4 dan katta, lekin 20 dan kichik har bir juft natural

sonni ikkita tub sonning yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash

mumkin.

9. Àvtîbusdà  32  tà  yo‘lîvchi  bîr.  Hàr  bir  båkàtdà  6  kishi

tushib, 4 kishi chiqdi. Uch båkàtdàn so‘ng àvtîbusdà nåchtà

yo‘lîvchi bo‘lgàn?

10. Àmàllàrni bàjàring:

+60

–120

+198

–378

+90

–165

+540

---

23

11. Quyidàgi àlgîritm bo‘yichà àmàllàrni bàjàring:

12. Rasmdan foydalanib màsàlà tuzing:

13. Màktàbgà bîrish yo‘lingizning àlgîritmini tuzing.

14. Hisoblang:

7902 : 3 + 1765 =

;

126•12 - 1007 =

;

1876 + 1440 : 12 =

;

6250 : 25 - 30•5 =

.

15. Jàdvàlni to‘ldiring:

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2×a+a

3

a×4

32

16. Uchburchàkning  bir  tîmîni

3 sm, ikkinchisi birinchisidàn

1 sm qisqà, uchinchi tîmîni

esà ikkinchisidàn 4 sm uzun.

Uchburchàkning  pårimåtrini

tîping.

17. Chîy  dàmlàsh  àlgîritmini

to‘g‘ri tuzing:

a) chîy dàmlànàdigàn chîynàkkà qàynàgàn suv quying;

b) suvni qàynàting;

d) dàmlàngàn chîynàkni màõsus yopqich bilàn yoping;

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

10

22 10

19

• 3

+7

<18 ?

–8

Ha

Yo‘q

x

300

+40

–700

+250

–40

+700

–250

---

24

e) chîy dàmlànàdigàn chîynàkni qàynîq suv bilàn chàying;

f) chîynàkkà quruq chîy soling;

g) quruq chîy tàyyorlàng.

18. Jàsurdà  à  kitîb,  Shåràlidà  b  kitîb,  Shuhràtdà  esà  c  kitîb

bîr. Ushbu

a) a + b;

d) a + c;

  f) a•c;

b) b + c;

e) a + b + c;

  g) b•c.

ifîdàlàr nimàni bildiràdi? Bu ifîdàning qiymàtini a = 12,

b = 10, c = 7 bo‘lgàndà tîping.

19. 1475

1398

+

  va

2

140

1279

+

  ni  bàjàring  và  natijalardan  foydalanib,

quyidàgilàrni îg‘zàki hisîblàng:

a) 1476 + 1398 =

;

h) 1402 - 1280 =

;

b) 1475 + 1399 =

;

i) 1403 - 1279 =

;

d) 1476 + 1397 =

;

j) 1403 - 1280 =

;

e) 1575 + 1398 =

;

k) 1602 - 1279 =

;

f) 1873 - 1475 =

;

l) 1402 - 1123 =

;

g) 1873 - 1398 =

;

m) 1279 - 1123=

.

20. Yoqilg‘i  quyish  shîõîbchàsidà  500  litr  yoqilg‘i  bîr.  6 tà

«Tikî» và 5 tà «Nåksiya» màshinàsigà yoqilg‘i quyildi. Àgàr

hàr bir «Tikî» màshinàsigà 20 litrdàn và hàr bir «Nåksiya»

màshinàsigà 26 litrdàn yoqilg‘i quyilgàn bo‘lsà, shîõîbchàdà

nåchà litr yoqilg‘i qîlgàn?

21. Rasmdan foydalanib tånglàmàni yåching:

22. Eng qulày usuldà hisîblàng:

1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = 

.

+387

x

815

+x

760

570

– 88

x

420

–x

850

940

---

25

23. Quyidàgi àlgîritm bo‘yichà jàdvàlni to‘ldiring:

5- §. TO‘PLAM TUSHUNCHASI

To‘plam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Uni

misollar  asosida  o‘rganamiz.  Shu  o‘rinda  pedagogika  kolleji

talabalari to‘plami, x + 1 > 0 tengsizlikning yechimlari to‘plami,

auditoriyadagi stullar to‘plami haqida gapirish mumkin. Hayotda

to‘plam  so‘zi  o‘rniga  maxsus  so‘zlar  qo‘llanilishi  mumkin,

masalan, suruv, gala, poda va hokazo.

To‘plamni tashkil etuvchi har qanday obyekt uning element-

lari  deyiladi.  Masalan,  3  soni  natural  sonlar  to‘plamining

elementi, 4-aprel esa aprel oyining to‘rtinchi kuni.

To‘plam va uning elementi orasidagi munosabat «tegishli»

so‘zi bilan ifodalanadi. 3 sonini natural sonlar to‘plamiga tegishli

deyish mumkin.

To‘plamlar  va  ularning  elementlari  to‘g‘risida  turli  mulohaza-

larni  qisqacha  yozuv  bilan,  aniqrog‘i  belgilar  bilan  almashtirish

mumkin.  Odatda,  to‘plamni  lotin  alifbosining  bosh  harflari  bilan,

uning elementlarini kichigi bilan, tegishli so‘zi «Î» belgi bilan yoziladi.

a  element  A  to‘plamga  tegishli,  mulohazasi  a Î A  deb

yoziladi. a element A to‘plamga tegishli emas, mulohazasi a Ï A

(yoki 

Î

) deb yoziladi. Masalan, A to‘plamning ayrim elementlari

uchun  16 Î A,  328 Î A,  17 Ï A, 

2

3

1

Ï A  mulohazalar  rost

bo‘ladi. Ayrim sonli to‘plamlar uchun maxsus belgilar mavjud.

Masalan,  barcha  natural  sonlar  to‘plami  N,  butun  manfiy

bo‘lmagan sonlar to‘plami Z

0

, barcha butun sonlar to‘plami Z,

barcha  ratsional  sonlar  to‘plami  Q  va  barcha  haqiqiy  sonlar

to‘plami R bilan belgilanadi.

To‘plam elementlari chekli va cheksiz bo‘lishi mumkin. Ma-

salan, o‘qitiladigan fanlar to‘plami chekli, lekin to‘g‘ri chiziq-

dagi nuqtalar to‘plami cheksiz.

a

5

8 10 11 14 16 17 18 20

x

2

a

<9 ?

+7

– 8

x

Ha

Yo‘q

---

26

To‘plam bitta elementdan iborat bo‘lishi mumkin, masalan,

«shar» so‘zidagi unli tovushlar to‘plami bitta «a» harfidan iborat.

Matematikada bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plamlar

ham qaraladi. Uni bo‘sh to‘plam deyiladi va «Æ» deb belgilanadi.

Bo‘sh to‘plamga auditoriyadagi Zulfiya mukofoti sovrindori

to‘plami (agar sovrindor bo‘lmasa) misol bo‘ladi.

Agar  biror  obyekt  haqida  to‘plamga  tegishli  yoki  tegishli

emas deb aytish mumkin bo‘lsa, to‘plam berilgan hisoblanadi.

To‘plamni barcha elementlarini yozish orqali berish mumkin.

Masalan, to‘plam agar a, b, c, d dan iborat bo‘lsa, A = {a; b;

c; d} deb yoziladi.

To‘plamni uning elementini xarakterlovchi xossasi orqali berish

ham  mumkin.  Masalan,  5  dan  kichik  natural  sonlar  to‘plami

M = {1; 2; 3; 4} yoki M = {x½ x Î N va x < 5} deb yozish mumkin.

Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan tuzilgan bo‘lsa,

ular teng to‘plamlar hisoblanadi va A = B deb yoziladi.

Masalan, A = {1

2

; 2; 3; 2

2

; 5; 6} va B = {1;

8

;

2

4, 9;

25;

7-1} bo‘lsa, u holda A=B, chunki har ikkala to‘plam 1, 2, 3, 4,

5, 6 sonlardan iborat.

A — auditoriyadagi talabalar to‘plami, B esa auditoriyadagi

o‘g‘il bolalar to‘plami bo‘lsin. B to‘plam A to‘plamning qismini

tashkil etadi. Umuman, faqat va faqat B ning barcha elementlari

A to‘plamga tegishli bo‘lsa, B to‘plam A to‘plamning to‘plam

osti  bo‘ladi  va  B Ì A  deb  yoziladi.  Bundan  har  qanday

to‘plamning o‘zini to‘plam ostisi bo‘ladi deyish to‘g‘ri bo‘ladi.

Umuman,  agar  B Ì A  va  A Ì B  bo‘lsa,  B = A  kelib  chiqadi,

deb  xulosa  qilish  mumkin.  Bundan  tashqari,  agar  A Ì B  va

B Ì C bo‘lsa, unda A Ì C bo‘ladi.

To‘plamlardan  tushunchalarni  ta’riflashda  foydalaniladi.

Masalan, nuqtalar to‘plami geometrik figura deyiladi. Shuning

uchun kesma, nur, to‘rtburchak, uchburchak geometrik figuralar

bo‘ladi. AB kesma AB to‘g‘ri chiziqning qismi bo‘ladi.

Mashqlar

1. To‘plamga misollar keltiring.

2. To‘plamlarning uchta elementini ayting: pedagogika bilim

yurtlarida  o‘rganiladigan  fanlar  to‘plami;  o‘zbek  yangi

alifbosidagi jarangli undosh tovushlar to‘plami; natural sonlar

to‘plami.

---

27

3. To‘plamlarni turlicha usullar bilan o‘qing:

12 Î X ;

-3 Ï X .

4. B juft sonlar to‘plami. Buni bilgan holda, quyidagi jumlalarni

simvollar yordamida yozing: 20 juft son; 12 toq son emas.

5. Quyidagi fikrlarni o‘qing va ular orasidan rostlarini aniqlang:

a) 100 Î N;

e) 102 Ï R;

h) -7 Î R;

b) -8 Î Z;

f) 5,36 Î Q;

i)  2 Î Q.

d) -8 Î N;

g) 

3

4

ΠN;

6. Bo‘sh, chekli, cheksiz to‘plamlarga misol keltiring.

7. 2x - y = 3  tenglama  berilgan.  Mazkur  tenglamaning  bir

nechta yechimini yozing. Har bir yechim nimani ifodalaydi?

(4;5) juftlik berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladimi? (5;4)

juftlik-chi?

6- §. TO‘PLAMLAR USTIDA AMALLAR

A = {a; b; c; d} va B = {c; d; e} to‘plamlar berilgan bo‘lsin.

Bir vaqtda A va B ga tegishli bo‘lgan elementlardan tuzilgan

P = {c; d} to‘plam to‘plamlarning kesishmasi bo‘ladi, bu A Ç B

deb yoziladi, Ç belgi to‘plamlarning kesishishini bildiradi.

Agar A va B to‘plamlar umumiy elementlarga ega bo‘lmasa,

ular kesishmaydi va AÇB = Æ deb yoziladi. Bundan tashqari,

har qanday A, B va C to‘plamlar uchun:

(A Ç B) = B Ç A ;

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

Agar  A Ì B  bo‘lsa,  unda  A Ç B =A  bo‘ladi.  Xususiy  holda

A Ç A =A, A Ç Æ = Æ, A Ç J =A, universal to‘plam (J =A) kelib

chiqadi.

A  va  B  to‘plamlarning  hech  bo‘lmaganda  biriga  tegishli

bo‘lgan elementlardan iborat bo‘lgan to‘plam ularning birlash-

masi bo‘ladi va A È B deb belgilanadi, bunda «È» — birlashma

belgisi.  Masalan,  A = {m;  n;  p;  k;  l}  va  B = {p;  r;  s;  n}

to‘plamlarning birlashmasi A È B = {m; n; p; k; l; r; s} bo‘ladi.

A — pedagogika kolleji I kurs talabalari, B — II kurs talabalari

bo‘lsin. Unda  A È B  to‘plamga I kurs yoki II kurs talabalari

kirishi  mumkin.  Ular  orasida  I  kurs  talabalari  yoki  II  kurs

talabalari yoki I va II kurs talabalaridan iborat bo‘lishi mumkin.

---

28

Xossalari:

1)  har  qanday  A  va  B  to‘plamlar  uchun  A È B = B È A

(kommutativlik)  bo‘ladi;

2)  har  qanday  A,  B  va  C  to‘plamlar  uchun  (A ÈB) È C  =

= AÈ(B È C) bo‘ladi;

3) agar B Ì A bo‘lsa, unda A È B = A bo‘ladi. Xususiy holda

A È A = A, A È Æ = A, A È J = J bo‘ladi;

4) har qanday A, B va C to‘plamlar uchun

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C),

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

tengliklar o‘rinli.

B to‘plam A ning qismi bo‘lsin. B ga tegishli bo‘lmagan A

to‘plamning elementlaridan iborat to‘plam B ni A ga to‘ldiruvchi

bo‘ladi va B¢

A

 deb belgilanadi.

A deb I kurs talabalari to‘plami, B deb I kurs qiz bolalar

to‘plami olinsa, B¢

A

 to‘plam o‘g‘il bolalar to‘plami bo‘ladi.

1- misol. A = {2; 3; 4} to‘plamning barcha qism to‘plamlarini

yozing.

Y e c h i s h . Bir elementli qism to‘plamlari {2}, {3}, {4}, ikki

elementli  qism  to‘plamlari  {2;  3},  {2;  4},  {3;  4},  shuningdek,  A

to‘plamning o‘zi, ya’ni {2; 3; 4} va bo‘sh to‘plam Æ ga misol bo‘ladi.

Shunday qilib, berilgan A to‘plam 8 ta qism to‘plamga ega ekan.

2- misol.  5  va  3  sonlaridan  foydalanib,  qism  to‘plamning

to‘ldiruvchisi masalasining mohiyatini tushuntiring.

Y e c h i s h.  5 ta daftar olamiz va 3 tasini ajratib, qolganini

sanaymiz. Demak, 2 ta daftar qoladi. Bundan, umumiy holda

a ta elementga ega bo‘lgan berilgan to‘plamdan b ta elementga

ega bo‘lgan qism to‘plam chiqarib tashlanyapti va to‘plamning

qolgan qismida a - b ta element bo‘ladi.

3-misol. A = {1; 2; 3; 5}, B = {1; 5} bo‘lsa, A Ç B ni toping.

Y e c h i s h . Ta’rifga ko‘ra, A Ç B = {2; 3} bo‘ladi.

 Shuni qayd etish lozimki, N barcha natural sonlar to‘plami,

Z  barcha  butun  sonlar  to‘plami,  Q  barcha  ratsional  sonlar

to‘plami,  R  barcha  haqiqiy  sonlar  to‘plami  bo‘lib,  N Ì

Z Ì Q Ì R bo‘lganligi uchun R to‘plami qolgan sonli to‘plam-

lar uchun universal to‘plam vazifasini bajaradi.

A va B to‘plamlarning ayirmasi B ga kirmagan A ning barcha

elementlaridan iborat to‘plam bo‘ladi va A\B deb belgilanadi.

A = {a; b; c; d; e}, B = {b; d; e; k; f; n} bo‘lsa, A\B = {a; c}

bo‘ladi.

---

29

4- misol. Quyidagilarning to‘g‘riligiga osongina ishonch hosil

qilish mumkin:

A  barcha  juft  sonlar  to‘plami  A = {a½a = 2n,  n Î N },

B barcha toq sonlar to‘plami B = {b½b = 2n - 1, n Î N} bo‘lsa,

A È B = N  bo‘ladi;

A = {a½4 £ a £ 14,  a Î R},  B = {b½10 < b < 19,  b Î N}

bo‘lsa,  A Ç B = {x½11 £ x £ 14,  x Î N} bo‘ladi;

A = {a½,  ½a½< 4,  a Î R},  B = {b½,  ½b½£ 2,  a Î R}.

A È B = {x½-4 < x < -2  È  2 < x < 4};

Agar B Ì A bo‘lsa, A È B = B¢

A

 ko‘rinishda belgilanadi va B

to‘plamning A to‘plam to‘ldirmasi bo‘ladi;

A va B to‘plamlarning 1- elementi A to‘plamdan, 2- elementi

B to‘plamdan olingan (a; b) ko‘rinishdagi barcha tartiblangan

juftliklar to‘plamiga A va B ning dekart ko‘paytmasi deyiladi va

A•B yoki A ´ B ko‘rinishda belgilanadi. A´B = {(a; b)½a Î A

va bÎB}. Agar A = {2; 3; 4; 5}, B = {a; b; c} bo‘lsa, A ´ B = {(2;

a), (2; b), (2; c), (3; a), (3; b), (3; c), (4; a), (4; b), (4; c), (5;

a), (5; b), (5; c)} bo‘ladi.

Mashqlar

1. Ikki to‘plam orasida qanday munosabatlar bo‘lishi mumkin?

2. Qism, teng to‘plamlarga misollar keltiring.

3. To‘plamlar ustida amallar xossalarini ayting va izohlang.

4. To‘plamlar dekart ko‘paytmasiga ta’rif bering. Dekart ko‘payt-

ma kommutativlik xossasiga ega bo‘lmasligini tushuntiring.

5. To‘plamlarni  qism  to‘plamlarga  ajratishning  qaysi  holida

sinflarga ajratish deyiladi?

6. To‘plamni sinflarga ajratishga misol keltiring.

7. To‘plamni bitta, ikkita, uchta xossaga ko‘ra sinflarga ajra-

tishda hosil bo‘ladigan sinf elementlarini ta’riflang.

7- §. IKKI TO‘PLAM ELEMENTLARI ORASIDAGI MOSLIK.

BINAR MUNOSABATLAR VA ULARNING XOSSALARI

Moslik lotin alifbosining f, g, t, s kabi harflari bilan belgilanadi.

Sizga  ma’lum  bo‘lgan  funksiyalarning  hammasi  moslik

tushunchasiga misol bo‘la oladi.

X  to‘plam  moslikning  birinchi  to‘plami  deyiladi.  X  to‘p-

lamning moslikda ishtirok etuvchi elementlar to‘plami moslik-

ning aniqlanish sohasi deyiladi.

---

30

Y  to‘plam  moslikning  ikkinchi  to‘plami  deyiladi.  Y  to‘p-

lamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning

qiymatlar to‘plami deyiladi.

2. G

f

Ì X ´ Y to‘plam moslikning grafigi deyiladi. 2 to‘plam

orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar, strelkalar

yordamida  tasvirlovchi  rasmlar  moslikning  grafi  deyiladi.

Masalan:

X = {a; b; c; d; e};

Y = {m; n; p; q};

G

f

= {(a; m), (b; p), (c; n), (c; q), (d; p)}.

Aniqlanish sohasi = {a; b; c; d}

qiymatlar to‘plami a {m; n; p; q}.

1. Agar f moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan

ustma-ust tushsa, f moslik hamma yerda aniqlangan bo‘ladi.

Agar f moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan

ustma-ust tushsa, f moslik suryektiv, agar f moslikda birinchi

to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan

ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, f moslik funksional, agar f

moslikda  ikkinchi  to‘plamning  har  bir  elementiga  birinchi

to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan

bo‘lsa, f moslik inyektiv diyiladi. Suryektiv va inyektiv moslik

bir so‘z bilan biyektiv bo‘ladi.

Hamma  yerda  aniqlangan  funksional  moslik  akslantirish

bo‘lishini unutmaslik kerak.

X  va  Y  to‘plamlar  orasidagi  f  moslik  biyektiv  akslantirish

bo‘lsa,  X  va  Y  to‘plamlar  orasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik

o‘rnatilgan bo‘ladi.

X  va  Y  to‘plamlar  orasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik

o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli bo‘ladi.

Barcha natural sonlar to‘plami N ga teng quvvatli to‘plamlar

sanoqli  to‘plamdir.

f

a

m

b

n

c

p

d

q

     X

          Y

---

31

X ´ X  ning  istalgan  G  qism  to‘plamiga  binar  munosabat

deyiladi. Binar munosabatlar P, Q, R va boshqa lotin harflari

bilan belgilanadi. Matematikada binar munosabatlar «=», «<»,

«>»,  «¹»,  «½½»,  «^»  kabi  belgilar  orqali  beriladi.  Masalan:

X = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} to‘plam elementlari orasidagi munosabat

P: «x > y» berilgan. U quyidagi juftliklar to‘plami orqali ifoda

qilinadi: G = {(4; 3), (5; 3), (5; 4), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (7; 3),

(7;4), (7; 5), (7; 6), (9; 3), (9; 4), (9; 5), (9; 6), (9; 7)}.

To‘plamlar o‘rtasida quyidagi munosabatlar bo‘lishi mumkin:

Agar  X  to‘plamning  har  bir  elementi  o‘z-o‘zi  bilan  R

munosabatda bo‘lsa (ya’ni, x R x bajarilsa), u holda R munosabat

X  to‘plamda  refleksiv  deyiladi.  Masalan,  «=»,  «½½»,  «^»

munosabatlar  refleksivdir.

