Fargona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari

Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi.

Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {S_n(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {S_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.

Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.

Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi.

Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz.

Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir f_n(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi.