Farg’onadavlatuniversiteti Fizika-Matematikafakultetimatematika

Farg’onadavlatuniversiteti

Fizika-Matematikafakultetimatematika
yo’nalishishi 20.02 guruhtalabasi
Nazirjonov Rahmonjonning
Matematikanalizfanidanyozgan
mustaqilishi

Reja:

1. 
   Funksional ketma-ketlikni biror to’plamda tekis yaqinlashishi.
   
2. 
   Tekis yaqinlashish haqida Koshi teoremasi.
   
3. 
   Funksional ketma-ketlikning fundamentalligi.
   

Biror :

(1)
funksionalketma-ketlikberilganbo’lib, esabuketma-ketlikningyaqinlashishsohasibo‘lsin. funksiya (1) funksionalketma-ketlikning limit funksiyasibo’lsin. Demak, funksionalketma-ketlik to’plamningharbir nuqtasida, da mos gaintiladi:
.
Ketma-ketlikninglimitita’rifigako’rabuquyidaginianglatadi: son olinganda ham, shunday topiladiki, uchun

bo’ladi. Bunda natural son gavaolingan nuqtagabog’liqbo’ladi: (chunki o’zgaruvchi to\plamdanolinganturliqiymatlarida ketma-ketlik, umumanolganda, turlichabo’ladi).
to’plamdagibarchanutalaruchunumumiybo’lgan natural sonnitopishmumkinmidegansavoltug’iladi. Buniquyidagichatushunishkerak: son olinganda ham va uchun bo’ladigan topiladimi?
Ba’zifunksionalketma-ketliklaruchunbunday natural son topiladi; ba’zifunksionalketma-ketliklaruchunesatopilmaydi, ya’nibiror soniuchunistalgankatta soniolinganda ham shunday nuqtatopiladiki,

tengsizlikbajariladi.
to’plamdabiror funksionalketma-ketlikberilganbo’lib, u limit funksiyagaegabo’lsin. Bu limit funksiyani deb belgilaylik.
1-ta’rif. Agar olinganda ham shunday topilsaki, ixtiyoriy vaixtiyoriy nuqtalaruchunbiryo’la

tengsizlikbajarilsa, funksionalketma-ketlik to’plamdatekisyaqinlashuvchi deb ataladi. Aksholda, funksionalketma-ketlik to’plamdatekisyaqinlashuvchiemas deb ataladi.
1-teorema. funksionalketma-ketlikning to’plamda gatekisyaqinlashishiuchun

bo’lishizarurvayetarli.
Isbot.Zarurligi. to’plamda funksionalketma-ketlik limit funksiyagatekisyaqinlashsin. Ta’rifgako’ra, bo’lganda yo’plamningbarcha nuqtalariuchun

bo’ladi. Bundanesa uchun

bo’lishikelibchiqadi. Demak,
.
Yetarliligi. to’plamda funksionalketma-ketlik limit funksiyagaegabo’lib,

bo’lsin. Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, uchun

bo’ladi. Agar ushbu

munosabatnie’tiborgaolsak, u holda uchun

bo’lishinitopamiz. Bu esa to’plamda funksionalketma-ketlik limit funksiyagatekisyaqinlashishinibildiradi.
Sonliketma-ketlikninglimitgaegabo’lishihaqidagiKoshiteoremasinifunksionalketma-ketliklarda ham aytishmumkin.
Biz quyidafunksionalketma-ketlikqandayshartda limit funksiyagaegabo’lishivaungatekisyaqinlashishiniifodalaydiganteoremanikeltiramiz. Avval fundamental ketma-ketliktushunchasibulantanishami.
to’plamda :

funksionalketma-ketlikberilganbo’lsin.
2-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday son mavjudbo’lsaki, , bo’lganda nuqtalaruchunbiryo’la

tengsizlikbajarilsa, funksionalketma-ketlik to’plamda fundamental ketma-ketlikdebataladi.
2-teorema. (Koshiteoremasi). funksionalketma-ketlik to’plamdalimiyfunksiyagaegabo’lishivaungatekisyaqinlashishiuchun u to’plamda fundamental bo’lishizarurvayetarli.
Isbot. Zarurligi. to’plamda ketma-ketliklimitfunksiyagaegabo’lib, ungatekisyaqinlashsin. Tekisyaqinlashishta’rifigamuvofiq, sonolingandaham, gako’rashunday topiladiki, bo’lganda nuqtalaruchun
,
shuningdek, bo’lganda uchun

bo’ladi, u holda , va uchun

bo’ladi. Buesa ketma-ketlik to’plamda fundamental ketma-ketlikekaninibildiradi.
Yetarlilgi. ketma-ketlik to’plamda fundamental ketma-ketlikbo’lsin. to’plamdanolingan har bir da funksionalketma-ketlik sonlarketma-ketligigaaylanadi. Ravshanki, ketma-ketlik fundamental ketma-ketlikbo’ladi. U holdayaqinlashishningKoshiteoremasigako’raasosan yaqinlashuvchi. Demak, to’plamning har bir nuqtasida ketma-ketlikyaqinlashuvchi. Bu ketma-ketlikninglimitfunksiyasini deylik:
.
Endi fundamental ketma-ketlikshartidagitengsizlikda da n va x larnitayinlab, limitgao’tibquyidaginitopamiz:
.
Bundanesa funksionalketma-ketlikning limitfunksiyagatekisyaqinlashisikelibchiqadi. Teoremaisbotlandi.