Agar  X  to‘plamning  birorta  ham  elementi  uchun  x R x

bajarilmasa,  u  holda  R munosabat  X  to‘plamda  antirefleksiv

deyiladi.  Masalan,  «<»,  «>»,  «^»  munosabatlar  anti-

refleksivdir.

Agar  X  to‘plamda  R  munosabat  berilgan  bo‘lib,  x R y  va

y R x  shartlar  bir  vaqtda  bajarilsa,  R  simmetrik  munosabat

deyiladi.  Masalan,  «½½»,  «^»,  «=»  munosabatlar  simmetrik

munosabatlardir.

Agar  X  to‘plamda  R  munosabat  uchun  x R y  va  y R x

ekanligidan  x =y  ekanligi  kelib  chiqsa,  R  antisimmetrik

munosabat deyiladi. Masalan, «x soni y soniga karrali» munosa-

bati  antisimmetrikdir.

Agar  X  to‘plamda  berilgan  R  munosabat  uchun  x R y  va

y R z  ekanligidan  x R z  bajarilishi  kelib  chiqsa,  u  holda  R

munosabat  tranzitiv  deyiladi.  Masalan,  «=»,  «>»,  «<»  kabi

munosabatlar  tranzitivdir.

Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv

bo‘lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi. Masalan,

«½½»,  «=»,  «@»  kabi  munosabatlar  ekvivalentlik  munosabati

bo‘ladi. Ekvivalentlik munosabati to‘plamni sinflarga ajratadi.

Agar R munosabat antisimmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda

R tartib munosabati deyiladi. Masalan, «<», «>», «£», «³» lar

tartib munosabati bo‘ladi.

Agar X va Y to‘plam elementlari orasidagi R munosabatda

X to‘plamning har bir elementiga Y to‘plamning bittadan ortiq

bo‘lmagan elementi mos kelsa, u holda R funksional munosabat

yoki funksiya deyiladi.

---

32

Agar  R  munosabat  funksional  bo‘lsa,  u  holda  uning

aniqlanish  sohasi  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  deyiladi.

Qiymatlar sohasi esa funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi.

Agar X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi R munosabatda

X ning har bir elementiga Y ning faqat bitta elementi mos kelsa,

u holda R munosabat X ni Y ga suryektiv akslantirish deyiladi.

Agar akslantirishning qiymatlar sohasi Y to‘plam bilan teng

bo‘lsa, akslantirish inyektiv deyiladi.

(Binar so‘zi — lotincha bis so‘zi bo‘lib, ikki degan ma’noni

anglatadi.

Mashqlar

1. G

f

Ì X ´ Y shartni izohlang.

2. Moslikning berilish usullarini sanang.

3. Moslik turlariga misollar keltiring va ular grafiklarining o‘ziga

xos xususiyatlarini ko‘rsating.

4. Uchburchakning  o‘rta  chizig‘i  bilan  asosi  orasida  o‘zaro

bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkinmi?

5. Barcha  natural  sonlar  to‘plami  bilan  barcha  ratsional  sonlar

to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkinmi?

6. Chekli to‘plamlarning teng quvvatli bo‘lish shartini ayting.

7. Cheksiz to‘plamlar uchun bu shart qanday?

8. Munosabatni moslikning xususiy holi ekanini tushuntiring.

9. Munosabat xossalarini chizmada aks ettiring.

10. To‘g‘ri  chiziqlarning  parallelligi  ekvivalentlik  munosabati

bo‘ladimi?  Perpendikularligi-chi?  Isbotlang.

11. Tekislikdagi uchburchaklar to‘plamida «tengdoshlik» ekviva-

lentlik munosabatlarini ko‘rsating.

8- §. SONLAR  O‘QI

Chapdan o‘ngga qarab nur chizib, nurning boshiga 0 soni

yoziladi. Tayin uzunlikka ega bo‘lgan kesma olinadi va nurning

boshidan  ketma-ket  bir,  ikki,  uch  va  hokazo  marta  qo‘yib

chiqiladi. Belgilangan nuqtalarga mos sonlar yoziladi.

N = {1, 2, 3, 4, ...} natural sonlar to‘plamini quyidagicha

tasvirlaymiz:

0

1

2

3

4

5

6

7

R

8

---

33

W = {0, 1, 2, 3, 4, ...} butun sonlar to‘plamini quyidagicha

belgilaymiz:

Sonlar o‘qini yasashda quyidagilarni yodda saqlash kerak:

— 0 soni nurning boshiga mos keladi;

— sonlar o‘qida teng kesmalar ketma-ket qo‘yiladi;

— nurning har bir nuqtasidan nurning boshigacha bo‘lgan masofa

shu nuqtaga mos kelgan songa teng bo‘ladi. Masalan, 4 soni nurning

boshidan 4 birlik masofada, 27 soni esa 27 birlik masofada yotadi.

Hayotda  har  qadamda  qandaydir  obyektlarni  turar  joyini

aniqlashda sondan foydalaniladi. Masalan, «Matematika kabineti

o‘ngdan birinchi xona», «Mehmonxona katta yo‘ldan 300 m

uzoqlikda  joylashgan»,  «Elmurod»  firmasi  Fayzulla  Xo‘jayev

36- uyda joylashgan, — deb gapiriladi. Son yordamida nurning

har qanday nuqtasini belgilash mumkin. Masalan, rasmda M

nuqta 4 soni bilan beriladi, chunki M nuqta nurning boshidan

4 birlik masofada joylashgan.

M  nuqtadan  O  nurning  boshigacha  bo‘lgan  masofani

aniqlovchi son, M nuqtaning koordinatasi deyiladi. Rasmda M

nuqtaning  koordinatasi  4  ta  teng  va  bu  M  (4)  deb  yoziladi.

Demak, sonlar o‘qini koordinata o‘qi desak bo‘ladi.

Misol. 1, 2 va 3 raqamlaridan foydalanib, mumkin bo‘lgan

barcha ikki xonali sonlarni yozing.

Y e c h i s h . Hosil bo‘ladigan sonning har biri ikkita raqamdan

iborat bo‘lib, bunda ularning kelish tartibi muhimdir, masalan,

1 va 2 raqamlaridan ikkita turli 12 va 21 sonlarni hosil qilish

mumkin. Shunday qilib, 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33. a va

b sonlari yordamida tartiblangan (a,b) juftlikni yozish mumkin,

bunda  a  juftlikning  birinchi  koordinatasi  (tashkil  etuvchisi),  b

element esa uning ikkinchi koordinatasi (tashkil etuvchisi) bo‘ladi.

Mashqlar

1. Sonlar o‘qida quyidagi nuqtalarni belgilang:

a) A(12), B(5), C(6), D(-12), E(8; 12), bunda l = 1 sm;

b)  A  (-2),  B(1),  C(2),  D(5),  bunda  birlik  kesma  uchun

daftarning 3 ta katakchasi olinsin.

3 — E. Jumayev

0

1

2

3

4

5

6

7

R

8

0

1

2

3

4

5

6

7

R

8

9

10

11

---

34

2. «5 soni 1 dan katta» ekanligini tushuntiring.

3. 2 < 7 yozuvni tahlil qiling. Javobingizni asoslang.

4. Nurda A(2) va B(8) nuqtalarni belgilang. Ular orasida necha

birlik kesma bor?

5. Ushbu qoida to‘g‘rimi? Sonlar o‘qidagi ikki nuqta orasidagi

masofani  topish  uchun  katta  koordinatasidan  kichigini

ayirish kerak.

6. Agar  A = {0; 2; 4; 6}; B = {1; 3; 5}, bo‘lsa, A ´ B  dekart

ko‘paytmani  to‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  sistemasida

tasvirlang.  (2;  3)  nuqta  hosil  qilingan  figuraga  tegishli

bo‘ladimi? (3; 0) nuqta-chi?

7. A  to‘plamda  7  ta  element  bor.  Agar  A ´ B  dekart  ko‘-

paytmada 42 ta; 0 ta element bo‘lsa, B to‘plamda nechta

element bor?

8. To‘plam kitob va yon daftarchalardan tuzilgan. Agar 20 ta

turli kitob va 15 ta turli yon daftarcha bo‘lsa, nechta har xil

to‘plam tuzish mumkin?

9. Agar  sonlarning  yozuvida  raqamlar:  takrorlansa;  takror-

lanmasa,  1;  2;  3;  4  raqamlaridan  foydalanib,  nechta  ikki

xonali son tuzish mumkin?

10. Agar sonlarning yozuvida 1; 2; 4; 6; 8 raqamlaridan faqat bir

martadan  foydalanish  mumkin  bo‘lsa,  bu  raqamlardan

foydalanib,  nechta  turli  to‘rt  xonali  son  yozish  mumkin?

Ular orasida 2 raqamidan boshlanadigan nechta son bor?

9- §.  TEKISLIKDA KOORDINATALAR SISTEMASI

Umumiy uchgà egà bo‘lgàn, tîmînlàri kîîrdinàtà o‘qlàridàn

ibîràt to‘g‘ri burchàk chizamiz.

Bundày burchàk kîîrdinàtà burchàgi dåyilàdi.

Kîîrdinàtà burchàgining tîmînlàridàn biri, ya’ni gîrizîntàl

jîylàshgàni  Oõ  àbssissàlàr  o‘qi,  ikkinchi  tîmîni  esà  vårtikàl,

ya’ni Oy îrdinàtàlar o‘qi dåyilàdi.

Ox và Oy kîîrdinàtà o‘qlàri chizmàdà strålkà bilàn ko‘rsà-

tilàdi. Kîîrdinàtà burchàgidàgi hàr qàndày nuqtàning hîlàtini

sîn bilàn ifîdàlàsh uchun, shu nuqtàdàn burchàk tîmînlàrigà

pårpåndikular to‘g‘ri chiziqlàr o‘tkàzish kåràk và àvvàl àbs-

sissàsi (Ox o‘qidàgi kîîrdinàtàsi), kåyin îrdinàtàsi (Oy o‘qidàgi

kîîrdinàtàsi) aniqlanadi. Màsàlàn, À nuqtà 2 àbssissàgà và 5

îrdinàtàgà egà, dåmàk, À nuqtàning kîîrdinàtàlàri (2; 5) sînlàr

---

35

jufti bo‘làdi và À (2; 5) dåb

yozilàdi.  Àgàr  À  nuqtà

àbssissàsi và îrdinàtàsining

o‘rnini àlmàshtirsàk, bîsh-

qà B (5; 2) nuqtà hîsil bo‘-

làdi và B nuqtàning kîîr-

dinàtàlàri 5 và 2 dåb o‘qi-

làdi.

Mashqlar

1. Ràsmdà bålgilàngàn nuq-

tàning  kîîrdinàtàlàrini

yozing:

2. Bittà to‘ydà bir yarim kg dàn nîn isrîf bo‘làdigàn bo‘lsà,

100 tà to‘ydà qànchà nîn isrîf bo‘làdi?

3. Birinchi sinf 20 tà tåst, ikkinchi sinf esà 25 tà tåst sàvîllàrini

bàjàrishdi. Ulàr birgàlikdà nåchtà tåst sàvîllàrini bàjàrishgàn?

4. 427 dàn kàttà và 672 dàn kichik hàmdà yuzlàr õînàsidà 5

sîni  turgàn  nàturàl  sîn  yozing.  Shundày  sîndàn  nåchtà

yozish mumkin?

5. 8472 dàn kichik và 6196 dàn kàttà hàmdà minglàr õînàsidà

7 sîni turgàn nàturàl sîn yozing. Màsàlàning nåchtà yåchimi

bo‘lishi mumkin?

6. Muyassar 18 yoshda. U qachon tug‘ilgan?

7. (-1; 0), (-1; 4), (3; 0), (3; 4) sonlar juftligini tasvirlovchi

nuqtalar koordinatalar tekisligida qanday figurani hosil qiladi?

8. Abssissasi (-2; 2) to‘plamga, ordinatasi (-3, 3) to‘plamga

tegishli bo‘lgan nuqtalar qanday figurani hosil qiladi?

0

A(2; 5)

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

B(5; 2)

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

5

4

0 1 2 3

6 7 8 9 10

5

4

0 1 2 3

6 7 8 9 10

D

B

A

C

F

E

E

D

C

A

F

B

y

y

x

x

---

36

10- §. KOORDINATALARIGA  KO‘RA  NUQTANI  YASASH

Biz  àbssissàsi  và  îrdinàtàsi  îrqàli  hàr  qàndày  nuqtàning

kîîrdinàtà burchàgidàgi o‘rnini bålgilàshni bilàmiz. Màsàlàn,

M nuqtà 1- ràsmdà (6; 2) kîîrdinàtàlàrgà egà.

Tåskàri màsàlàni qàndày yåchish mumkin? Kîîrdinàtàlàri

bo‘yichà nuqtàni tåkislikdà jîylàshtiring. Undà, M (6; 2) nuqtà-

ning kîîrdinàtàlàrini chizmàdà bålgilàymiz.

Bu màsàlàni turli usullàr bi-

làn yåchish mumkin:

1- usul:  Àvvàl  õ  o‘qi  bo‘-

yichà 6 birlik yuràmiz so‘ngrà

2 birlik y o‘qi bo‘ylàb yuqîrigà

ko‘tàrilàmiz.

2- usul:  x  o‘qining  6  và  y

o‘qining 2 nuqtàlàridàn kîîr-

dinàtà  o‘qlàrigà  o‘tkàzilgàn

pårpåndikularlàrning kåsishish nuqtàsi tîpilàdi.

Mashqlar

1. Uchlàri A(2; 1), D(2; 6), E(7; 6), F(11; 1) nuqtàlàrdà bo‘lgàn

ADEF to‘rtburchàk yasàng và uning yuzini hisîblàng.

2. Ifîdàning qiymàtini tîping:

(7896•40690:1200)•0+38752:38752•200-(9142-9142):1.

3. To‘g‘ri  to‘rtburchak  shaklidagi  yer  màydînining  yuzi

224 kv·m. Màydînning bo‘yi 16 m. Màydînning eni qànchà?

4. Ifîdàning qiymàtini tîping:

a)  22987 - 308•72 + 596370 : 193;

b)  31365•(53 + 1795 - 370481) - 527.

x

5

4

0

1

2

3

6

7

y

3

2

1

M(6;2)

x

5

4

0

1

2

3

6

7

y

3

2

1

M(6;2)

5

4

0

1

2

3

6

7

y

3

2

1

x

M(6;2)

---

37

5. Àgàr bir o‘quvchi bir yildà 1 tupdàn õurmo ko‘chàti eksà,

sinfimizdà  25  tup,  màktàbimiz  bo‘yichà  1200  tup  và

Shårîbîd  tumàni  bo‘yichà  3000  tup  ko‘chàt  ekilgàn

bo‘làdi. Bu esà àtrîf-muhitni tîzà sàqlàsh uchun õizmàt

qilàdimi?

6. A

1

, A

2

, A

3

, A

4

 nuqtàlàrning kîîrdinàtàlàrini yozing:

A

1

(

; 

);

A

2

(

; 

);

A

3

(

; 

);

A

4

(

; 

).

Àgàr  nuqtà  Ox  o‘qidà  yotsà,  undà

uning îrdinàtàsi — 

.

7. B

1

, B

2

, B

3

, B

4

 nuqtàning kîîrdinàtàlàrini yozing:

B

1

(

; 

);

B

3

(

; 

);

B

2

(

; 

);

B

4

(

; 

).

Àgàr nuqtà Oy o‘qidà yotsà, undà uning abssissàsi — 

.

A (a;  0)  nuqtàni  yasàsh  uchun  õ  o‘qi  bo‘yichà  à  birlik

yuràmiz và to‘õtàymiz.

Shungà o‘õshàsh, B (0; b) nuqtà yasàlàdi.

8. C (1;  0),  T (0;  5),  K (0;  2),  M (4;  0),  D (7;  0),  F (0;  8)

nuqtàlàrni yasàng.

9. Birinchi  qo‘shiluvchi  102  và  13  ning  ko‘pàytmàsigà,

ikkinchisi 209 gà tång. Yig‘indi nimàgà tång?

10. 1050 và 1070 ning àyirmàsini tîping.

5

4

0

1

2

3

x

5

4

3

2

1

y

A

1

A

2

A

3

A

4

5

4

0

1

2

3

x

5

4

3

2

1

y

y

x

a

b

0

B

1

B

2

B

3

B

4

B(0; b)

A(a; 0)

---

38

11. Àgàr vànnàdà vîdîprîvîd jo‘mràgi îchiq qîlsà, 2 dàqiqàdà

3 litr tîzà suv båhudà îqib kåtàdi. Uni Ibn Sino màssivi

bo‘yichà hisîblàsàk, bir sutkà dàvîmidà 8640 litr bo‘làdi.

Bu  esà  tàõminàn  13  gà  pàõtà  màydînini  yoki  10  gà

shîlipoyani sug‘îrishgà yåtàdi. Õulîsà qiling.

11- §.  MUNOSABAT  TUSHUNCHASI.

MUNOSABATLARNING  XOSSALARI

Matematikada  faqat  obyektlar  (sonlar,  figuralar,  kattalik-

lar)ning o‘zigina emas, balki ular orasidagi bog‘lanishlar, mu-

nosabatlar ham o‘rganiladi. Masalan, 11 soni 9 sonidan katta

(ortiq);  7  soni  5  sonidan  2  ta  ko‘p;  5  soni  2  sonidan  keyin

keladi, aniqrog‘i, «katta (ortiq)», «ta ko‘p», «keyin keladi» va

hokazolar bilan bog‘langan. Geometriyada to‘g‘ri chiziqlarning

parallelligi  va  perpendikularligi,  figuralarning  tengligi  hamda

o‘xshashligi,  to‘plamlarni  taqqoslab,  kesishadi  yoki  teng  va

hokazo munosabatlar o‘rganiladi.

Ta’rif. X va Y to‘plam elementlari orasidagi munosabat yoki

X  to‘plamda  X½X  dekart  ko‘paytmaning  har  qanday  qism

to‘plamiga munosabat deb ataladi.

X to‘plamda berilgan R munosabatni X to‘plamdan olingan

va shu munosabat bilan bog‘langan barcha elementlar juftliklarini

sanab ko‘rsatish bilan berish mumkin.

1- misol.  X = {4; 5; 6; 7; 9}  to‘plamda  biror  munosabatni

yozing.

Y e c h i s h.  Bu to‘plamdagi biror

munosabatni quyidagi juftliklar to‘p-

lamini yozish bilan berish mumkin:

{(5; 4),  (6; 4),  (6; 5),  (7; 4),  (7; 5),

(7; 6),  (9; 4),  (9; 5),  (9; 6),  (9; 7)}.

Shu  munosabatning  o‘zini  yana

chizmada ham berish mumkin.

X to‘plamdagi R munosabatni shu

R  munosabatda  bo‘lgan  barcha

elementlar  juftliklarining  xossasini

ko‘rsatish bilan berish ham mumkin.

2- misol. N natural sonlar to‘pla-

mida biror munosabatni ifodalang.

Y e c h i s h.  «x  soni  y  sonidan  katta»,  «x  soni  y  sonining

bo‘luvchisi», «x soni y sonidan 3 marta katta» va hokazo.

5

6

9

7

4

---

39

Ma’lumki,  agar  X  to‘plamdagi  ixtiyoriy  element  o‘z-o‘zi

bilan  R  munosabatda  deyish  mumkin  bo‘lsa,  X  to‘plamdagi

munosabat refleksiv munosabat bo‘ladi. Bu parallellik va tenglik

munosabatlarining refleksivlik xossasi deyiladi. Masalan, 4 soni

4 soniga teng yoki tekislikdagi har qanday to‘g‘ri chiziq o‘zi

o‘ziga parallel. Refleksivlik xossasi ixtiyoriy munosabat uchun

o‘rinli  emas.  Masalan,  X  to‘plamda  o‘z-o‘ziga  perpendikular

deyish mumkin bo‘lgan birorta ham kesma yo‘q.

Agar  X  to‘plamdagi  x  element  y  element  bilan  R  muno-

sabatda  bo‘lishidan  y  elementning  ham  x  element  bilan  R

munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat

simmetrik munosabat bo‘ladi. Bunga parallellik, perpendikularlik

tenglik munosabatlarining simmetriklik xossasi deyiladi.

Agar X to‘plamning turli x va y elementlari uchun x elementning

y  element  bilan  R  munosabatda  bo‘lishidan  y  elementning  x

element  bilan  R  munosabatda  bo‘lmasligi  kelib  chiqsa,  X

to‘plamdagi R munosabat antisimmetrik munosabat bo‘ladi.

Agar  X  to‘plamdagi  x  elementning  y  element  bilan  R

munosabatda  bo‘lishi  va  y  elementning  z  element  bilan  R

munosabatda bo‘lishidan hamda x elementning z element bilan

R munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat

tranzitiv  munosabat  bo‘ladi.  Bu  munosabatlarning  tranzitivlik

xossasi deyiladi. Tranzitivlik xossasiga ega bo‘lmagan munosa-

batlar ham mavjud. Masalan, agar a kesma b ga va b kesma c ga

perpendikular  bo‘lsa,  u  holda  a  kesma  c  ga  perpendikular

bo‘lmaydi.

