Fazodagi to’G’ri chiziq va uning tenglamalari

Tekislikda tugri chiziq tenglamalar Fazoda tekislik tenlamalari Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Kvadratik forma va uning kanonik tenglamalari


Reja:


1. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi
2. To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
3.Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi
4. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. To’g’ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi

Ushbu birinchi darajali tenglamalar sistemasini qaraymiz:

(1)
Bu sistemaning har bir tenglamasi fazoda tekislikni ifodalaydi. Fazodagi to’g’ri chizikni shu tekisliklarning kesishish chizigi deb qarash mumkin. Bu tekisliklar kesishish chizig’iga ega bo’lishi uchun

nisbatlar bajarilmasligi kerak (aks holda tekisliklar paralel bo’lib qoladi). (1) tenglamlar fazodagi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Misol. Umumiy tenglamasi

ko’rinishda bo’lgan to’g’ri chiziqni yasang.
Yechish. To’g’ri chiziqni yasash uchun uning ikki nuqtasini bilish yetarli. Bunda uning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtasini topish oson bo’ladi. To’g’ri chizikning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalari to’g’ri chiziqning izi deyiladi. To’g’ri chiziqning Oxy tekislikdagi M₁ izini topish uchun to’g’ri chiziq tenglamasida z=0 deymiz. U holda

sistemaga kelamiz. Bundan: x=1, y=2. Demak, M₁ nuktaning koordinatalari: x=1, y=2, z=0. Xuddi shuningdek to’g’ri chiziqning Oyz tekislikdagi izini topish uchun x=0 deymiz. Bu holda to’g’ri chizig’ning Oyz tekislikdagi izi M₂ ning koordinatalarini topamiz. Ular x=0, y=1, z=2 bo’ladi.
Topilgan M₁ (1; 2; 0) va M₂ (0; 1; 2) nuqtalaridan o’tuvchi to’g’ri chiziqni yasaymiz (1-chizma).
z
0 y
x

1-chizma.

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi

Fazoda to’g’ri chiziqning vaziyati biror M₁ nuqta shu to’g’ri chiziqqa paralel bo’lgan vektor bilan to’liq aniqlanadi. To’g’ri chiziqqa paralel bo’lgan vektor, shu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori uning koordinata o’qlariga proyeksiyalari esa to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffisentlari deb ataladi.

Faraz qilaylik M₁ (x₁; y₁; z₁) L to’g’ri chiziq ustidagi nuqta, esa uning yo’naltiruvchi vektori bo’lsin. L to’g’ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtani tutashtiruvchi vector vektorga paralel bo’lgani uchun (2-chizma) va vektorning mos koordinatalari proposional bo’ladi. Bunda bo’lgani uchun


(2)
ga ega bo’lamiz.
Demak, L to’g’ri chiziq ustida yotuvchi har qanday M nuqtaning koordinatalari (2) tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglama to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deb ataladi.

Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi

Faraz qilaylik, L to’g’ri chiziq M₁ (x₁;y₁;z₁) va M₂ (x₂;y₂;z₂) nuqtalar orqali o’tsin. Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini tuzamiz. Shu maqsada to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektorini topamiz. Bu vektor uchun M₁ va M₂ nuqtalarni tutashtiruvchi vektorini olamiz: Demak, m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁, bo’lib, izlangan tenglama (2) ga asosan

(3)
ko’rinishda bo’ladi.
Misol. Ikki M₁(1;3;-5) va M₂(1;4;2) nuqtalaridan utuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish (3) tenglamadan foydalanib topamiz:

Bunda m=0 bo’lgani uchun to’g’ri chiziq 0x o’qiga perpendikulyar bo’ladi.
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. To’g’ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlarning birining yo’naltiruvchi vektori ikkinchisiniki esa bo’lgani uchun, bu vektorlar orasidagi burchak berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi  burchakka teng bo’ladi. Bu holda

bo’ladi. Bu berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakning kosinusidir. Ikki to’g’ri chiziqning paralellik va perpendikulyarlik shartlari ularning yo’naltiruvchi vektorlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlaridan kelib chiqadi:.

(parallellik sharti)
(perpendikulyarlik sharti)