3- misol. 

{

}

1 1 1 2 2 3

2 3 4 4 6 6

; ; ; ; ;

 kasrlar to‘plamida tenglik mu-

nosabati berilgan. Berilgan munosabat qanday xossalarga ega?

Y e c h i s h.  Ixtiyoriy  kasr  o‘z-o‘ziga  teng  bo‘lgani  uchun

refleksiv;

ax kasrning by kasrga tengligidan b kasrning a kasrga tengligi

kelib chiqadi, ya’ni simmetrik;

a  kasrning  b  kasrga  va  y  kasrning  b  kasrga  tengligidan  a

kasrning c kasrga tengligi kelib chiqadi, ya’ni tranzitiv.

Shunday  qilib,  kasrlarning  tenglik  munosabati  refleksiv,

simmetrik va tranzitiv munosabatdir. Bunday holda bu ekviva-

lentlik munosabati bo‘ladi deb aytiladi. Masalan, to‘g‘ri chiziq-

larning parallellik munosabati figuralarning tenglik munosabati

ekvivalentlik munosabat bo‘ladi.

---

40

Agar  X  to‘plamda  berilgan  R  munosabat  tranzitiv  va

antisimmetrik bo‘lsa, u holda bu munosabat tartib munosabati

deyiladi.  X  to‘plam,  unda  berilgan  tartib  munosabati  bilan

birga  tartiblangan  to‘plam  deb  ataladi.  Masalan,

X = {2; 8; 12; 32}  to‘plamni  «kichik»  munosabati  yordamida

tartiblash mumkin yoki «karrali» munosabati yordamida ham

amalga oshirish mumkin. Shuni yoddan chiqarmaslik kerakki,

8  va  12  sonlar  jufti  «karrali»  munosabati  bilan  bog‘langan

emas, chunki 8 soni 12 ga karrali yoki 12 soni 8 ga karrali

deyish mumkin emas.

Tartibi so‘zi matematikada har qadamda uchraydi. Jumladagi

so‘zlarning  tartibi,  tenglamaning  yechimini  yozilish  tartibi,

misolda amallarni bajarish tartibi to‘g‘risida gapirish mumkin.

Masalan,  (17 - 12)•18 = 90  ni

hisoblashda  avval  ayirish,  keyin

ko‘paytirish amali bajariladi.

X = {3; 1; 5; 2; 4}  to‘plamda

«x < y» munosabatning grafigini qu-

raylik:  G = {(1; 2),  (1; 3),  (1; 4),

(1; 5),  (2; 3),  (2; 4),  (2; 5),  (3;  4),

(3; 5), (4; 5)}.

Kollejdagi barcha talabalar to‘p-

lamini  bir  kursda  o‘qiydigan  tala-

balardan iborat qism to‘plam, kursda

o‘qiydigan  talabalardan  iborat  qism  to‘plamlarga  ajratishi

mumkin. Agar o‘qish 4 yil bo‘lsa, unda to‘rtta to‘plam hosil

bo‘ladi: birinchi kurs talabalari, ikkinchi kurs talabalari, uchinchi

kurs talabalari va to‘rtinchi kurs talabalari. Bu to‘plamlarning

har qanday ikkitasi umumiy elementga ega emas, chunki talaba

bir vaqtda ham birinchi kurs, ham ikkinchi kursda o‘qiy olmaydi,

lekin bu to‘plamlarning birlashmasi barcha talabalar to‘plami

bo‘ladi. Unda X talabalar to‘plami o‘zaro kesishmaydigan to‘rtta

A, B, C, D talabalar to‘plamidan iborat deyiladi.

Shuningdek, X to‘plamni boshqa usul bilan o‘zaro kesish-

maydigan qism to‘plamlarga ajratish mumkin, masalan, yoshiga

qarab qizlar va bolalar to‘plamiga va hokazo.

Umuman, barcha qism to‘plamlar bo‘sh bo‘lmasa, ixtiyoriy

ikkitasi kesishmaydi; barcha qism to‘plamlar birlashmasi berilgan

to‘plamni  tashkil  etsa,  berilgan  to‘plam  ostilariga  ajratilgan,

deyiladi.

!

1

5

2

4

---

41

5 soni 1 dan to‘rt birlik o‘ngda joylashgan, demak 5 > 1

2 soni 7 dan besh birlik chapda joylashgan, demak 2 < 7

Mashqlar

1. Natural sonlar, tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar, uchburchaklar

va  to‘plamlar  orasida  mavjud  bo‘ladigan  munosabatlarga

misollar keltiring.

2. X = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18} to‘plam elementlaridan mumkin

bo‘lgan barcha shunday sonlar juftliklarini hosil qiling-ki, bunda

(x; y) juftliklarning komponentlari quyidagi munosabat bilan

bog‘langan bo‘lsin: «x y dan 3 marta katta», «x y dan 3 marta

ko‘p (ortiq)». Mazkur munosabatlarning grafigini yasang.

3. Quyidagi to‘plamlardan qaysilari A = {0; 3; 6; 9; 12} to‘plam

elementlari orasidagi munosabat bo‘ladi:

R = {(6; 3), (9; 3), (12; 3), (12; 6), (3; 3), (6; 6), (9; 9), (12; 12)};

T = {(3; 3), (3; 6), (3; 9), (3; 12), (6; 6), (9; 9), (12; 12)};

M = {(3; 6), (6; 12), (9; 18)}?

4. X = (0; 1; 3; 4; 6)  to‘plam  elementlari  P = (0; 1),  (0; 3),

(0; 4), (0; 6),(1; 4), (6; 6) munosabatda. Bu munosabatning

grafigini yasang.

5. X = {1; 2; 4; 8; 12} to‘plamda «x soni y ga karrali» muno-

sabati  berilgan.  Berilgan  munosabatning  grafigini  yasang

va xossalarini ifodalang.

6. X — tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar to‘plami. Quyidagi muno-

sabatlardan qaysilari shu to‘plamdagi ekvivalentlik muno-

sabati bo‘ladi: «a b ga parallel»; «a b ga perpendikular»; «a

b bilan kesishadi».

7. X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} to‘plamda «3 ga bo‘lganda

aynan bir xil qoldiqqa ega» munosabati berilgan. Berilgan

munosabat  ekvivalentlik  munosabati  ekanini  aniqlang.

Nechta sinf hosil bo‘ladi?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

---

42

8. X — kesmalar to‘plami. Quyidagi munosabatlardan qaysilari

bu to‘plamda tartib munosabati bo‘ladi: «a b ga teng»; «a b

dan uzun»; «a b dan 2 sm qisqa»; «a b dan 3 marta uzun».

9. X = {3; 6; 9; 12; 15} to‘plamda «x  soni  y  ning  bo‘luvchisi»

munosabati  berilgan.  Bu  tartib  X  to‘plamda  «katta»

munosabati bilan o‘rnatilgan tartibdan nima bilan farq qiladi?

12- §. MOSLIK TUSHUNCHASI, MOSLIK

USTIDA  AMALLAR

To‘plamdagi munosabatlardan tashqari, ko‘pincha ikki to‘plam

elementlari orasidagi, masalan, kesmalarning uzunliklarini o‘lchash

jarayonida  X  «kesmalar»  va  Y  «haqiqiy  sonlar»  yoki  A  «tekislik

nuqtasi» va B «haqiqiy sonlar jufti» orasidagi munosabatlarni qarashga

to‘gri keladi. Bunday munosabatlar mosliklar deb ataladi.

O‘z mohiyatiga ko‘ra, ikki X va Y to‘plam elementlari ora-

sidagi moslik to‘plamdagi munosabat kabi juftliklar to‘plamini

ifodalaydi  hamda  X  va  Y  to‘plamlar  dekart  ko‘paytmasining

qism to‘plami bo‘ladi.

Chekli to‘plamlar orasidagi moslik grafiklar yordamida ham

ifodalanadi. Buning uchun R moslikda bo‘lgan barcha sonlar

jufti koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning

natijasida  hosil  bo‘lgan  figura  R  moslikning  grafigi  bo‘ladi.

Aksincha,  koordinata  tekisligi  nuqtalarining  ixtiyoriy  qism

to‘plami biror moslikning grafigi hisoblanadi.

1- misol. X = {3; 5; 7; 9} va Y = (4; 6} to‘plam elementlari

orasidagi «katta» mosligining grafigini chizing.

Y e c h i s h. Buning uchun berilgan to‘plam elementlari nuq-

talar bilan belgilanadi va X to‘plam elementlarini tasvirlovchi

nuqtalardan  Y  to‘plam  elementlarini  tasvirlovchi  nuqtalarga

strelkalar  o‘tkaziladi,  bunda  «katta»  mosligi  bajarilishi  kerak.

Masalan, strelka 5 nuqtadan 4 nuqtaga borishi kerak, chunki

5 soni 4 dan katta. 7 nuqta 4 va 6 nuqtalarga boruvchi strelkalari

orasidagi «katta» mosligiga ega.

Berilgan moslikda bo‘lgan sonlar juftini yozamiz: (5; 4), (7; 4),

(7; 6), (9; 4), (9; 6). X to‘plam elementlarini OX o‘qda, Y to‘plam

elementlari  orasidagi  «katta»  mosligining  grafigi  hosil  qilinadi.

Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p

sonlar jufti bo‘lgan vaziyatda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi.

2- misol. X = R va Y = {4; 6} to‘plam elementlari orasidagi

«katta» mosligining grafigini yasang.

---

43

Y e c h i s h. Bu holda X to‘plam elementlari abssissalar o‘qini

butunlay to‘ldiradi, Y to‘plam esa ikkita elementdan iborat: 4

va  6.  X  va  Y  to‘plamlar  elementlari  uchun  «katta»  mosligi

berilgani uchun X to‘plamdagi qanday sonlar 4 dan katta ekani

aniqlaniladi.  4  dan  katta  hamma  sonlar  OX  o‘qida  4  sonini

tasvirlovchi  nuqtadan  o‘ng  tomonda  joylashadi.  Demak,

abssissasi, (4; ¥) oraliqdan olinuvchi, ordinatasi esa 4 ga teng

bo‘lgan barcha nuqtalar AB nurni hosil qiladi. Bu nur bosh-

lang‘ich  nuqtaga  ega  emas,  chunki  (4; 4)  nuqta  berilgan

moslikning  grafigiga  tegishli  emas.  Shunga  o‘xshash,  abssissa

(6; ¥)  oraliqdan  olinuvchi,  ordinatasi  esa  6  ga  teng  bo‘lgan

barcha nuqtalar CD nurni hosil qiladi.

Shunday  qilib,  X = R  va  Y = {4; 6}  to‘plam  elementlari

orasidagi  —  «katta»  mosligi  grafigi  AB  va  CD  nurlari  bo‘lib,

bunda A va C nuqtalar grafikka tegishli emas.

3- misol.  R  haqiqiy  sonlar  to‘plamida  X = Y = R  holdagi

«katta» (x > y) mosligining grafigini yasang.

Y e c h i s h.  Abssissasi  ordinatasiga  teng  bo‘lgan  hamma

sonlar 1 va 3 koordinata burchaklari bissektrisasida joylashadi.

Abssissasi ordinatasidan katta bo‘lgan hamma nuqtalar bissektri-

sa  ostida  joylashgan.  Bunga  ishonch  hosil  qilish  uchun  bu

sohadan nuqta, masalan, A (3; 0) nuqtani olish yetarli. Shunday

qilib, R haqiqiy sonlar to‘plamida berilgan «katta» mosligining

grafigi 1 va 3 koordinata bissektrisasi ostida joylashgan yarim

tekislik bo‘ladi, bunda bissektrisaning o‘zi bu yarim tekislikka

tegishli bo‘lmaydi.

  4-misol.  R  moslik  X = {3; 5; 7} va  Y = {4; 6}  to‘plamlar

elementlari orasidagi «katta» mosligi berilgan bo‘lsin. R moslikka

teskari moslikni toping.

Y e c h i s h.  R  moslik  X = {3; 5; 7}  va  Y = {4; 6}  to‘plam

elementlari orasidagi «katta» mosligi R = {(5; 4), (7; 4), (7; 6)}.

Bu grafikning strelkalari yo‘nalishi teskariga almashtiriladi. X va

Y  to‘plamlar  orasida  qaraladigan  hamda  (4; 5),  (4; 7),  (6; 7)

juftliklar bilan aniqlanadigan yangi «kichik» munosabati grafigi

hosil bo‘ladi. Berilgan R moslikka teskari moslik R

-1

 deb yoziladi.

5- misol.  A = {a; b; c; d},  B = {1; 2; 3; 4} bo‘lsin. Bu to‘p-

lamlar elementlari orasidagi moslikni grafik yordamida tasvir-

lang. Bir qiymatli moslik bo‘ladimi?

Y e c h i s h. A to‘plamining har bir elementiga B to‘plamdan

yagona son mos kelgani uchun va B to‘plamdagi har bir son A

---

44

to‘plamdagi faqat birgina elementga mos kelgani uchun A va B

to‘plamlar orasidagi berilgan moslik o‘zaro bir qiymatli moslik

bo‘ladi.

6- misol. 3 = 3 va 3 < 4 ifodalarni tushuntiring.

Y e c h i s h. 3 = 3 yozuvini tushuntirish uchun 3 ta qizil va

3  ta  yashil  kvadrat  olinadi  va  har  bir  qizil  kvadratga  yagona

yashil  kvadrat  mos  qo‘yiladi  (amalda  kvadratlar  yonma-yon,

ustma-ust qo‘yiladi, kesmalar bilan tutashtiriladi va hokazo),

ya’ni bu kvadratlar to‘plami ustidan o‘zaro bir qiymatli moslik

o‘rnatiladi. 3 < 4 ekanini ko‘rsatish uchun 3 ta elementli to‘plam

va 4 ta elementni o‘z ichiga oluvchi to‘plamning 3 ta elementli

qism to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.

To‘plamlar nazariyasi elementlarining tabiati turli bo‘lishidan

qat’i nazar, xossalarini va ular o‘rtasidagi bajariladigan amallarni

o‘rganadi. Agar ikki to‘plam turli xarakterli xossalarni ifodalovchi

bir xil elementlardan iborat bo‘lsa, ular teng hisoblanadi. Maq-

sadimiz, ikki to‘plam orasida aniqlangan biror moslikni qarash-

dan iborat.

1- kurs  talabalari  orasidagi  juftlik  uchun  quyidagi  tasdiq

o‘rinli. Halima va Barno 101-guruhda o‘qiydi, boshqa ikkinchi

juftlik uchun a talaba b talabadan yaxshi o‘qiydi, uchinchi juftlik

uchun «Halima necha yoshda bo‘lsa, Barno ham shu yoshda».

Har bir tasdiq a va b lar orasidagi moslik bilan berilgan (birga

o‘qishi, yaxshi o‘qishi, yoshining tengligi). Bu misolda gap bitta

to‘plamning elementlari haqida bo‘ldi. Turli to‘plam elementlari

haqida  ham  gapirish  mumkin.  Masalan,  «Halima  2-kursda

o‘qiydi»  tasdiq  talabalar  to‘plami  va  kurs  o‘rtasidagi  moslik

bo‘ladi.

Sherali,  Elmurod,  Shuhrat,  Nargiza,  Erkin  va  Ra’noning

haftaning 1, 2 va 3-kunlari sinfda navbatchilik jadvalini tushuntiring:

Kunlar

Ismi

1-kun

2-kun

3-kun

Sherali

+

Elmurod

+

Shuhrat

+

Nargiza

+

Erkin

+

Ra’no

+

---

45

«X o‘qituvchi Y kuni navbatchi» orasidagi moslik.

X = {10; 20; 30; 40}, Y = {2;  3;  4}  va  f   moslik  «x  soni  y

soniga bo‘linadi» bo‘lsin.

X f Y = {(10; 2),  (20; 2),  (30; 2),  (40; 2),  (20; 4),  (30; 3),

(40; 4)} X f Y moslik rost.

Umuman, a f b moslik teng, katta, kichik a = b, a < b, a > b

yoki parallellik va perpendikularligi a½½b, a ^ b deb yoziladi.

X va Y orasidagi binar moslik X to‘plamda aniqlangan f binar

munosabat deyiladi.

X va Y orasidagi f munosabatda a Î X elementning obrazi

bo‘sh balki bir necha elementdan iborat bo‘lishi mumkin.

Agar  f  moslikka  a Î X  elementning  obrazi  Y  to‘plamning

faqat va faqat bitta elementdan iborat bo‘lsa, bunday f moslik

X ni Y ga akslantirish deyiladi va f : X  —® Y yoki ——

f

X

Y

®

deb belgilanadi. Bunda f belgi akslantirish qoidasi.

Misol. 1) X — auditoriyadagi talabalar to‘plami, Y — stullar

to‘plami, har bir talaba bitta stulda o‘tiribdi. f : x talaba y stulda

o‘tiribdi, qonun X ni Y ga akslantiradi;

2) moslik y = x + 4 formula bilan berilgan jadvalni to‘ldiring:

x

0

1

2

3

4

5

x + 4

Mashqlar

1.  Yotoqxonada  yashovchi  talabalarning  xona  bo‘yicha

navbatchilik  grafigini  ifodalovchi  jadval  tuzing.  Bu  jadval

qanday  to‘plamlar  orasida  moslik  o‘rnatadi?  Berilgan

moslikka tegishli bo‘lgan har bir tartiblangan juftlik nimani

ifodalaydi?  Berilgan  to‘plamlar  orasida  boshqa  moslikni

berish mumkinmi? Bu qanday amalga oshiriladi?

2. O‘quvchi kitob uchun 700 so‘m, daftar uchun 30 so‘m, qa-

lam uchun 10 so‘m, mo‘yqalam uchun 20 so‘m, o‘chirg‘ich

uchun 5 so‘m to‘ladi. Bunda qanday ikkita to‘plam orasida

moslik o‘rnatilgan?

3. Uchburchakning o‘rta chizig‘i bilan asosi orasida o‘zaro bir

qiymatli moslik o‘rnatish mumkinmi?

4. Barcha natural sonlar to‘plami bilan barcha ratsional sonlar

to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mum-

kinmi?

---

46

5. P = {(1; 1),  (3; 0),  (3; 1),  (4; 1),  (6; 1)}  to‘plam

X = (1; 3; 4; 6) va Y = {0; 1} to‘plamlar elementlari orasidagi

moslikni ifodalaydi. P moslikka teskari P

-1

 moslikni bering

va  bitta  koordinata  sistemasida  P  va  P

-1

  moslikning  gra-

fiklarini yasang.

6. X = {0; 2; 4; 6; 8; 10} to‘plamda T  «x  soni  y  sonidan  2  ta

kam»  munosabati  berilgan.  T

-1

  munosabatini  bering  va

koordinata tekisligida uning grafigini yasang.

7. Ikkita A = {1; 2; 3} va B = {3; 7} to‘plam berilgan. A ´ B va

B ´ A to‘plamlarni toping. Bu to‘plamlar orasida biror-bir

usul bilan o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin.

8. Nuqtàlarning kîîrdinàtàlàrini yozing:

9.  To‘g‘ri  to‘rtburchakning  yuzi  285  sm

2

  bo‘lsa,  berilgan

o‘lchamlardan foydalanib, x ni toping.

5

4

0

1

2

3

x

5

4

3

2

1

y

  A

1

 A

2

A

3

5

4

0

1

2

3

x

5

4

3

2

1

y

  A

5

     

    A

4

          A

3

      A

2

   A

1

5

4

0

1

2

3

x

5

4

3

2

1

y

   A

1

  A

4

   A

2

  A

3

B

1     

  B

4

B

2

     B

3

3x

2x

x

10 sm

5 sm

7 sm

---

47

Ikkinchi bob

BUTUN NOMANFIY SONLAR

13- §. SON TUSHUNCHASI. NATURAL SON VA NOL

TUSHUNCHASINING  VUJUDGA  KELISHI

Son  va  amallar  biror  kishi  tomonidan  o‘ylab  topilmagan.

Dalada  ekin  ekish,  maydonni  sug‘orish,  podadagi  hayvonning

uyga  qaytib  kelishini  aniqlashda  qadim-qadimda  odamlarga

arifmetik bilimlar zarurati tug‘ilgan, qo‘rada qancha qo‘y borligini,

omborda necha qop bug‘doy borligini bilish zarur bo‘lgan.

Qadimda odamlar sanashni bilmaganlar, mana, necha ming

yillardan  keyin  molboqar  loydan  har  bir  qo‘yga  mos  jism

tayyorlagan.  Bir  kunda  qo‘yni  yo‘qolmaganligini  bilish

maqsadida qo‘y qo‘raga kirayotganda tayyorlangan jismlar bir

tomonga o‘tsa, cho‘pon bemalol uyquga ketgan. Bundan tash-

qari, odamlarda qo‘ydan tashqari sigir, echkilar bo‘lgan. Shuning

uchun tuproqdan boshqa figuralar yasashga to‘g‘ri kelgan. Yer

egalari esa loydan yasalgan figuralar, mayda toshlar yordamida

hosilning hisob-kitobini qilgan. Omborda necha qop bug‘doy

borligi,  qaymoqdan  kuydirib  olingan  yog‘ning  miqdorini  bil-

ganlar.  Narsalarni  qo‘shish  va  ayrish  yordamida  qo‘shish  va

ayirishga doir sodda masalalarni yechganlar.

Loydan yasalgan figuralarni va mayda toshlarni bir joydan

ikkinchi bir joyga qo‘yish mumkin qadar yetarlicha mashg‘ulot

bo‘lgan. Ming yillar o‘tib odamlar predmetlarni qayta sanashni

o‘rgandilar. Buning uchun ularga sonning nomini aytish haqida

o‘ylash zarurati tug‘ilgan.

Turli xalq va elatlarning tillarini o‘rganish natijasida sonlar-

ning nomi paydo bo‘lgan. Masalan, odamlar uchun predmetning

shakli katta rol o‘ynagan, hisoblashda «ikkita tuxum», «ikkita

tosh»,  «ikkita  ko‘z»  va  hokazo.  Avval  faqat  1  va  2  sonlar

nomlandi.

Son uchun «bir» so‘zi oddiy «quyosh» so‘zi bilan bog‘liq,

ikki  sonining  nomlanishi  esa  mavjud  turli  predmetlar  bilan

---

48

bog‘liq bo‘lgan, ya’ni «quloq», «oyoq», «qo‘l» va hokazo. Ba’zan

«men» va «sen» olmoshi bilan bog‘liq bo‘lgan. «Bir» deb «erkak»,

«ikki» «ayol» deb e’tirof qiluvchi tillar bo‘lgan. «Bir» va «ikki»

so‘zidan keyin «ko‘p» so‘zi paydo bo‘lgan. Keyinchalik boshqa

sonlarning nomini aytish zarurati tug‘ilgan. Bunda 1 va 2 sonidan

foydalanganlar. Masalan, Tinch okeanining Yangi Gvineya oro-

lida yashovchi odamlar 3 ni 1 va 2, 4 ni 2 va 2 deb hisoblaganlar.

10  deb  «ko‘p»,  100  deb  «yana  ko‘p»  so‘zlarini  qo‘llaganlar.

Keyinroq ayrim odamlar 3 ni «bir, ikki, ko‘p» deb qabul qilgan-

lar. Hattoki hozir ham choy damlagandan so‘ng uni «uch marta

qaytar», o‘g‘lidan xafa bo‘lgan ona «nima men, bir narsani uch

marta qaytarib aytishim kerakmi» degan so‘zlar uchraydi.

3 soni doim tevarak-atrof yer, yer osti va koinot podshoh-

ligiga  ajratgan.  Shuning  uchun  ko‘p  yerli  odamlar  uchun  3

soni qadrli hisoblanadi.

Ayrim paytlarda «ko‘p» so‘zi 7 soni sifatida qaralgan.

Masalan,  «yetti  kishini  bir  kishi  kutmaydi»,  «yetti  marta

o‘lchab  bir  kes».  Shunday  qilib,  sekin-asta  sanashni  fikrlay

olganlar.

Odamlar daladan juda ko‘p hosil yig‘dilar. «Yuz» so‘zini aytish

uchun 2 ni 50 marta takrorlash kerak bo‘lgan. Eski hisoblash

usuli, ya’ni barmoqlar yordamida sanash metodiga o‘tganlar.

Barmoqlar  ajoyib  hisoblash  mashinasi  vazifasini  bajargan.

Ular yordamida 5 gacha, agar ikki qo‘lni olsak, 10 gacha sanash

imkoni  bo‘lgan.  Keyin  odamlar  sanashda  yana  bir  qadam

qo‘ydilar va 10 talab sanaganlar. Buning uchun birdaniga ko‘p

kishilarni  jalb  qilinganligi  haqiqat.  Barmoqlar,  sanash  bilan

bevosita bog‘liq bo‘lib, qadimgi grek tilida «sanash» so‘zi «besh-

talash» ma’nosini bildiradi. Rus tilida «besh» so‘zi «pyat», ya’ni

qo‘l bo‘lagi ma’nosini anglatadi. Angliyada esa 10 soni «bar-

moqlar»  nomi  bilan  yuritiladi.  Demak,  angliyaliklar  qachon-

lardir barmoq bilan sanaganlar.

Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushuncha-

laridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy

faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga kelgan. Turli-tuman

chekli  to‘plamlarni  bir-biri  bilan  taqqoslash  zarurati  natural

sonlarning vujudga kelishiga sabab bo‘ldi.

O‘zining  rivojlanish  davrida  natural  sonlar  tushunchasi  bir

nechta bosqichni bosib o‘tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to‘p-

lamlarni  taqqoslash  uchun  berilgan  to‘plamlar  orasida  yoki

---

49

to‘plamlardan  biri  bilan  ikkinchi  to‘plamning  qism  to‘plami

orasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik  o‘rnatishgan,  ya’ni  bu

bosqichda  kishilar  buyumlar  to‘plamining  sanog‘ini  ularni

sanamasdan idrok qilganlar.

Vaqt o‘tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki

ularni  belgilashni,  shuningdek,  ular  ustida  amallar  bajarishni

o‘rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o‘nli

sistemasi  va  nol  tushunchasi  yaratildi.  Asta-sekin  natural

sonlarning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo‘la boshladi.

Natural  son  tushunchasi  shakllangandan  so‘ng  sonlar

mustaqil obyektlar bo‘lib qoldi va ularni matematik obyektlar

sifatida  o‘rganish  imkoniyati  vujudga  keldi.  Sonni  va  sonlar

ustida  amallarni  o‘rgana  boshlagan  fan  «Arifmetika»  nomini

oldi.  Predmetlarni  belgilashda  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9

raqamlaridan foydalanilishi hech kimga sir emas. Eng kichik

raqam, bu 1, keyingi raqamlar birni qo‘shishdan hosil qilingan.

Narsalarni sanashda foydalaniladigan sonlar natural sonlar

deyiladi. Natural sonlar 1, 2, 3, ... ko‘rinishida yoziladi.

Verguldan keyin uchta nuqtani qo‘yilishi natural sonlarning

ketma-ket davom etishini bildiradi. Eng kichik son 1 raqami

bo‘lsa, eng kattasi mavjudmi? 1, 2, 3, ... yozuv «natural sonlar

qatori cheksiz» degan ma’noni bildiradi.

Biz  o‘nlik  sanoq  sistemasidan  foydalanamiz.  Raqamning

qiymati turgan o‘rnini ifodalaydigan sonlarning yozuvi pozitsion

sistema deyiladi. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, va 9 raqamlari yordamida

istalgan natural sonni yozish mumkin.

0 raqamini natural son emasligini yodda tutish kerak. Natural

sonlarni  o‘ngdan  3  talab  guruhga  bo‘lib  o‘qish  mumkin.  Bu

guruh sinf deyiladi. Biz birlar, minglar, millionlar va milliardlar,

ya’ni birinchi to‘rtta sonlar sinfidan foydalanib, matematikani

o‘rganamiz.

26 902 718 586 sonini o‘qish uchun chapdan o‘ngga navbat

bilan har bir sinf sonini aytish va unga nomini qo‘shish kerak,

ya’ni «26 milliard 902 million 718 ming 586».

Arifmetika  qadimgi  Sharq  mamlakatlari  Vavilon,  Xitoy,

Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to‘plangan

matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom

ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga asr o‘rtalarida Hind, Arab

dunyosi mamlakatlari va O‘rta Osiyo matematiklari, XVIII asr-

dan boshlab esa yevropalik olimlar katta hissa qo‘shdilar.

4 — E. Jumayev

---

50

Natural butun sonlar to‘plamini tuzishda uch xil yondashuv

bor:

1) to‘plamlar nazariyasi asosida;

2) aksiomatik usul asosida;

3) miqdorlarni o‘lchash asosida.

XIX  asrda  G. Kantor  tomonidan  to‘plamlar  nazariyasi

yaratilgandan so‘ng, bu nazariya asosida natural sonlar nazariyasi

yaratildi.  Bu  nazariya  asosida  chekli  to‘plam  va  o‘zaro  bir

qiymatli moslik tushunchalari yotadi.

Mashqlar

1. N

8

,  N

10

  to‘plamlarning  barcha  elementlarini  yozing.  Bu

to‘plamlar qanday ataladi?

2. Quyidagi  to‘plamlarni  natural  qator  kesmalari  deb  atash

mumkinmi:

a) {0; 1; 2; 3};

d) {1; 3; 5; 7};

b) {1; 2; 3};

e) {3; 4; 5}?

3. Chekli to‘plam elementlarini sanashda amal qilinishi zarur

bo‘lgan shartlarni ifodalang.

4. Ushbu  jumlani  o‘qing:  n(A) = 7,  n(B) = 2.  Bunda  7  va  2

natural  sonlari  qanday  o‘rin  tutadi?  Mazkur  shartlarni

qanoatlantiruvchi A va B to‘plamlar o‘ylab toping.

5. Har qanday A, B va C mulohazalar uchun

a)  A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

b)  A È (A Ç B) = A;

d) A Ç A = A ekanligini isbotlang.

14- §. «TENG» VA «KICHIK» MUNOSABATLARI.

QO‘SHISH.  QO‘SHISH  QONUNLARI

Ta’rif.  Butun  nomanfiy  a  va  b  sonlarning  yig‘indisi  deb

n(A) = a,  n(B) = b  bo‘lib,  kesishmaydigan  A  va  B  to‘plamlar

birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi, ya’ni:

a + b = n(A È B),

bunda n(A) = a, n(B) = b va A Ç B = Æ,  bunda n(B) va n(A)

soni A va B to‘plamning elementlari sonini bildiradi.

1- misol. Berilgan ta’rifdan foydalanib, 5 + 2 = 7 bo‘lishini

tushuntiring.

---

51

Y e c h i s h. 5 biror A to‘plamning elementlari soni, 2 biror

B to‘plamning elementlari soni bo‘lsin. Shartga ko‘ra, ular-

ning  kesishmasi  bo‘sh  to‘plam  bo‘lishi  kerak.  Masalan,

A = {x; y; z; t; p},  B = {a;b}  to‘plamlar  olinadi.  Ular  birlashti-

riladi: A È B = {x; y; z; t; p; a; b}. Sanash yo‘li bilan n(A È B) = 7

ekanligi aniqlanadi. Demak, 5 + 2 = 7.

Umuman, a + b yig‘indi n(A) = a, n(B) = b shartni qanoat-

lantiruvchi kesishmaydigan A va B to‘plamlarning tanlanishiga

bog‘liq emas. Bundan tashqari, butun nomanfiy sonlar yig‘indisi

har doim mavjud va yagonadir.

Yig‘indining mavjudligi va yagonaligi ikki to‘plam birlash-

masining mavjudligi va yagonaligidan kelib chiqadi.

Yig‘indini  topishda  qo‘llaniladigan  amal  qo‘shish  amali,

qo‘shilayotgan sonlar esa qo‘shiluvchilar deb ataladi.

Ikkiga qo‘shiluvchining yig‘indisi va n ta qo‘shiluvchining

yig‘indisi ham aniqlangan bo‘lsin. U holda n + 1 ta qo‘shiluv-

chidan  iborat  a

1

+ a

2

+ ...+ a

n

+ a

n+1

  yig‘indi  (a

1

+ a

2

+ ...

+ a

n

) + a

n+1

 ga teng.

2- misol. 2 + 7 + 15 + 19 yig‘indini toping.

Y e c h i s h. 2 + 7 + 15 + 19 yig‘indini topish uchun yuqo-

ridagi ta’rifga ko‘ra, quyidagi almashtirishlarni bajarish kerak:

2 + 7 + 15 + 19 = (2 + 7 + 15) + 19 = ((2 + 7) + 15) +

+ 19 =   (9 + 15) + 19 = 24 + 19 = 43.

1- mashq.  Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a  va  b  sonlar  uchun

a + b = b + a tenglikning bajarilishini isbotlang.

I s b o t.  a  deb,  A  to‘plamdagi  elementlar  sonini,  b  deb,  B

to‘plamdagi elementlar sonini belgilaylik. U holda butun noman-

fiy sonlar yig‘indisining ta’tifiga ko‘ra, a + b soni A va B to‘plamlar

birlashmasidagi elementlar soni bo‘ladi, ya’ni a + b = n(A ÈB).

To‘plamlar  birlashmasining  o‘rin  almashtirish  xossasiga  ko‘ra,

A ÈB  to‘plam  B ÈA  to‘plamga  teng  va  n(A ÈB) = n(B ÈA).

Yig‘indining  ta’rifiga  ko‘ra,  n(B ÈA) = b + a,  shuning  uchun

ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a + b = b + a.

2- mashq.  Ixtiyoriy  nomanfiy  a,  b  va  c  sonlar  uchun

(a + b) + c = a + (b + c)  tenglikning  bajarilishini  isbotlang.

I s b o t. a = n(A), b = n(B), c = n(C) bo‘lsin, bunda A È B =

= B È A.  U  holda  ikki  son  yig‘indisining  ta’rifiga  ko‘ra,

(a + b) + c = n(A È B) + n(C) = n((A ÈB) ÈC)  deb  yozilishi

mumkin.

---

52

To‘plamlarning birlashmasi guruhlash qonuniga bo‘ysungani

uchun n((A ÈB)ÈC) = n(A Ç (B Ç C)) bo‘ladi. Bundan ikki son

yig‘indisining  ta’rifiga  ko‘ra,  n(A Ç (B Ç C)) = n(A) +

+ n(B ÈC) = a + (b + c) hosil bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy butun

nomanfiy a, b va c sonlar uchun (a + b) + c = a + (b + c) bo‘ladi.

3- misol.  Qo‘shish  qonunlaridan  foydalanib,  109 + 36 +

+ 191 + 64 + 27 ifodaning qiymatini hisoblang.

Y e c h i s h. O‘rin almashtirish qonuniga asosan, 36 va 191

qo‘shiluvchilarning o‘rinlari almashtiriladi. U holda 109 + 36 +

+ 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Guruhlash qonunidan foydalanib, qo‘shiluvchilarni guruh-

laymiz so‘ngra qavs ichidagi yig‘indilar topiladi: 109 + 191 +

+ 36 + 64 + 27 = (109 + 191) + (36 + 64) + 27 =(300 + 100) + 27.

Hisoblashlarni  bajarib,  (300 + 100) + 27 = 400 + 27 = 427

ni topamiz.

Bundan tashqari, sonni yig‘indiga qo‘shish, yig‘indini songa

qo‘shish,  yig‘indini  yig‘indiga  qo‘shish  hollarida  guruhlash

qonuni o‘rin almashtirish bilan birga qo‘llaniladi.

4- misol. 2 + 1 yig‘indiga 4 sonini qo‘shing.

Y e c h i s h.  2 + 1  yig‘indiga  4  sonini  qo‘shishni  quyidagi

usullar bilan yozish mumkin:

a)  4 + (2 + 1) = 4 + 3 = 7;

d)  4 + (2 + 1) = 5 + 2 = 7.

b)  4 + (2 + 1) = 6 + 1 = 7;

Birinchi  holda  hisoblashlar  amallarning  tartibiga  mos

ravishda bajarilgan.

Ikkinchi  holda  qo‘shishning  guruhlash  xossasi  qo‘llaniladi.

So‘ngi  holdagi  hisoblash  esa  qo‘shishning  o‘rin  almashtirish  va

guruhlash  qonunlariga  suyanadi,  bunda  oraliq  almashtirishlar

tushirib qoldirilgan. Dastlab o‘rin almashtirish qonuniga asosan 1

va 2 qo‘shiluvchilarga o‘rinlarini almashtirdik, ya’ni 4 + (2 + 1) =

= 4 + (1 + 2).  Keyin  guruhlash  qonunidan  foydalandik,  ya’ni

4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2. Va nihoyat, hisoblarni amallar tartibi

bo‘yicha bajardik, ya’ni (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Ikkita butun nomanfiy a va b son berilgan bo‘lsin. a = n(A)

va b = n(B) deb olaylik. Ma’lumki, bu to‘plamlar teng quvvatli

bo‘lsa, u holda ularga aynan bir son mos keladi, ya’ni a = b.

5- misol. 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3 va 3 < 4 larni tushuntiring.

Y e c h i s h. 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3 va 3 < 4 larni tushintirishda

«teng»  va  «kichik»  munosabatlarning  keltirilgan  ta’rifidan

---

53

foydalaniladi. 3 = 3 yozuvni kiritishda kvadrat va doiralarning

ikkita teng quvvatli to‘plamlarini qarash mumkin. 3 < 4 munosa-

batni o‘rganishda esa masalan, uchta qizil va to‘rtta sariq sabzi

olinadi, har bir qizil sabzini sariq sabzi yoniga qo‘yiladi va qizil

sabzini sariq sabzidan kamligi ko‘rinib qoladi, shuning uchun,

3 < 4 deb yozish mumkin.

Ikkita butun nomanfiy a va b son uchun b = a + c bo‘ladigan

c  son  mavjud  bo‘lganda  va  faqat  shu  holda  a  son  b  sondan

kichik bo‘ladi. Xususiy holda 3 < 7 ni qaraylik. 3 < 7, chunki

3 + 4 = 7 bo‘ladigan butun 4 soni mavjud. Xulosa qilib aytganda,

sanoqda  oldin  keladigan  son  undan  keyin  keladigan  sondan

har doim kichik bo‘ladi.

Mashqlar

1. Hisoblang:

a) 186

f)   789

j)  10959

n)  12304

+ 29 ;

+ 89 ;

+ 1961 ;

+  908 ;

b) 267

g)   4069

k)  1324

o)  40517

+129 ;

+ 185 ;

+ 580 ;

+ 1080 ;

d) 1367

h)  4688

l)  80404

p)  30004

+ 269 ;

+ 499 ;

+  105 ;

+  209 ;

e)  2475

i)  3785

m)  60109

q)  801967

+  197 ;

+ 148 ;

+ 3084;

+ 10710 .

2. Butun nomanfiy sonlarning yig‘indisining ta’rifidan foyda-

lanib, quyidagilarni tushuntiring:

a) 4 + 1 = 5;

d) 2 + 7 = 9;

b) 1 + 5 = 6;

e) 3 + 0 = 3.

3. 1  sonini  ikkita  butun  nomanfiy  sonning  yig‘indisi  ko‘-

rinishida ikki xil usul bilan yozing.

4. (4 + 5) + 6  ifodani  qo‘shish  qonunlaridan  foydalanib,

5 + (4 + 6) ko‘rinishga almashtiring. Almashtirishlardagi har

bir qadamni asoslang.

---

54

5. (7 + 2) + (3 + 8) ifodani qo‘shish qonunlaridan foydalanib,

(7 + 3) + (2 + 8)  ko‘rinishga  almashtiring.

6. Quyidagi  ifodalarni  qisqa  usullar  bilan  hisoblang  va  bunda

qo‘shishning  qanday  qonunlaridan  foydalanilganligini

tushuntiring:

a)  (30 + 7) + (10 + 4);

b)  (26 + 9) + 21 + 14;

d)  1809 + 393 + 678 + 191 + 1607.

7. Nima uchun: 1) 3 < 6, 2) 0 < 5 bo‘lishini tushuntiring.

8. «Kichik»  munosabatining  qo‘shish  orqali  ta’rifidan

foydalanib, ixtiyoriy a, b, c natural sonlar uchun quyidagi

da’vo o‘rinli bo‘lishini isbotlang: Agar a < b bo‘lsa, u holda

a + c < b + c.

9. Ràsmdàn fîydàlànib, ifîdàni tàqqîslàng:

(a + b) + c = a + (b + c).

10. Quyidagi natija to‘g‘ri topilganmi?

(1997 + 151) + (449 + 3) = (1997 + 3) + (151 + 449) = 2600.

11. Tång ifîdàlàrni tîping và uning qiymàtini qulày usul bilàn

hisîblàng.  Hisîblàshni  îsînlàshtirish  uchun  qo‘shishning

qàndày õîssàlàridàn fîydàlànilgàn?

a

d

b

c

a

b

c

d

 

$

(111+274)+28+(389+226)

934 + 186 + 66 + 112

(798 + 555) + 2

397 + (103 + 75)

221 + 123 + 605 + 227 + 379

(934 + 66) + (188 + 112)

(397 + 103) + 75

(111+389)+(274+226)+18=1018

(221 + 379) + (123 + 227) + 605

(798 + 2) + 555

---

55

12. Har bir tenglikning nomlanishini tanlang, qoida va xossala-

rini ifodalang:

15- §. AYIRISH QONUNLARI

1- misol. Kollej bog‘iga 9 tup daraxt, ya’ni olma va nok ko‘chati

o‘tqazildi. Agar olmalar 4 tup bo‘lsa, necha tup nok o‘tqazilgan?

Y e c h i s h. Masalaga javob berish uchun 9 dan 4 ni ayirish

kerak bo‘ladi, ya’ni 9 - 5 = 4.

1- ta’rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb,

n(A)=a, n(B)=b va BÌA shartlar bajarilganda, B to‘plamni A

to‘plamgacha  to‘ldiruvchi  to‘plamining  elementlari  soniga

aytiladi, ya’ni:

a - b = n(A\B), bunda a = n(A), b = n(B), B Ì A.

2- misol. Berilgan ta’rifdan foydalanib, 7 - 4 = 3 ni toping.

Y e c h i s h. 7 biror A to‘plamning elementlari soni, 4 esa A

to‘plamning  qism  to‘plami  bo‘lgan  B  to‘plamning  elementlari

soni bo‘lsin.

Bizga  ma’lumki,  A = {x; y; z; t; p; r; s},  B = {x; y; z; t}

to‘plamlar uchun B to‘plamning A to‘plamgacha to‘ldiruvchisi

A\B = {p; r; s},  n(A\B) = 3.

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a • b = b • a

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) • c = a • c + b • c

(a + b) : c = a : c + b : c

(a + b) + c = a + b + c

(a + b) – c = (a – c) + b =

= a + (b – c)

yig‘indini songa ko‘paytirish

yig‘indini songa bo‘lish

qo‘shishning o‘rin almashtirish xossasi

ko‘paytirishning o‘rin almashtirish xossasi

qo‘shishning taqsimot xossasi

ko‘paytirishning taqsimot xossasi

yig‘indidan sonni ayirish qoidasi

sondan yig‘indini ayirish qoidasi

---

56

Demak,  7 - 4 = 3.

a - b  ayirma  n(A) = a,  n(B) = b  va  B Ì A  shartlarini

qanoatlantiruvchi A va B to‘plamlarining tanlanishiga bog‘liq

emas. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi b son bilan

yig‘indisi a songa teng bo‘ladi, ya’ni a - b = c 

⇔

 a = b + c.

Shunday  qilib,  a - b = c  yozuvda  a  kamayuvchi,  b  ayri-

luvchi, c ayirma deb ataladi.

1- masala. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi b £ a

bo‘lganda va faqat shunda mavjud bo‘ladi.

I s b o t .  Agar  a = b  bo‘lsa,  u  holda  a - b = 0  bo‘ladi  va

demak, a - b ayirma mavjud bo‘ladi.

Agar  b < a  bo‘lsa,  u  holda  «kichik»  munosabati  ta’rifiga

ko‘ra shunday natural son mavjud bo‘ladiki, bunda a = b + c

bo‘ladi. U holda, ayirmaning ta’rifiga ko‘ra,  c = a - b, ya’ni

a - b ayirma mavjud bo‘ladi.

Agar a - b ayirma mavjud bo‘lsa, u holda ayirmaning ta’rifiga

ko‘ra  shunday  butun  nomanfiy  c  son  topiladiki,  a = b + c

bo‘ladi.  Agar  c = 0  bo‘lsa,  u  holda  a = b  bo‘ladi;  agar  c > 0

bo‘lsa, u holda «kichik» munosabatining ta’rifiga ko‘ra b < a

bo‘ladi. Demak, b £ a.

2- masala. Agar butun nomanfiy a va b sonlarining ayirmasi

mavjud bo‘lsa, u holda u yagonadir.

I s b o t. a - b ayirmaning ikkita qiymati mavjud bo‘lsin deb

faraz  qilaylik,  ya’ni  a - b = c

1

 va  a - b = c

2 

bo‘lsin.  U  holda

ayirmaning ta’rifiga ko‘ra a = b + c

1

 va a = b + c

2

 hosil bo‘ladi.

Bundan b + c

1

= b + c

2

 va demak, c

1

= c

2

 ekani kelib chiqadi.

a va b (a = n(A), b = n(B)) butun nomanfiy sonlar berilgan

bo‘lsa, a = b, a < b va a > b larning birortasi o‘rinli bo‘lishi ravshan.

3- misol. a < b berilgan. a sonini b sonidan nechta kamligini

aniqlang.

Y e c h i s h. a < b shartdan B to‘plamda uning A to‘plamga

teng  quvvatli  B

1

  qism  to‘plamini  ajratish  mumkin  va  B\B

1

to‘plam bo‘sh emas.

n(B\B

1

) = c (c > 0) bo‘lsin. U holda B to‘plamda A to‘p-

lamda qancha element bo‘lsa, shuncha va yana c ta element

bo‘ladi. Shunday qilib, a soni b sonidan c ta kam yoki b soni a

sonidan c ta ko‘p, deyiladi. B

1

ÌB da n(B\B

1

) = c bo‘lgani uchun,

c = b - a  bo‘ladi.

X u l o s a. Bir son ikkinchi sondan nechta kam yoki ko‘p

ekanini bilish uchun katta sondan kichik sonni ayirish kerak.

---

57

4- misol. Likopchada 4 dona xurmo va ulardan 5 ta ko‘p

anor bor. Likopchada nechta anor bor?

Y e c h i s h. Aslida anordan xurmoni ayirib bo‘lmaydi. Masala

mevaning  ikki  to‘plami,  ya’ni  xurmolar  va  anorlar  to‘plami

haqida  bormoqda.  Ularni  C  va  D  bilan  belgilaylik.  Masala

shartidan  n(C) = 4  va  D  to‘plamda  C  to‘plamdagidan  5 ta

element  ko‘p  ekanini  bilgan  holda,  undagi  elementlar  sonini

topish kerak bo‘ladi. Bu n(D) - n(C) = 5 ekanligini anglatadi.

Shunday  qilib,  n(D) = 5 + n(C) = 5 + 4 = 9.

1- qoida.  Yig‘indidan  sonni  ayirish  uchun  yig‘indidagi

qo‘shiluvchilardan  biridan  shu  sonni  ayirish  va  hosil  bo‘lgan

natijaga  ikkinchi  qo‘shiluvchini  qo‘shish  yetarli.  Bu  qoidani

matematika tiliga o‘tkazadigan bo‘lsak, agar a, b, c — butun

nomanfiy sonlar bo‘lsa, u holda:

a) a > c bo‘lganda, (a + b) - c = (a - c) + b bo‘ladi;

b) b > c bo‘lganda, (a + b) - c = a + (b - c) bo‘ladi;

d)  a > c  va  b > c  bo‘lganda,  yuqoridagi  formulalarning

ixtiyoriy bittasidan foydalanish mumkin.

5- misol.  a > c  bo‘lganda,  (a + b) - c = (a - c) + b  bo‘li-

shini isbotlang.

I s b o t. 1- usul. a > c bo‘lsin, u holda a - c ayirma mavjud

bo‘ladi. Uni x orqali belgilaymiz: a - c = x. Bundan, a = x + c

chiqadi.  x + c  yig‘indini  (a + b) - c  ifodadagi  a  ning  o‘rniga

qo‘yamiz  va  uni  shakl  almashtiramiz:  (a + b) - c = (x + c +

+ b) - c = x + b + c - c = x + b.

Biroq  x  harfi  orqali  a - c  ayirma  belgilangan  edi,  demak

isbotlanishi  talab  etilgan  (a + b) - c = (a - c) + b  ifoda  hosil

bo‘ladi.

2- usul.  n(A) = a,  n(B) = b,  n(C) = c  va  A\B = Æ,  C Ì A

bo‘ladigan  uchta  chekli  A,  B  va  C  to‘plam  olamiz.  U  holda

(a + b)-c ga (A ÈB)\C to‘plam elementlari soni, (a - c) + b

esa (A\C)ÈB to‘plam elementlari soni bo‘ladi. Shunday qilib,

berilgan A, B va C to‘plamlar uchun (A ÈB) \C) = (A \C) ÈB

bo‘ladi.

Demak,  n((A\B)\C) = n((A\C) ÈB  va  (a + b) - c = (a -

- c) + b.

2- qoida. Sondan sonlar yig‘indisini ayirish uchun bu sondan

qo‘shiluvchilarning birini ketidan ikkinchisini ketma-ket ayirish

yetarli, agar a, b, c — butun nomanfiy sonlar bo‘lsa, u holda

a = b + c bo‘lganda  a - (b + c) = (a - b) - c hosil bo‘ladi.

---

58

Bu qoidaning asoslanishi va uning nazariy to‘plam tasviri

yig‘indidan sonni ayirish qoidasi uchun bajarilgani kabi bajarila-

di.  Masalan,  sondan  yig‘indini  ayirish  qoidasi  sonni  bo‘laklab

ayirish usuliga asos bo‘ladi. 5 - 2 = 5 - (1 + 1) = (5 - 1) - 1 =

= 4 - 1 = 3.

X u l o s a. Yig‘indidan sonni ayirish uchun, bitta qo‘shiluv-

chidan ayirib, ikkinchisini qo‘shish kerak:

(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c).

5- misol. Ertalab 20 ta katta va 8 ta kichik baliqchilar qayig‘i

dengizga jo‘nadi. 6 ta qayiq qaytdi. Baliqchilar bilan yana nechta

qayiq qaytishi kerak?

Y e c h i s h. Masalani uchta usul bilan yechish mumkin.

I usul. 20 + 8 = 28 va 28 - 6 = 22.

II usul. 20 - 6 = 14 va 14 + 8 = 22.

III usul. 8 - 6 = 2 va 20 + 2 = 22.

 Mashqlar

1. 83 - 27 ayirmani hisoblang.

2. Quyidagi tengliklarning nazariy to‘plam talqinini bering:

7 - 5 = 2;

3 - 3 = 0;

 4 - 0 = 4.

3. Nima  uchun  quyida  keltirilgan  masalalar  ayirish  bilan

yechilishini  tushuntiring:

1) ko‘l bo‘yida 9 tup tol bor edi. 4 ta tol kesib olindi. Ko‘l

bo‘yida necha tup tol qoldi?

2)  Vali  va  Lola  9  ta  uy  rasmini  chizishdi.  Lola  4  ta  uy

rasmini chizdi. Vali nechta uy rasmini chizgan?

4. Nilufarda  6  ta,  Karimda  esa  4  ta  daftar  bor.  Nilufarda

Karimdagidan nechta ko‘p daftar bor?

5. «... ta kam» munosabati qaraladigan va yechilishi 10 - 2 = 8

tenglik ko‘rinishida yoziladigan ikkita sodda masala tuzing.

6. Teng ifodalarni toping va uning qiymatini qulay usul bilan

hisoblang.  Hisoblashni  osonlashtirish  uchun  qo‘shishning

qanday xossalaridan foydalanilgan?

a)  (111 + 274) + 28 + (389 + 226);

b)  934 + 188 + 66 + 112;

d)  (798 + 555) + 2;

e)  397 + (103 + 75);

---

59

f)  221+123+605+227+379;

g)  (397 + 103) + 75;

h)  (934 + 66) + (188 + 112);

i)  (111 + 389) + (274 + 226) + 18 + 1018;

j)  (221 + 379) + (123 + 227) + 605.

7. Qulay usul bilan hisoblang:

a)  (296 + 329) - 96;

d)  9627 + 5200 - 500;

b)  (1364 + 915) - 364;

e)  (1178 + 389) - 389.

8. Hisoblamasdan  taqqoslang:

a) 1252 - 169 ... 1252;

e) 1827 - 96 ... 1827 - 69;

b) 1307 + 461 ... 1307;

f) 1310 + 51 ... 1310 + 15;

d) 149 + 628 ... 628 + 149;

g) 446 - 342 ... 500 - 342.

9. Rasmdan foydalanib, ifodalarni taqqoslang:

a - (b + c) va a - b - c.

X u l o s a.  Sondan  yig‘indini  ayirish  uchun  avval  bitta

qo‘shiluvchini, so‘ngra ikkinchisini ayirish lozim:

a - (b + c) = a - b - c = a - c - b.

10. Masalani ikki usul bilan yeching:

Elmurodda  4160  so‘m  bor  edi.  U  Sheraliga  252  so‘m,

Shuhratga esa 928 so‘m berdi. Elmurodda necha so‘m qoldi?

11. Amallarni  bajaring  va  natujalarni  o‘sib  borish  tartibida

yozing. So‘zni tuzing. U nimani bildiradi?

a) 1500

b)   2269

d)   1045

- 486 ;

-  638 ;

- 380 ;

  K

 E

 S

e)   6801

f)   1269

g)   1907

    - 1631;

+1050 ;

- 523 .

     

 

 

N

 Ya

 I

b

a

c

d

b

c

d

a

---

60

12. Bir  qîpdà  50  kg  un,  ikkinchisidà  esà  28  kg  un  bîr  edi.

Qîplàrning biridàn 12 kg un to‘kilgàn. Qànchà un qîldi?

Màsàlàni bir nåchà usul bilàn yåching.

1- usul. 

2- usul. 

3- usul. 

Õ u l î s à.  Yig‘indidan  sonni  ayirish  uchun  bitta

qo‘shiluvchidan ayirib, ikkinchisini qo‘shish kerak, degan

fikr rostmi?

(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c).

13. Rà’nî  và  Shîirà  bîg‘dàn

bîdîm  tårdilàr.  Rà’nî  à

chålàk bîdîm, Shîirà esà

Rà’nîdàn  b  chålàk  kàm

bîdîm  tårdi.  Ulàr  birgà-

likdà nåchà chålàk bîdîm

tårishgàn? Ifîdà tuzing và

à - 32,  b = 8  bo‘lgàndà

uning qiymàtini tîping.

14. Hisoblang:

140 -

=

165 +

=

-

5 =

+ 99 =

108 + 12 =

- 65 =

+ 75 =

195 - 94 =

15. Ràsmdà  bårilgàn  burchàkkà  qo‘shni  burchàk  chizing  và

uning qiymàtini tîping:

a

b

?

?

R.

Sh.

A

B

O

B

O

A

A

O

B

30°

135°

---

61

16. Ushbu  amallarni  bajaring: 

5340

1289

____

+

  va  7150

467

____

-

.  Natijadan

foydalanib quyidàgi misîllàrni îg‘zàki yåching:

a) 5341 + 1289 = ;

f) 7150 - 468 =

;

b) 5340 + 1288 = ;

g) 7151 - 467 =

;

d) 5341 + 1288 = ;

h) 7151 - 468 = ;

e) 6629 - 5340 = ;

i) 6683 - 467 =

.

17. 2a  ko‘rinishidàgi  sînni  qîldirib,  sînni  o‘chirib  tàshlàng:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18;

19 va 20.

18. Gulchidà 3 õil ràngli atirgul và 5 õil ràngli chinnigul bîr.

Zumràd à dînà atirgul và b dînà chinnigul sotib îldi. Zumràd

uchun 5•b, 3•a, 3•a + b, a + b ifîdàlàr nimàni bildiràdi?

19. Ràsmdà figuràlàrdàn bittàsi qîlgànlàridàn fàrq qilàdi. Shu

figuràni tîping.

16- §.  KO‘PAYTIRISH.  KO‘PAYTIRISH  QONUNLARI

Butun nomanfiy sonlar ko‘paytmasi tushunchasini turlicha

ta’riflash mumkin.

1- ta’rif. Butun nomanfiy  a va b sonlari uchun:

1) b > 1 bo‘lganda, a•b = a + a + ... + a (b ta qo‘shiluvchi);

2)  b = 1  bo‘lganda,  a•1 = a;  3)  b = 0  bo‘lganda,  a•0 = 0

shartlarni  qanoatlantiruvchi  a•b  songa,  a  va  b  sonlarning

ko‘paytmasi  deb  aytiladi,  bunda  ko‘paytirilayotgan  sonlar

ko‘paytiruvchilar deb ataladi.

Agar A

1

, A

2

, ..., A

b

 to‘plamlarning har biri a tadan elementga

ega bo‘lsa va ulardan hech bir ikkitasi kesishmasa, u holda ularning

2

2

2

2

K

K

K

2

K

---

62

birlashmasi a•b ta elementga ega bo‘lishligi ma’lum. Demak,

a•b ko‘paytma har biri a tadan elementga ega bo‘lgan juft-jufti

bilan kesishmaydigan b ta to‘plamning kesishmasidagi elementlar

sonidir. a•1 = a va a•0 = 0 tengliklar shartli qabul qilingan.

1- misol. Har bir bolalar paltosiga 4 ta tugma qadash kerak.

Shunday 6 ta paltoga nechta tugma qadash kerak bo‘ladi?

Y e c h i s h. 1- usul. Masalani yechish uchun har birida 4 tadan

element bo‘lgan 6 ta to‘plamdan tashkil topgan birlashmadagi

elementlar  sonini  aniqlashga  to‘g‘ri  keladi.  Ta’rifga  ko‘ra,  bu

son ko‘paytirish bilan topiladi: 4•6 = 24 (tugma).

2- ta’rif. a, b Î N bo‘lsin. a sonining b soniga ko‘paytmasi

deb, har biri a ga teng bo‘lgan b ta qo‘shiluvchining

marta

...

b

ab a a

a

= + + +

"" ""

!

yig‘indisiga aytiladi.

Bu ta’rif a = n(A), b = n(B), A ÇB = Æ bo‘lgan A´B dekart

ko‘paytma  elementlarini  sanash  ma’lum  bir  qonuniyatga

asoslanishiga bog‘liq.

2- misol.  A = {a; b; c},  B = {x; y; z; t}  bo‘lsa,  A´B  dekart

ko‘paytmaning elementlarini toping.

Y e c h i s h.  A´B  dekart  ko‘paytma  quyidagi  jadval  ko‘ri-

nishida yoziladi:

(a; x)

(a; y)

(a; z)

(a; t)

(b; x)

(b; y)

(b; z)

(b; t)

(c; x)

(c; y)

(c; z)

(c; t)

Dekart ko‘paytma elementlarini ustunlar bo‘yicha sanasak,

3 ´ 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12  hosil  bo‘ladi.

3- misol.  Sinfda  har  bir  partaga  3  tadan  o‘quvchi  o‘tirsa,

xuddi shunday 4 ta partaga nechta o‘quvchi o‘tiradi?

Y e c h i s h.  1- usul.  A = (x; y; z)  va  B = (n; t; r; s)  to‘plamlar

berilgan  bo‘lsin.  Ularning  dekart  ko‘paytmasi  topiladi.  Bu  ko‘-

paytma to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi jadval ko‘rinishida yoziladi:

(x; n), (x; t), (x; r), (z; s);

(y; n), (y; t), (y; r), (y; s);

(z; n), (z; t), (z; r), (z; s);

S a t r

U

s

t

u

n

---

63

Jadvalning har bir satridagi barcha juftliklar bir xil birinchi

tashkil etuvchilarga ega, har bir ustundagi juftliklar esa bir xil

ikkinchi  tashkil  etuvchilarga  ega.  Bunda  hech  qanday  ikkita

satr aqalli bitta bir juftlikka ham ega emas. Bundan A´B dekart

ko‘paytmadagi elementlar soni 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ga teng ekani

kelib chiqadi.

2- usul. n(A) = 3, n(B) = 4 va 3•4 = 12 bo‘lgani uchun, beril-

gan A va B to‘plamlarning dekart ko‘paytmasidagi elementlar

soni n(A)• n(B) ko‘paytmaga tengligi kelib chiqadi, ya’ni agar

A va B chekli to‘plamlar bo‘lsa, u holda n(A´B) = n(A) ´ n(B).

Butun nomanfiy a va b sonlarning ko‘paytmasini n(A) = a,

n(B) = b bo‘ladigan A va B to‘plamlarning dekart ko‘paytmasi

elementlari son sifatida qarash mumkin, ya’ni:

a• b = n(A´B), bunda  n(A) = a,  n(B) = b.

4- misol. 2•7•5•9 ko‘paytmani toping.

Y e c h i s h. 2•7•5•9 ko‘paytma ta’rifiga ko‘ra,

2•7•5•9 = (2•7•5)•9 = ((2•7)•5)•9 = (14•5)•9 = 70•9 = 630.

1- qonun.  Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a  va  b  sonlar  uchun

a•b = b•a tenglik o‘rinli (o‘rin almashtirish qonuni).

I s b o t. a = n(A), b = n(B) bo‘lsin. U holda ko‘paytmaning

ta’rifiga ko‘ra a•b = n(A´B). Biroq A´B va B´A to‘plamlar

teng quvvatli, chunki A´B to‘plamdagi har bir (a; b) juftlikka

B´A to‘plamdan yagona (b; a) juftlikni mos qo‘yish mumkin

va  aksincha.  Demak,  n(A´B) = n(B´A)  va  shuning  uchun

a•b = n(A´B) = n(B´A) = b•a.

5- misol. 2•5 = 5•2 tenglikning to‘g‘riligini tekshiring.

Y e c h i s h.  1- usul.  2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10  va  5 + 5 = 10.

Demak, 10 = 10.

2- usul.  n(A) = 5  va  n(B) = 2  bo‘lgan  A = {a; b; c; d; e},

B = {1;2} to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini tuzamiz:

A´B = {(a; 1),  (a; 2),  (b; 1),  (b; 2),  (c; 1),  (c; 2),  (d; 1),

(d; 2),  (e; 1),  (e; 2)}.  Dekart  ko‘paytma  elementlari  soni  10

bo‘lgani uchun 5•2 = 10.

2- qonun.  Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a,  b,  c  sonlar  uchun

(a•b)•c = a•(b•c)  tenglik  o‘rinli.

I s b o t.  a = n(A),  b = n(B),  c = n(C)  bo‘lsin.  U  holda

ko‘paytmaning  ta’rifiga  ko‘ra,  (a•b)•c = n((A´B  )´C),

a•(b•c) = n(A´(B´C)).

---

64

(A´B)´C va A´(B´C) to‘plamlar ((a•b)•c) va (a•(b•c)

ko‘rinishdagi juftliklardan tashkil topgan, bunda a Î A, b Î B.

Biroq (A´B)´C va A´(B´C) to‘plamlar teng quvvatli. Shuning

uchun,  n((A´B)´C) = n(A´(B´C)  va  demak,  (a•b)•c =

= a•(b•c).

3- qonun.  Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a,  b  conlar  uchun

(a + b)c = ac + bc  tenglik  o‘rinli.

I s b o t.  (A È B) ´ C = (A ´C) È (B ´C)  (*)  ekanligi

ma’lum.

A = n(A), b = n(B), c = n(C) va AÇB = Æ bo‘lsin. U holda

ko‘paytmaning  ta’rifiga  ko‘ra,  (a + b)•c = n((AÈB)´C.

Bundan  (*)  tenglikka  asosan  n((AÈB)´C = n((A´C) È

È (B´C)) yig‘indi va ko‘paytmaning ta’riflariga ko‘ra, n((A´C) È

È (B´C)) = n(A´C) + n(B´C) = ac + bc  hosil  bo‘ladi.

4- qonun.  Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a, b, c  (a ¹ b)  sonlar

uchun (a - b)•c = a•c - b•c tenglik o‘rinli.

I s b o t. Bu qonun (A\ B)´C = (A´C)\ (B´C) tenglikdan

keltirib  chiqariladi  va  yuqoridagi  qonunga  o‘xshash  isbot-

lanadi.

Taqsimot  qonunlari  ko‘paytirish  bilan  qo‘shish  va  ayirish

amali orasida aloqa o‘rnatadi. Bu qonunlar asosida (a + b)•c

va (a - b)•c ko‘rinishidagi ifodalarda qavslarni ochish, shuning-

dek, agar ifoda a•c - b•c yoki a•c + b•c ko‘rinishida bo‘lsa,

ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yuz beradi.

5- qonun.  Nol  bilan  tugagan  sonlarni  ko‘paytirish  uchun

nolga  e’tibor  qilmasdan  ko‘paytirishni  bajarish,  so‘ngra  o‘ng

tomonida ko‘paytmada nechta nol bo‘lsa, shuni yozish kerak.

6- misol. 125•15•6•8 ifodaning qiymatini toping.

Y e c h i s h. 1- usul. 125•15•6•8 ifodaning qiymatini topish

uchun 15 va 6 ko‘paytuvchilarning o‘rinlarini ko‘paytirishning

o‘rin almashtirish qonuniga asosan almashtiriladi va 125•6•15•8

hosil bo‘ladi.

Bu ko‘paytmani ko‘paytirishning guruhlash qonuniga ko‘ra

(125•6)•(15•8)  deb  yoziladi.  Endi  750•120  sonlar  ko‘-

paytiriladi. Buning uchun 750 ni ikkita 700 va 50 sonlarining

yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin, ya’ni (700 + 50)•120

va  har  bir  ko‘paytiruvchini  120  ga  ko‘paytirishni  qo‘shishga

nisbatan taqsimot qonuniga ko‘ra ko‘paytiriladi:

700•120 + 50•120 = 8400 + 600 = 90000.

---

65

2- usul. 125•15•6•8 ifodaning qiymati topiladi:

125•15•6•8 = 125•(15•6)•8 = 125•90•8 = 125•8•9 =

= (125•8)•90 = 1000•90 = 90000. Bu usulda ko‘paytirishning

o‘rin almashtirish qonuni asosida 15•6 ko‘paytuvchilar guruhi

ajratildi, keyinchalik 125•8 bajarildi, 90 va 8 ko‘paytuvchilarning

o‘rinlari almashtirildi.

X u l o s a .  Ko‘paytuvchilarning  o‘rinlari  almashishi  bilan

ko‘paytma o‘zgarmaydi.

7- misol.  3•(5•2)  ifodaning  qiymatini  turli  usullar  bilan

toping.

Y e c h i s h. Quyidagi hollardan biri bo‘lishi mumkin:

1- usul.  3•(5•2) = 3•10 = 30;

2- usul.  3•(5•2) = (3•5)•2 = 15•2 = 30;

3- usul.  3•(5•2) = (3•2)•5 = 6•5 = 30.

6- qonun. Ko‘paytirishning monotonligi:

(

"

a, b, c Î N,  c ¹ 0);

a > b 

⇒

 ac > bc;

(

"

a, b, c Î N);

a ³ b 

⇒

 ac ³ bc;

(

"

a, b, c Î N,  c ¹ 0);

a < b 

⇒

 ac < bc bo‘ladi.

I s b o t. Jumlalarning birinchisini isbotlaymiz.

a > b 

⇒

 B ~ A

1

Ì A,

bunda,  n(A) = a,  n(B) = b,  A ¹ Æ,  B ¹ Æ.  U  holda,

B´C ~ (A

1

´C) Ì (A´C).

Demak,  n(B´C) = n(A

1

´C) < n(A´C) 

⇒

  bc < ac.

7- qonun.  Ko‘paytmaning  qisqaruvchanligi:  (

"

a, b, c Î N,

c ¹ 0)  a•c = b•c

⇒

a = b  bo‘ladi.

I s b o t.  Teskarisini  faraz  qilaylik:  a ¹ b  bo‘lsin.  U  holda

a < b yoki a > b bo‘lishi kerak. a < b bo‘lsa, a•c < b•c bo‘lishi

kerak, bu esa shartga zid. Demak, a = b ekan.

8- qonun. Har qanday sonni ikki xonali songa ko‘paytirish

uchun, bu sonni avval birlar xonasidagi songa, so‘ngra o‘nlar

xonasidagi songa ko‘paytirib, hosil bo‘lgan ko‘paytmalar qo‘-

shiladi, bunda o‘nliklar xonasidan hosil bo‘lgan ko‘paytma bir

xona chapga surilib yoziladi.

9- qonun. Har qanday sonni uch xonali songa ko‘paytirish

uchun bu sonni birliklar, o‘nliklar, yuzliklar xonasidagi har bir

raqamga  ketma-ket  ko‘paytirib,  hosil  bo‘lgan  ko‘paytmalar

qo‘shiladi,  bu  yerda  o‘nliklar  xonasidagi  raqamlar  bir  xona,

yuzliklar xonasidagi raqamlar ikki xona chapga surilib yoziladi.

5 — E. Jumayev

---

66

Mashqlar

1. a) Amallarni bajaring:

1•315 =

;

1•108 =

;

1•625 =

.

Xulosa qil: 1•a = a rostmi?

b) 315•1, 108•1, 625•1 ma’noga egami?

Xulosa qil: a•1 = ?

d) 0•139 =

;

0•605 =

;

0•783 =

.

Xulosa qil: 0•a = ?

e) 139•0, 605•0, 783•0 ma’noga egami?

Xulosa qil: a•0 = 0.

f) 0•392 =

;

678•0 =

;

0•0 =

;

1•0 =

.

2. 1208  va  306  sonlar  ayirmasiga  907  va  1352  sonlarning

yig‘indisini qo‘shing va 1348 va 524 sonlarning yig‘indisidan

1140 va 607 sonlarning ayirmasini ayiring.

3. Sonni 10, 100, 1000, ... ga ko‘paytirish uchun bu sonning

o‘ng tomoniga 1 ta nol, 2 ta nol, 3 ta nol, .... nol yozish

kerak. Xulosa to‘g‘rimi?

4. Ko‘paytmani hisoblang va sonni o‘qing:

a) 65•10000 =

;

d) 670•1000 =

;

b) 6900•1000 =

;

e) 10•500000 =

.

5. 6 ni ketma-ket besh marta yozing. Hosil bo‘lgan sonni o‘qing;

50 sonini ketma-ket uch marta yozing. Qanday son hosil

bo‘ldi?

agar 168 sonini to‘rt marta ketma-ket yozsak, qanday son

hosil bo‘ladi?

1208 va 306 sonlarning ayirmasiga 907 va 1352 sonlarning

yig‘indisini  qo‘shing;

1348 va 524 sonlarning yig‘indisidan 1140 va 607 sonlarning

ayirmasini ayiring.

6. Taqsimot  qonunlaridan  foydalanib,  quyidagi  ifodalarning

qiymatlarini toping:

a)  9•3 + 9•87 =

;

d)  17•12 - 17•7 =

;

b)  5•(12 + 44) =

;

e) 297•8 =

.

---

67

7. Ifodalarning  qiymatlarini  eng  sodda  usullar  bilan  toping,

bunda almashtirishlardagi har bir qadamni asoslang:

a) 4•17•25 =

;

e)  (40•7•3)•25 =

;

b)  (8•379)•125 =

;

f)126•24+126•6+126•10= ;

d) 24•19•25•5 =

;

g) 61•101 =

.

8. Misollarni yeching:

a) 1•687 =

;

b) 856•1 =

;

  d) 1•1 =

.

9. Tenglamani yeching:

a) 137•x = 137;

b) x•743 = 743.

10. Rasmga ko‘ra amallarni bajaring:

a) +20                             b) +200                             d) +2000

886

886

886

887

887

887

888

888

888

889

889

889

e)  -20                             f) -200                               g) -2000

2722

2722

2722

2721

2721

2721

2720

2720

2720

2719

2719

2719

11. AB kesma o‘tkazing va unda C va D nuqtalarni belgilang.

Chizmada nechta kesma hosil bo‘ldi?

12. 4

«A»

-sinfda  25,  4

«B»

-sinfda  30,  4

«G»

-sinfda  31  ta  o‘quvchi

o‘qiydi. Har uchalasida 57 ta qiz bolalar o‘qiydi. To‘rtinchi

sinfda nechta o‘g‘il bolalar o‘qiydi?

13. Rasmdan foydalanib masala tuzing:

A

B

D

C

x

1305

+500

–900

+1100

---

68

14. Amallarni bajaring va xulosa chiqaring:

a) 6•10 = 10•6;

d) 3•100 = 100•3.

b)  5•1000 = 1000•5;

15. Ifodaning qiymatini toping:

a) 163•10;

f) 200•89;

b) 100•816;

g) 612•10000;

d) 600•100;

h) 360•10;

e) 86•1000;

i) 60•1000.

16. Agar 168 sonini to‘rt marta ketma-ket yozsak, qanday son

hosil bo‘ladi?

17. Maktabdan avtobus bekatigacha 460 m, bekatdan bog‘-

chagacha 700 m. Maktabdan bekatgacha bo‘lgan masofa

maktabdan bog‘chagacha bo‘lgan masofadan qancha kam?

17- §. SONNI DARAJA KO‘RINISHIDA

YOZISH

3•3•3•3 ko‘paytmani 3

4

 deb yozish mumkin.

Bu uchning to‘rtinchi darajasi deb o‘qiladi, bunda 3 soni

asos, 4 esa daraja ko‘rsatkichi deb qabul qilingan.

Umuman, 3•3•3•3 = 3

4

= 81.

3

4

= 3•3•3•3 = 81.

3 soni 4 marta o‘z-o‘ziga ko‘paytiriladi.

1- misol. Quyidagi tengliklar to‘g‘rimi?

2

3

= 2•2•2 = 8;

4

2

= 4•4 = 16;

1

4

= 1•1•1•1 = 1;

25

2

= 25•25 = 625;

36

3

= 36•36•36 = 46656;

3

2

= 3•3 = 9.

a

2

 degan so‘z, a ni a ga ko‘paytirish, a

3

 esa a ni a ga ketma-

ket  uch  marta  ko‘paytirish  demakdir.  1- misoldan  2

3

= 8  va

3

2

= 9. Bundan 2

3

¹ 3

2

 ekanligi kelib chiqadi.

2- misol. (2

2

)

3

= 2

(2•3)

 tenglikning to‘g‘riligini tekshiring.

Y e c h i s h. (2

2

)

3

= 4

3

= 4•4•4 = 64 va 2

(2•3)

= 2

6

= 2•2•2 ´

´ 2•2•2 = 64 . Bundan (2

2

)

3

= 2

(2•3)

 kelib chiqadi.

3- misol. x = 2 da x

3

 ning qiymatini toping.

Y e c h i s h. x ning o‘rniga 2 ni qo‘yib, x

3

= 2

3

= 8 topiladi.

Har  qanday  a  soni  uchun  a

1

= a.  Masalan,  9

1

= 9  yoki

27

1

= 27.

---

69

Nolning  har  qanday  darajasi  yana  nol  bo‘ladi,  masalan:

0

2

= 0•0 = 0  yoki  0

5

= 0•0•0•0•0 = 0.

Har  qanday  sonning  nolinchi  darajasi  1  ga  teng.  2

0

= 1,

5

0

= 1, 10

0

= 1.

Mashqlar

1. Quyidagilarni yodda tutishga harakat qiling:

0

2

= 0;

1

2

= 1;

2

2

= 4;

3

2

= 9;

4

2

= 16;

5

2

= 25;

6

2

= 36;

7

2

= 49;

8

2

= 64;

9

2

= 81;

10

2

= 100;

11

2

= 121;

12

2

= 144;

13

2

= 169;

1

3

= 1;

2

3

= 8;

3

3

= 27;

4

3

= 64;

5

3

= 125;

1

4

= 1;

2

4

= 16;

3

4

= 81;

2

5

= 32;

2

6

= 64.

2. Hisoblang:

3

3

=

;

10

3

=

;

5

2

=

;

8

2

=

;

5

0

=  ;

10

0

=

;

1

9

=

;

10

2

=

;

2

4

=

;

10

4

=

;

2

5

=

;

10

6

=

;

1

5

=

;

10

1

=

;

6

3

=

;

0

8

=

;

10

5

=

;

0

4

=

;

x = 2 da x

6

 ni toping;

b = 8 da b

3

 ni toping.

3. Kvadratning perimetri 28 sm. Uning tomoni nimaga teng?

4. Peshingacha 45 yashik olma sotildi, peshindan so‘ng 5 marta

kam  yashik  olma  sotildi.  Peshindan  keyin  qancha  olma

sotilgan?

5. 10 sonining darajalari haqida nimalarni bilasiz?

10

0

= 1 ---------------------------------------Bir

10

1

= 10 --------------------------------------O‘n

10

2

= 10•10 = 100 ---------------------------Bitta yuz

10

3

= 10•10•10 = 1000 ----------------------Bitta ming

10

4

= 10•10•10•10 = 10 000 ----------------O‘nta ming

10

5

= 10•10•10•10•10 = 100 000 -----------Bitta yuz ming

10

6

 = 10•10•10•10•10•10 = 1 000 000 -------Bitta million

6. Quyidagilarni yodda tutishga harakat qiling:

a) 12•10

3

= 12000

chunki

12•1000 = 12000;

b)  275•10

4

= 2750000 chunki

275•10000 = 2750000;

---

70

d) 4806•10

2

= 480600 chunki

4806•100 = 480600;

e) 93•10

5

= 9300000

chunki

93•100000 = 9300000;

f)  100•4 = 4•100 = 400;

i) 1000•6 = 6000;

g) 10

3

•5 = 5000;

j)  100•7 = 1•7 = 7.

h)  10000•1000 = 10 000 000;

7. Bilasizmi?

a) 10•2 =

; i) 2•10 =

; p) 10•35 =

;

b) 35•100 =

; j) 1000•27=

; q) 5•10000=

;

d) 10

2

•4 =

; k) 10

3

•7 =

; r) 100•10 =

;

e) 100•100=

; l) 10•10 =

; s) 1000•1000=  ;

f) 10

5

•7 =

; m) 10

0

•8 =

; t) 8•10

2

=

;

g) 5•10

3

=

; n) 7•10 =

; u) 9•10

0

=

.

h) 1000•84=

; o) 75•10000= ;

8. Topa olasizmi?

a) 10•3 =

; h) 18•10

5

=

; n) 10•46 =

;

b) 10

3

•247=

; i) 100•48 =

; o)16•10

0

=

;

d) 10

3

•4 =

; j) 10•1000 =

; p) 10•100 =

;

e) 1500•10

3

= ; k) 100•1000= ; q)10000•23 =

;

f) 10

4

•8 =

; l) 10

0

•3100=

; r) 7•10 =

;

g) 87•10

5

=

; m) 93•10 =

; s) 15•10000 = .

9. Qanday ikki sonning yig‘indisi ularning har biriga teng?

10. 20 va 30 orasidagi juft sonlarni yozing.

18- §. BO‘LISH

1- misol. 8 ta apelsinni har biriga 2 tadan qilib likopchalarga

qo‘yib chiqishdi. Apelsinni 2 tadan qilib necha marta qo‘yishdi?

Nechta likopcha kerak bo‘ladi?

Y e c h i s h. 8 ta elementga ega to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu

to‘plamning har birida 2 tadan element bo‘lgan qism to‘plam-

larga, ya’ni juft-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli 4 ta

to‘plamlarga  ajratish  mumkin.  Shunday  qilib,  javobda  hosil

qilingan 4 soni asosan 8 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan

ikki elementli qism to‘plamlar sonidir.

2- misol.  12  ta  qalamni  3  o‘quvchiga  baravar  tarqatishdi.

Har bir o‘quvchi nechtadan qalam oladi?

---

71

Y e c h i s h. Misol bo‘lish bilan yechiladi: 12 : 3 = 4 (qalam).

4 soni 12 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan teng quvvatli

kesishmaydigan har bir uchta qism to‘plamdagi elementlar soni

sifatida  qatnashmoqda.

Bo‘linadigan  raqamni  bo‘linuvchi,  bo‘ladigan  raqamni

bo‘luvchi deyiladi. Agar bo‘linuvchi bo‘luvchiga aniq bo‘linmasa,

bo‘lishdan qolgan qismi qoldiq deyiladi.

12 : 3 = 4  va  12 : 4 = 3  holda  ham  bo‘linuvchi  12.  Lekin

12 : 3 = 4  da  bo‘linma  4,  bo‘luvchi  esa  3  va  12 : 4 = 3  da

bo‘linma 3, bo‘luvchi esa 4 sonidir.

Bo‘lishda qoldiq qolmasa (qoldiq nol bo‘lsa), bo‘luvchi va

bo‘linma koeffitsiyentlar deyish mumkin.

Ta’rif.  a = n(A)  va  A  to‘plam  juft-jufti  bilan  kesishmay-

digan teng quvvatli qism to‘plamlarga ajratilgan bo‘lsin. Agar b

soni  A  to‘plamni  bo‘lishdagi  qism  to‘plamlar  soni  bo‘lsa,  u

holda  har  bir  qism  to‘plamdagi  elementlar  soniga  a  va  b

sonlarning bo‘linmasi deb aytiladi.

Bo‘lish  ta’rifiga  ko‘ra,  bo‘lishga  oid  masalalar  ikki  turga

ajraladi: mazmuniga ko‘ra, bo‘lish va teng qismlarga ajratish.

1- turga oid masala. 48 ta qalam 6 ta qutichaga barobardan

solingan bo‘lsa, har bir qutichaga nechtadan qalam solingan?

2- turga oid masala. 48 ta qalam 6 tadan qilib qutichalarga

solingan bo‘lsa, nechta quticha kerak bo‘ladi?

Bo‘lish takror ayirish sifatida ham qaralishi mumkin.

14 - 7 degani, 14 dan bir marta 7 ni ayirish (7 - 7 = 0) va

ikkinchi marta 7 ni ayirish demakdir.

14 : 7 = 2. (Tekshirish: 2•7 = 14).

Xulosa qilib aytganda, butun nomanfiy a soni bilan b natural

sonning  bo‘linmasi  deb,  b  son  bilan  ko‘paytmasi  a  ga  teng

bo‘ladigan c = a : b soniga aytiladi. Teskari bog‘lanishning mav-

judligini ham ko‘rsatish mumkin, ya’ni bo‘linmaning uchinchi

ta’rifidan birinchi ta’rifi kelib chiqishini ko‘rsatish mumkin:

a : b = c, bundan a = c•b.

Demak, uchunchi holda bo‘linma ko‘paytma orqali ta’rif-

landi. Shuning uchun bo‘lish ko‘paytirishga teskari amal deb

aytiladi.  a  va  b  natural  sonlarning  bo‘linmasi  har  doim  ham

mavjud bo‘ladimi?

a va b natural sonlarning bo‘linmasi mavjud bo‘lsin, ya’ni

a = c•b. Ixtiyoriy c natural son uchun 1 > c da’vo o‘rinli. Bu

---

72

tengsizlikning  ikkala  qismi  b  natural  songa  ko‘paytiramiz,

b > c•b ga ega bo‘lamiz. c•b = a bo‘lgani uchun b > a bo‘ladi.

Agar a = 0 va b = 0 bo‘lsa, u holda bunday a va b sonlarning

bo‘linmasi mavjud, degan jumladan c ning ixtiyoriy qiymatida

o‘rinli bo‘ladigan 0 = c•0 tenglik kelib chiqadi, ya’ni a = 0 va

b = 0 sonlarning bo‘linmasi har qanday son bo‘lishi mumkin.

Shuning uchun matematikada nolni nolga bo‘lish mumkin emas

deb hisoblanadi.

3- misol. 644 sonini 92 ga bo‘ling .

Y e c h i s h.  Aslida  92•1 = 92, 92•2 = 184, 92•3 = 276,

92•4 = 368, 92•5 = 460, 92•6 = 552, 92•7 = 644 tekshirishlar

ko‘z oldimizdan o‘tadi. Taxminan javobni tezroq topish imkoni

bor, ya’ni 644 soni taxminan 630, 92 esa taxminan 90; 630 : 90 = 7

bo‘lgani uchun tekshirishni birdaniga 7 sonidan boshlash mumkin

edi. Bu usul har doim ham qo‘l kelavermaydi. Chunki 644 : 92

ni 600 : 100 = 6 deb yozish mumkin edi.

Mashqlar

1. Hisoblang:

a) 3452•27 =

; h) 5080•45 =

; m) 8006•85 = ;

b) 20284•56 = ; i) 50056•89 =

; n) 90236•54 = ;

d) 453•284 =

; j) 4062•89 =

; o) 3207•96 =

;

e) 5606•37 =

; k) 8206•537 =

; p) 33018•637= .

f) 50384•794= ; l) 89765•6789 =  ;

g) 86941•1694 =  ;

2. Tenglikni o‘qing va uning ma’nosini tushuntiring:

a) a•b = b•a;

    b) (a•b)•c = a•(b•c).

3. Ko‘paytirishning o‘rin almashtirish va taqsimot qonunidan

foydalanib, masalaning yechimini tushuntiring:

700•30 = (100•7)•(10•3) = (7•10) = 21•1000 = 21000.

4. Ko‘paytirishni  bajaring:

a) 356

204

×

;

b)

1786

302

×

;

 d) 705

206

×

;

e)

3804

406

×

;

f)

9067

504

×

;

g)

95046

3007

×

;

h)

60058

9005

×

;

i)

750009

30007

×

;

---

73

j)  2500•376 12000•507

9200•3154

300•7855;

k) 500•3751

2000•799

5000•7008

9500•7893

8960•5600

38000•7800;

l) 10•2

2•10

10•35

35•100

1000•27

5•10000

102•4

103•7

100•10

100•100

10•10

1000•1000

105•7

100•8

8•102

5•103

7•10

9•100

1000•84

75•10000.

5. Sonni o‘z-o‘ziga bo‘lishda bir hosil bo‘ladi.

Sonni birga bo‘lsak yana shu son hosil bo‘ladi.

a) 0 : 507 =

;

b) 0 : 862 =

;  d) 0 : 619 =

;

Nimani fahmlading? Xulosa qil. 0 : a =  .

a) 2001 : 0 =  ;

b) 604 : 0 =

;  d) 603 : 0 =

;

Nimani fahmlading? Xulosa qil. a : 0 =  .

6. Agar amallarni to‘g‘ri bajarib, natijalarni o‘sib borish tartibida

yozsangiz, o‘zbek xalqining sevimli shoirlaridan birining ismi

sharifini topasiz:

b 450 : 5 =

;

A 924 : 3 =

;

l 480 : 8 =

;

o 540 : 90 =

;

d 640 : 8 =

;

a 650 : 50 =

;

o 900 : 90 = ;

v 400 : 80=

;

b 540 : 90 =

;

i 640 : 80 =

;

u 490 : 7 =

;

p 490 : 70=

.

r 810 : 90 = ;

e 450 : 9 =

;

7. Daraxtning  balandligi  10  m.  Shilliq  qurt  har  kuni  3  m

yuqoriga va kechasi 2 m pastga tushadi. Shilliq qurt necha

kunda daraxtning uchiga chiqadi?

8. Yulduzchalar o‘rniga kerakli amalni qo‘ying:

a)  270 * 30 * 200 = 40;

d)  270 * 30 * 200 = 100;

b)  270 * 30 * 200 = 209;

e)  270 * 30 * 200 = 500.

19- §. «... MARTA KATTA» VA «... MARTA KICHIK»

MUNOSABATLARI. YIG‘INDINI SONGA VA SONNI

KO‘PAYTMAGA  BO‘LISH  QOIDALARI

Bir  son  ikkinchi  sondan  necha  marta  katta  yoki  kichik,

degan savol masalalar yechishda va amaliy faoliyatda har qadam-

da uchraydi. «... marta katta» va «... marta kichik» munosabatlari

bilan dastlabki tanishish boshlang‘ich maktabda yuz beradi.

---

74

1- ta’rif. Agar a = n(A), b = n(B), a > b bo‘ladigan a va

b sonlar berilgan va A to‘plamni B to‘plamga teng quvvatli c

ta qism to‘plamga ajratish mumkin bo‘lsa, a soni b sonidan

c  marta  katta,  b  soni  esa  a  sonidan  c  marta  kichik,  deb  ay-

tiladi.

Ammo  bu  c  sonining  o‘zi  nimani  ifodalaydi?  Nazariy  —

to‘plamlar nuqtayi nazaridan bu a va b sonlarining bo‘linmasidir.

Bundan quyidagi qoida hosil bo‘ladi:

Qoida. Bir son ikkinchi sondan necha marta katta yoki kichik

ekanligini bilish uchun katta sonni kichik songa bo‘lish zarur.

1- misol. 3 tup olma va 12 tup olcha o‘tqazildi. Olchalardan

necha marta kam olma o‘tqazildi?

Y e c h i s h.  Yuqoridagi  qoidada  qo‘yilgan  savolga  bo‘lish

yordamida  javob  topiladi,  ya’ni  12 : 3 = 4  (marta).  «.. marta

ko‘p»  va  «.. marta  kam»  munosabatlar  boshqa  ko‘rinishdagi

masalalarda ham uchraydi.

2- misol. Zulfiyada 6 ta daftar, Ra’noda esa undan 2 marta

kam daftar bor. Ra’noda nechta daftar bor?

Y e c h i s h.  Zulfiyadagi  daftarlar  to‘plami  A,  Ra’nodagi

daftarlar to‘plami B bo‘lsin. n(A) = 6 ekani ma’lum. n(B) sonni

topish talab etilgan. Bu shartdan kelib chiqib, A to‘plamni teng

quvvatli ikkita qism to‘plam ko‘rinishida tasvirlash mumkin, u

holda B to‘plamda A to‘plamning har bir qism to‘plamida nechta

element bo‘lsa, shuncha element bo‘ladi, bu son bo‘lish bilan

topiladi, ya’ni 6 : 2 = 3. Demak, n(B) = 3, ya’ni, Ra’noda 3 ta

daftar bor ekan.

3- misol.  Bunyodda  3  ta  daftar,  Ismatulloda  esa  undan  4

marta ko‘p daftar bor. Ismatulloda nechta daftar bor?

Y e c h i s h. Bu masalada ham oldingi masaladagi kabi ikkita

to‘plam,  Bunyoddagi  daftarlar  to‘plami  A  va  Ismatullodagi

daftarlar  to‘plami  B  qaraladi.  n(A) = 3  ekani  ma’lum.  B

to‘plamdagi elementlar soni A to‘plamdagi elementlar sonidan

4 marta ko‘p ekanini bilgan holda, n(B) ni topish talab etiladi.

Bu B to‘plam A to‘plamdagi teng quvvatli kesishmaydigan to‘rtta

B

1

,  B

2

,  B

3

,  B

4

  qism  to‘plamdan  iborat  ekanini  anglatadi  va,

demak,  n(B

1

) = n(B

2

) = n(B

3

) = n(B

4

) = n(A).  Bu  holda  B

to‘plamdagi elementlar sonini qo‘shish bilan topish mumkin:

n(B) = n(B

1

ÈB

2

ÈB

3

ÈB

4

) = n(B

1

) + n(B

2

) + n(B

3

) + n(B

4

) =

= 3 + 3 + 3 + 3 = 3•4 = 12.

Demak, Ismatulloda 12 ta daftar bor ekan.

---

75

1- qoida.  Agar  a  va  b  sonlar  c  songa  bo‘linsa,  u  holda

ularning a + b yig‘indisi ham c ga bo‘linadi. a + b yig‘indini

c ga bo‘lganda hosil bo‘ladigan bo‘linma, a ni c ga va b ni c

ga  bo‘lganda  hosil  bo‘ladigan  bo‘linmalar  yig‘indisiga  teng,

ya’ni:

(a + b) : c = a : c + b : c.

I s b o t.  1- usul.  a  soni  c  ga  bo‘lingani  uchun  a = c•m

bo‘ladigan  m = a : c  natural  son  mavjud.  Shunga  o‘xshash,

b = c•n  bo‘ladigan  n = b : c  natural  son  mavjud.  U  holda

a + b = c•m + c•n = c•(m + n).

Bundan a + b yig‘indining c ga bo‘linishi va a + b ni c ga

bo‘lganda  hosil  bo‘ladigan  bo‘linma  m + n  ga  teng  bo‘lishi,

ya’ni a : c + b : c ekani kelib chiqadi.

2- usul. a = n(A), b = n(B), bunda A Ç B = Æ bo‘lsin. Agar

A  va  B  to‘plamlarning  har  birini  c  ga  teng  quvvatli  qism

to‘plamlarga  ajratish  mumkin  bo‘lsa,  u  holda  bu  to‘plamlar

birlashmalarini ham shunday ajratish mumkin.

Agar  A  to‘plamni  ajratishdagi  har  bir  qism  to‘plam  a : c

elementga va B to‘plamning har bir qism to‘plami b : c elementga

ega bo‘lsa, u holda AÇB to‘plamning har bir qism to‘plamida

a : c + b : c  element  mavjud  bo‘ladi.  Bu  esa  (a + b) : c =

= a : c + b : c ekanini anglatadi.

2- qoida. Agar a natural son b va c natural sonlarga bo‘linsa,

u holda a sonni b va c sonlar ko‘paytmasiga bo‘lish uchun a

sonni  b  (c)  ga  bo‘lish  va  hosil  bo‘lgan  bo‘linmani  c  (b)  ga

bo‘lish  yetarli,  ya’ni  a : (b•c) = (a : b) : c = (a : c) : b  (sonni

ko‘paytmaga bo‘lish qoidasi).

I s b o t.  (a : b) : c = x  deb  faraz  qilaylik.  U  holda

bo‘linmaning ta’rifiga ko‘ra, a : b = c•x bo‘ladi, shunga o‘xshash

a = b•(c•x)  bo‘ladi.  Ko‘paytirishning  guruhlash  qonuniga

asosan,  a = (b•c)•x  bo‘ladi.  Hosil  bo‘lgan  tenglik  a : (b : c)

ekanini bildiradi. Shunday qilib, a : (b : c) = a•(b : c).

3- qoida. Sonni ikki sonning bo‘linmasiga ko‘paytirish uchun

bu sonni bo‘linuvchiga ko‘paytirish va hosil bo‘lgan ko‘paytmani

bo‘linuvchiga bo‘lish yetarli, ya’ni a•(b : c) = (a•b) : c (sonni

ikki sonning bo‘linmasiga ko‘paytirish qoidasi).

Bu  qoidaning  isboti  avvalgi  qoidaning  isbotiga  o‘xshash.

Ifodalangan  qoidalarning  qo‘llanishi  ifodani  soddalashtirish

imkonini beradi.

---

76

4- misol. (720 + 600) : 24 ifodaning qiymatini toping.

Y e c h i s h.  (720 + 600) : 24  ifodaning  qiymatini  topish

uchun 720 va 600 qo‘shiluvchilarni 24 ga bo‘lish va hosil bo‘lgan

bo‘linmalarni qo‘shish yetarli, ya’ni:

(720 + 600) : 24 = 720 : 24 + 600 : 24 = 30 + 25 = 55.

5- misol. 1440 : (12•15) ifodaning qiymatini toping.

Y e c h i s h. 1440 : (12•15) ifodaning qiymatini avval 1440

ni  12  ga  bo‘lib,  keyin  hosil  bo‘lgan  bo‘linmani  15  ga  bo‘lib

topish mumkin, ya’ni:

1440 : (12•15) = (1440 : 12)•15 = 120•15 = 8.

Mashqlar

1. Jumlalarning ma’nosini tushuntiring: 10 soni 5 dan 2 marta

katta; 2 soni 8 dan 4 marta kichik.

2. «...marta katta» munosabati qaraladigan va yechilishi 15 : 3 = 5

tenglik ko‘rinishida bo‘lgan ikkita sodda masala tuzing.

3. Quyidagi da’vo to‘g‘rimi?

Bo‘lish amali ko‘paytirish amaliga teskari. a sonini b songa

bo‘lish uchun shunday c sonini topish kerakki, b ga ko‘pay-

tirganda a ni hosil qilsin.

4. Qàysi àmàl ko‘pàytirishgà tåskàri? Qàndày àmàl bo‘lishgà

tåskàri? Hisîblàng:

a) 144 : 12•3 =

;

e) 320 : 8•8 =

;

b) 705•5 : 5 =

;

f) 6•103 : 2 =

;

d) 500•9 : 9 =

;

g) 4124 : 18•2 = .

5. Rasmdan foydalanib bo‘linmàni tîping và õulîsà chiqàring:

38000 : 1000 =

;

700000 : 10000 =

.

• 1000

: 1000

• 10000

: 10000

700000

38

38000

70

a : b = c [\ c • b = a

b marta

c

c

c

c

.................

---

77

6. Îg‘zàki hisîblàng và jàvîbini yozing:

a) 46000 : 100 =

;

f) 80•80 =

;

b) 37000 : 10 =

;

g) 600•4 =

;

d) 90000 : 1000 =

;

h) 3•5000 =

;

e) 74000000 : 10000=

;

i) 90•500 =

.

7. Jàvîblàrni kàmàyish tàrtibidà yozing và so‘zni tuzing. «Bîy

ilà õizmàtchi» dràmàsidàgi qàysi îbràzni tîpdingiz?

8. Tånglàmàning ildizini tîpà îlàsizmi?

16•a = 16 : a;

x + x = x•x ;

y : 40 = y•40.

9. Bir qàràshdà hisîblàng:

2002 : 2002 - 0 : (1960 + 1961) + 1•999.

10. Bo‘linmàni ko‘rsàtmà bo‘yichà bàjàring:

K o ‘ r s a t m a : 4000 : 40 = 100, chunki 100•40 = 4000;

3900 : 390 = 10, chunki 10•390 = 3900.

a) 800 : 80 =

;

e) 8800 : 880 = ; h) 8000 : 90 = ;

b) 700 : 70 = ;

f) 64 : 640 =

; i) 3000 : 30 =

;

d) 500 : 50 = ;

g) 9500 : 95 =

; j) 2000 : 20 =

.

A

I

A

L

M

J

---

78

11. Rasmni tahlil qiling va xulosa chiqaring.

a)

b)

12. Quyidàgi ràqàmlàrdàn fîydàlànib, bàrchà uch õînàli sîn-

làrni yozing:

a) 1; 0; 2;

d) 3; 3; 1;

b) 4; 6; 8;

e) 5; 5; 0.

13. Yulduzchàlàr  o‘rnigà  àmàllàrdàn  birini  to‘g‘ri  qo‘yishgà

hàràkàt qiling:

a)  60 * 2 * 20 = 100;

e)  400 * 50 * 2 = 500;

b)  144 * 12 * 5 = 60;

f)  55 * 2 * 10 = 100;

d)  625 * 25 * 25 = 50;

g)  900 * 30 * 30 = 0.

14. Sînlàrni  biridàn  ikkinchisini  qàndày  qilib  hîsil  qilish

mumkin? Jàvîbingizni tushuntiring:

a) 1; 2; 4; 8; ... ;

d) 36; 12; 4; ... ;

b) 0; 5; 10; 15; ... ;

e) 23; 20; 17; ... .

20- §. QOLDIQLI BO‘LISH

1- misol. 37 sonini 8 ga bo‘ling.

Y e c h i s h.  37  soni  8  ga  qoldiqsiz  bo‘linmaydi.  Lekin

37 = 4•8 + 5 bo‘ladigan 4 va 5 sonlari mavjud. 37 sonini 8 ga

bo‘lish  qoldiqli  bo‘lish  bilan  bajariladi,  bunda  to‘liqmas  4

bo‘linma va 5 qoldiq topildi deb aytiladi.

Ta’rif.  Butun  nomanfiy  a  sonni  b  natural  songa  qoldiqli

bo‘lish deb, a = bq + r va 0 £ r £ b bo‘ladigan butun nomanfiy

q va r sonlarni topishga aytiladi.

1

1 + 3

1 + 3 + 5

1 + 3 + 5 + 7

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

---

79

Qoldiqning  ta’rifidan  kelib  chiqadigan  o‘ziga  xos  xusu-

siyatiga e’tibor beraylik. Qoldiq b bo‘luvchidan kichik sondir.

Shuning  uchun  butun  nomanfiy  sonlarni  b  ga  bo‘lganda,

hammasi bo‘lib b ta turlicha qoldiq hosil bo‘lishi mumkin.

Agar a < b bo‘lsa, u holda a ni b ga bo‘lganda, to‘liqmas

bo‘linma q = 0, qoldiq r=a bo‘ladi, ya’ni a = 0•b + a.

2- misol. a ni b ga qoldiqli bo‘lishni har doim ham bajarish

mumkinmi?

Ixtiyoriy  butun  nomanfiy  a  soni  va  b  natural  son  uchun

a = b•q + r, bunda 0 £ r < b bo‘ladigan butun nomanfiy q va

r sonlar mavjud. Bu xossaga ega bo‘lgan nomanfiy sonlar jufti

(q; r) yagonadir.

a = n(A) va A to‘plam A

1

, A

2

, ..., A

q

, X to‘plamlarga ajratilgan

bo‘lib, bunda A

1

, A

2

, ..., A

q

 to‘plamlar teng quvvatli va b tadan

elementni  o‘z  ichiga  olgan,  X  to‘plam  esa  A

1

,  A

2

, ..., A

q

  to‘p-

lamlarning har biridagi elementlardan kam elementlarga ega bo‘lsin,

ya’ni  n(X ) = r.  U  holda  a = bq + r  bo‘ladi,  bunda  0 £ r < b.

Shunday qilib, to‘liqmas bo‘linma q, A to‘plamni ajratishdagi (har

birida  b  tadan  element  bo‘lgan)  teng  quvvatli  qism  to‘plamlar

soni, qoldiq r - X to‘plamdagi elementlar soni bo‘ladi.

Boshlang‘ich maktabda qoldiqli bo‘lish bilan tanishish 9 ta

boladan 4 ta juft tuzish va 1 ta bola juftsiz qolish vaziyatini qarab

chiqishda  yuz  beradi.  Ya’ni,  to‘liqmas  bo‘linma  qoldiq  bilan

tanishish mohiyatiga ko‘ra nazariy to‘plam asosida yuz beradi.

Teorema. Agar a

I s b o t. a

ta’rifiga ko‘ra b = a + x va c = b + y bo‘ladigan x va y natural

sonlar topiladi. Lekin c = (a + x) + y bo‘ladi va qo‘shishning

guruhlash qonuniga asosan c = a + (x + y) hosil bo‘ladi. x + y

butun nomanfiy son bo‘lgani uchun «kichik» munosabatining

ta’rifiga ko‘ra a < c bo‘ladi.

Agar a < b bo‘lsa, u holda b < a bo‘lishi noto‘g‘ri.

Hech qanday butun nomanfiy a son uchun a < a tengsiz-

likning  bajarilmasligiga  ishonish  qiyin  emas.  Agar  a < a

bo‘lganda edi, a = a + c bo‘ladigan natural c soni topilar edi,

lekin yig‘indining yagonaligiga ko‘ra, buning bo‘lishi mumkin

emas. Endi ikkala a < b va b < a tengsizliklar bajariladi, deb

faraz  qilaylik.  U  holda  «kichik»  munosabatining  tranzitivlik

xossasiga ko‘ra a < a tengsizlik hosil bo‘ladi, buni esa bo‘lish

mumkin emas.

---

80

Butun nomanfiy sonlar uchun «kichik» munosabati tranzitiv

va antisimmetrik bo‘lgani uchun u tartib munosabati bo‘ladi,

butun nomanfiy sonlar to‘plami esa tartiblangan to‘plam bo‘ladi.

«Kichik» munosabatning ko‘rib o‘tilgan xossalaridan ixtiyoriy

butun  nomanfiy  a  va  b  sonlar  uchun  a < b,  a = b,  b > a

munosabatlardan  faqat  bittasi  bajarilishi  kelib  chiqadi.  Bu

to‘plamning elementlarini ixtiyoriy sondan avval kichigi kela-

digan qilib joylashtirib, butun nomanfiy sonlar qatorini hosil

qilamiz: 0, 1, 2, 3, 4, ... . Bu qator cheksizdir. A ta elementga

ega bo‘lgan biror A to‘plamni olamiz. Agar unga A to‘plamning

hamma elementlaridan farq qiladigan yana bitta element qo‘shib

qo‘yilsa,  u  holda  elementi  a + 1 ta bo‘lgan yangi B  to‘plam

hosil bo‘ladi. a + 1 sonni bir butun nomanfiy son uchun undan

bevosita keyin keluvchi yagona natural sonni ko‘rsatish mumkin.

Aksincha, har bir butun nomanfiy son bittadan ortiq bo‘lmagan

butun  nomanfiy  sondan  bevosita  keyin  kelmaydi.  0  sonidan

boshlab tartib bilan bevosita bir-biridan keyin keluvchi natural

sonlarga o‘tib, butun nomanfiy sonlar to‘plami hosil bo‘ladi.

Agar 4 + 2 = 6 ekani ma’lum bo‘lsa, u holda 4 + 3 yig‘indini

topish uchun 6 ga 1 ni qo‘shish yetarli: 4 + 3 = 4 + (2 + 1)=

= (4 + 2) + 1 = 6 + 1 = 7.

«Bevosita keyin kelish» munosabatidan ko‘paytirish uchun

ham shunga o‘xshash foydalaniladi: agar 7•5 = 35 ekani ma’lum

bo‘lsa, 7•6 ko‘paytmani topish oson. Buning uchun 35 ga 7 ni

qo‘shish  yetarli,  chunki  7•6 = 7(5 + 1) = 7•5 + 7 = 35 +

+ 7 = 42 bo‘ladi.

Butun nomanfiy sonlar to‘plamining yana bitta xossasini aytib

o‘tamiz. a — biror butun nomanfiy son va a + 1 son a dan bevosita

keyin keluvchi son bo‘lsin. U holda hech qanday butun nomanfiy

a  son  uchun  a < x < a + 1  bo‘ladigan  x  natural  son  ko‘rsatish

mumkin  emas.  Bu  xossa  natural  sonlar  to‘plamining  diskretlik

xossasi, a va a + 1 sonlarning o‘zi esa qo‘shni sonlar deb ataladi.

Birinchi o‘nlikdagi sonlarni o‘rganishning o‘zidayoq natural

qatorning  har  bir  sonini  qanday  hosil  qilish  mumkinligi

aniqlanadi. Bunda «keyin keladi», «oldin keladi» va 1 ni qo‘shish

hamda  1  ni  ayirish  tushunchalaridan  foydalaniladi,  ya’ni

o‘quvchilar natural qator sonlarining xossalarini bilishlari uchun

sharoit yaratiladi: ixtiyoriy sonni sanoqda undan oldin keluvchi

songa  1  ni  qo‘shish  bilan  hosil  qilish  mumkin,  ixtiyoriy  son

undan oldin keluvchi sondan 1 ta ko‘p va hokazo.

---

81

Kishining  amaliy  faoliyatida  nafaqat  buyumlar  sanog‘ini

bo‘lib borishga, balki turli kattaliklar: uzunlik, massa, vaqt va

boshqalarni  o‘lchashga  to‘g‘ri  keladi.  Shuning  uchun  natural

sonlarning vujudga kelishida sanoqqa bo‘lgan ehtiyojgina emas,

kattaliklarni o‘lchash masalasi ham sabab bo‘ladi. Agar natural

son kattaliklarni o‘lchash natijasida paydo bo‘lgan bo‘lsa, uning

qanday ma’noga ega ekanligi aniqlaniladi. Natural songa bunday

yondashish bilan bog‘liq bo‘lgan hamma nazariy dalillarni bitta

kattalik — kesma uzunligi misolida qaraymiz.

21  sînini  6  gà  bo‘làmiz.  Ràsm  bo‘yichà  21  ichidà  6

birlik uch màrtà jîylàshàdi và yanà 3 birlik qîlàdi:

Dåmàk,  21 = 6•3 + 3

  bo‘linuvchi

    bo‘luvchi

     bo‘linma

     qoldiq

Bo‘linuvchini a, bo‘luvchini b, bo‘linmàni c, qîldiqni r bilàn

bålgilàb, a = b•c + r tånglikni yozish mumkin, bundà hàr dîim

r < b bo‘làdi.

1- misol. Qàndàydir sînni 5 gà bo‘lgàndà bo‘linmàdà 4 và

qîldiq 3 hîsil bo‘ldi. Bo‘linuvchini tîping.

Y e c h i s h.  b=5,  c=4,  r = 3,  demak,  a = b•c + r =

= 5•4 + 3 =  20 + 3 = 23.

2- misol. 51 sînini qàndàydir sîngà bo‘lgàndà, bo‘linmàdà

6 và 3 qîldiq hîsil bo‘ldi. Bo‘linuvchini tîping.

Y e c h i s h. a = 51, c = 6, r = 3 ni yozib, 51 = b•6 + 3 yoki

b•6 + 3 = 51. b•6 — nîmà’lum qo‘shiluvchini tîpish uchun

yig‘indidàn mà’lum qo‘shiluvchini àyiràmiz:

b•6 = 51 - 3;

b•6 = 48;

b = 48 : 6;

b = 8.

Mashqlar

1. 42 ni 5 ga; 82 ni 9 ga; 30 677 ni 42 ga; 105 ni 82 ga qoldiqli

bo‘lishni bajaring.

2. Butun nomanfiy sonlarni: 3 ga; 8 ga; 35 ga bo‘lishda qanday

qoldiq qoladi?

6 — E. Jumayev

---

82

3. Agar a ni 7 ga bo‘lganda 0; 3; 6 qoldiq hosil bo‘lsa, a soni

qanday son bo‘ladi?

4. O‘quvchi  5 + 3 = 8  ekanini  hisobladi.  U  6 + 3  yig‘indini

qanday topishi mumkin?

5. Ikkinchi sinf o‘quvchisi 7•4 = 28 ekanini bilgan holda, 4•8

va 4•9 ni topdi. O‘quvchi buni qanday bajarishi mumkin?

6. To‘g‘ri to‘rtburchak chizing va uning diagonalalarini o‘tka-

zing. Uning tomonlari va diagonallarini taqqoslash kerak.

Siz buni qanday bajarasiz?

7. Shunday  a  va  b  kesmalar  chizingki,  a

yig‘indisini va ayirmasini yasang.

8. Bir sigirdan bir kunda o‘rtacha 4 l sut sog‘ib olinadi. 10 ta

shunday sigirdan 7 kunda necha litr sut sog‘ib olish mumkin?

9. Ràsmdàn  fîydàlànib,  bo‘linuvchi,  bo‘linmà,  bo‘luvchi  và

qîldiqni tîping. Mîs sînli tångliklàrni yozing:

10. 49 t shàkàrni tàshish uchun yuk ko‘tàrish quvvàti 5 t bo‘lgàn

nåchtà yuk màshinàsi kåràk bo‘làdi?

21- §. NATURAL SON KESMA UZUNLIGINING

QIYMATI  SIFATIDA

Ixtiyoriy a va b kesmalar berilgan bo‘lsin. Bu kesmalarga

teng kesmalarni boshi O nuqtada bo‘lgan biror nurga qo‘yamiz,

ya’ni OA = a va OB = b kesmalarni hosil qilamiz. Uchta hol

bo‘lishi mumkin:

1. A va B nuqtalar ustma-ust tushadi. U holda OA va OB —

bitta kesma, demak: a = b.

2. B nuqta OA kesma ichida yotadi. U holda OB kesma OA

kesmadan kichik (yoki OA kesma OB kesmadan katta) deyiladi

va bunday yoziladi: OB < OA (OA > OB) yoki bb).

3. A nuqta OB kesma ichida yotadi. U holda OA kesma OB

kesmadan kichik deyiladi va OA < OB, aa) deb yoziladi.

0

4

8

12

16

20

22

24

a =

b =

c =

r =

2 2 =

•

+

,

<

---

83

Agar a kesma a

1

, a

2

 ..., a

n

 kesmalarning birlashmasi bo‘lib,

kesmalardan birortasi ham ichki umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa

va bir kesma ikkinchi kesmaning oxiriga birin-ketin tutashsa, a

kesma bu kesmalarning yig‘indisi deyiladi va a = a

1

+ a

2

+ ... +

+ a

n

 deb yoziladi.

a va b kesmalarning a - b ayirmasi deb shunday c kesmaga

aytiladiki, uning uchun b + c = a tenglik o‘rinli bo‘ladi.

a va b kesmalarning ayirmasi quyidagicha topiladi. a kesmaga

teng  AB  kesma  yasaladi  va  unda  b  kesmaga  teng  AC  kesma

ajratiladi. U holda CB kesma a va b kesmalarning ayirmasi bo‘ladi.

X u l o s a .  a  va  b  kesmalarning  ayirmasi  mavjud  bo‘lishi

uchun b kesma a kesmadan kichik bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Kesmalar  ustida  amallar  qator  xossalarga  ega.  Ulardan

ba’zilarini isbotsiz keltiramiz.

1- xossa. Har qanday a va b kesmalar uchun a + b = b + a

tenglik  o‘rinli,  ya’ni  kesmalarni  qo‘shish  o‘rin  almashtirish

qonuniga bo‘ysunadi.

2- xossa. Har qanday a, b, c kesmalar uchun (a + b) + c =

= a + (b + c) tenglik o‘rinli, ya’ni kesmalarni qo‘shish guruhlash

qonuniga bo‘ysunadi.

3- xossa. Har qanday a va b kesmalar uchun a + b > a.

4- xossa. Har qanday a, b va c kesmalar uchun a < b bo‘lsa,

u holda a + c < b + c bo‘ladi.

Kesmalar uzunliklari qanday o‘lchanishini eslaylik. Eng avval

kesmalar to‘plamidan birorta e kesma tanlab olinadi va u birlik

kesma yoki uzunlik birligi deb ataladi. So‘ngra berilgan a kesma

birlik e bilan taqqoslanadi. Agar a kesma e birlik kesmaga teng n ta

kesma yig‘indisidan iborat bo‘lsa, a = e + e + ... + e = ne va n

natural son a kesma uzunligining e uzunlik birligidan son qiymati

deyiladi.

Shuni  eslatib  o‘tish  muhimki,  har  qanday  natural  son  n

uchun  uzunligi  shu  son  bilan  ifodalanadigan  kesma  mavjud

bo‘ladi. Bunday kesma yasash uchun e uzunlik birligini birin-

ketin n marta qo‘yish yetarlidir.

Shunday qilib, a kesma uzunligining son qiymati sifatidagi

natural  son  a  kesma  tanlab  olingan  e  birlik  kesmalarning

nechtasidan  iboratligini  ko‘rsatadi.  Tanlab  olingan  e  uzunlik

birligida bu son yagonadir.

n natural son a kesma uzunligining son qiymati, bu sonlar

bitta  e  uzunlik  birligida  hosil  qilingan  bo‘lsin.  Agar  a  va  b

---

84

kesmalar  teng  bo‘lsa,  ular  uzunliklarining  son  qiymati  teng

bo‘ladi, ya’ni n = m; teskari tasdiq ham o‘rinli.

Agar a kesma b kesmadan kichik bo‘lsa, a kesma uzunligining

son qiymati b kesma uzunligining son qiymatidan kichik bo‘ladi,

ya’ni n < m; teskari tasdiq ham o‘rinli.

Agar  natural  sonlar  kesmalarning  uzunliklarini  o‘lchash

natijasida hosil bo‘lgan bo‘lsa, bu sonlarni qo‘shish va ayirish

qanday ma’noga ega bo‘lishini aniqlaymiz.

Masalan, 3 va 8 sonlari b va c kesmalar uzunliklari e birlik

yordamida o‘lchash natijalari bo‘lsin, ya’ni b = 3e, c = 8e. Ma’-

lumki,  3 + 8 = 11.  Ammo  11  soni  qaysi  kesma  uzunligini

o‘lchash  natijasi  bo‘ladi?  Ravshanki,  bu  a = b + c  kesma

uzunligining  qiymatidir.

Mulohazani umumiy ko‘rinishda yuritamiz.

a kesma b va c kesmalar yig‘indisi hamda b = me, c = ne

bo‘lsin, bunda m va n — natural sonlar. Unda butun a kesma

m + n ta bo‘lakka bo‘linadi, ya’ni a = (m + n)e.

Shunday qilib, m va n natural sonlar bilan ifodalanadigan b

va c kesmalardan tuzilgan a kesma uzunligining qiymati sifatida

qarash mumkin ekan.

Agar  a  kesma  b  va  c  kesmalardan  iborat  bo‘lib,  a  va  b

kesmalarning uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalansa

(bir xil uzunlik birligidan), c kesma uzunligining qiymati a va b

kesmalar uzunliklari qiymatlarining ayirmasiga teng:

c = (m - n)e,

ya’ni, natural sonlarning m - n ayirmasini uzunliklari mos ravishda

m va n natural sonlar bilan ifodalangan a va b kesmalar ayirmasi

bo‘lgan c kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.

Agar  a = 9e  kesma  b  va  c  kesmalardan  iborat  bo‘lsa,

c = (9 - 4)e = 5e  bo‘ladi,  bunda  b = 4e.

Shuni  eslatamizki,  natural  sonlarni  qo‘shish  va  ayirishga

bunday yondashish nafaqat kesmalar uzunliklarini o‘lchash bilan,

balki boshqa kattaliklarni o‘lchash bilan ham bog‘liq. Boshlan-

g‘ich sinflar uchun matematika darslaridan turli kattaliklar va

ular  ustida  bajariladigan  amallar  qaraladigan  masalalar  ko‘p.

Kattaliklarning qiymatlari bo‘lgan natural sonlarni qo‘shish va

ayirishning  ma’nosini  aniqlash  bunday  masalalarni  yechishda

amallarni tanlashni asoslashga imkon beradi.

---

85

3 litr

3 litr

3 litr

3 litr

1- misol. Bog‘dan 3 kg olcha va 4 kg olma terishdi. Hammasi

bo‘lib necha kilogramm meva terishgan?

Y e c h i s h.  Masala  qo‘shish  amali  bilan  yechiladi.  Nima

uchun?

Terilgan olchalar massasini a kesma ko‘rinishida, terilgan

olmalar massasini b kesma ko‘rinishida tasvirlaymiz. U holda

terilgan hamma mevalar massasini a ga teng AB kesmadan va b

ga teng BC kesmadan tuzilgan AC kesma yordamida tasvirlash

mumkin. AC kesma uzunligining son qiymati AB va BC kesmalar

son  qiymatlarining  yig‘indisiga  teng  bo‘lgani  uchun  terilgan

mevalar massasi qo‘shish amali bilan topiladi: 3 + 4 = 7 (kg).

2- misol. Bolalar ko‘ylagiga 2 m, kattalar ko‘ylagiga undan

1 m ortiq gazlama ketadi. Kattalar ko‘ylagiga necha metr gaz-

lama ketadi?

Y e c h i s h.  Bolalar  ko‘ylagiga  ketgan  gazlamani  a  kesma

ko‘rinishida  tasvirlaymiz,  undan  kattalar  ko‘ylagiga  ketgan

gazlamani a ga teng AB kesma va 1 m ni tasvirlovchi BC kesma

yordamida  tasvirlaymiz.  AC  kesma  uzunligining  qiymati

qo‘shiluvchi kesmalar uzunliklari qiymatlarining yig‘indisiga teng

bo‘lgani  uchun,  kattalar  ko‘ylagiga  ketgan  gazlama  miqdori

qo‘shish amali bilan 2 + 1 = 3 (metr) deb topiladi.

3- misol. Oshxonada har birida 3 litr sharbat bo‘lgan 4 ta

banka bor. Bu bankalarda hammasi bo‘lib qancha sharbat bor?

Nima uchun bu masala ko‘paytirish amali bilan (3•4 = 12

(litr) deb) yechiladi?

Y e c h i s h.  1- usul.  Berilgan  rasm  masalani  yechishga

yordam beradi. 4 ta bankada hammasi bo‘lib qancha sharbat

borligini bilish uchun 3 + 3 + 3 + 3 yig‘indini topish yetarli. 3

yozuv 3•1 ko‘paytma bo‘lgani uchun topilgan ifodani quyidagi

ko‘rinishda  yig‘indisini  3•4  ko‘paytma  bilan  almashtirib,

(3 + 3 + 3 + 3)•1 = (3•4)•1 = 12•1 = 12  litr  hosil  bo‘ladi.

2- usul. Avvalo shuni aytishimiz kerakki, bu masalada sharbat

egallagan hajmning ikki birligi — banka va litr haqida gapiril-

moqda.  Avval  sharbat  bankalar  bilan  o‘lchangach,  keyin  uni

---

86

yangi birlik litr bilan o‘lchash kerak, bunda shu narsa ma’lumki,

eski  birlik  (banka)da  uchta  yangi  birlik  (3  litr)  bor.  Demak,

4•1 banka = 4•(3 l) = (4•3)•l = 12 litr.

Shunday  qilib,  natural  sonlarni  ko‘paytirish  uzunlikning

yangi birligiga o‘tishni ifodalaydi. Agar m natural son a kesma

uzunligining e uzunlik birligidagi qiymati, n natural son e kesma

uzunligining e

1

 uzunlik birligidagi qiymati, m•n ko‘paytma a

kesma uzunligining e

1

 uzunlik birligidagi qiymati bo‘lsa, m•n

ko‘paytma a kesma uzunligining e

1

 uzunlik birligidagi qiymatidir.

Endi  kattaliklarning  qiymatlari  bo‘lgan  natural  sonlarni

bo‘lish qanday ma’noga ega ekanligini aniqlaymiz.

4- misol.  Bir  bankaning  sig‘imi  3  l.  12  l  meva  sharbatini

quyish uchun necha banka kerak bo‘ladi?

Y e c h i s h.  Masalani  yechish  uchun  12  l  ni  kesma  bilan

tasvirlanadi  va  unda  3  l  ni  tasvirlovchi  kesma  necha  marta

joylashishi (12 l : 3 l = 4 (b)) aniqlanadi.

Bu  masalaning  yechilishini  boshqacha  asoslash  mumkin.

Masalada sharbat egallagan hajmning ikki birligi litr va banka

qaralmoqda.

Masalada  o‘lchash  natijasini  bankalar  bilan,  ya’ni  yangi

birlikda (sharbat hajmi litr bilan o‘lchanganda) ifodalash talab

qilinmoqda, shu bilan birga, yangi birlikda (bankada) 3 ta eski

birlik (3 l ) bor, shuning uchun 1 l = 1 b : 3.

12 l = 12•(1 b : 3) = (12 : 3)•b = 4•1 b = 4 b.

Ko‘rib turibmizki, natural sonlarni bo‘lish kattalikning yangi

birligiga o‘tish bilan bog‘liq ekan. Bu umumiy holda ko‘rsatiladi.

Pedagogika kollejlari uchun matematika darslarida turli kat-

taliklar qaraladigan ko‘paytirish hamda bo‘lish bilan yechiladigan

sodda  masalalar  ko‘p.  Bularning  hammasi,  odatda,  ko‘rgaz-

malilik  asosida  bajariladi.  Bunda  ko‘paytirish  bir  xil  qo‘shi-

luvchilarning qo‘shish amali sifatida talqin qilinadi, bo‘lish esa

ko‘paytirishning teskari amali sifatida qaraladi.

5-misol. Katerning daryo oqimi bo‘yicha tezligi 21 km/soat,

oqimga  qarshi  tezligi  15  km/soat.  Katerning  turg‘un  suvdagi

tezligini va daryo oqimining tezligini toping.

6-misol. Kater daryo oqimi bo‘ylab 60 km masofani o‘tish

uchun  4  soat  sarfladi.  Oqimga  qarshi  o‘sha  masofani  bosish

uchun 5 soat sarfladi. Daryo oqimining tezligini toping.