FəSİL 1 matriSLƏr və determinantlar matris anlayışı

Teorem. Xətti tənliklər sisteminin əsas determinantı sıfır­dan fərqli olduqda onun yeganə həlli var və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır.
Əgər və (və ya ) olarsa, onda alınır və (1) sistemi uyuşmayan­ olur.
Əgər olarsa, onda alınır və (1) sistemi qeyri-müəyyən olur və sonsuz sayda həllə malik olur .
İndi isə tutaq ki, üç məchullu üç xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
. (3)
Bu sistemin də olduqda yeganə

(4)

həlli vardır. (4) düsturlarına Kramer düsturları deyilir.
Burada

determinantına (3) sisteminin əsas determinantı,
, ,
determinantları isə köməkçi determinantlar adlanır.
Misal 1. Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin:
.
Həlli. Sistemin əsas və köməkçi determinantlarını hesablayaq:
, ,
, .
olduğuna görə, sistem yeganə həllə malikdir. Kramer qaydasına görə:
, , .
Misal 2. xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin.


Məsələnin MatLab mühitində həlli:

% 1.2222 -1.5556

§4. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli

Xətti cəbri tənliklər sisteminin ən universal və effektli həll üsul­ların­dan biri Qauss üsuludur. Bu üsula bəzən məchulları ardıcıl yoxetmə üsulu da deyirlər. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həllində tənliklər sisteminin ekvivalentliyi (eynigüclüyü) nəzəriyyəsinin bu esul ilə bağlı olan bəzi məsələlərini qeyd edək. Yəni verilmiş xətti tənliklər sisteminin həlli və araşdırılması zamanı verilən sistem üzərində elə çevirmələr aparmaq olar ki, alınmış sistem əvvəlki sistemə nəzərən daha sadə şəkildə olur. Eyni zamanda əvvəlki sistemlə eynigüclü olur. Təniklər üzərində aparılan çevirmələrə elementar çevirmələr deyilir. Bu çevirmələr aşağıdakılardır:

1. Sistemin tənliklərindən bir və ya bir neçəsinin hər iki tərəfindəki bütün hədlərini ədədinə vurmaq və ya bölmək.
2. Sistemin tənliklərində hədlərin yerini dəyişmək.
3. Sistemin tənliklərinin yerini istənilən qayda ilə dəyişmək.
4. Sistemin ixtiyari bir tənliyini hər hansı bir ədədə vurub, nəticəni sistemin başqa bir tənliyi ilə toplamaq və ya çıxmaq.
Sadəlik üçün dördməchullu dörd xətti tənliklər sisteminə baxaq:
(1)
Tutaq ki, , əks halda olarsa, onda tənliklərin yerini elə dəyişirik ki, məchulunun əmsalı sıfırdan fərqli olsun.
Düz addım. Bu mərhələdə sistem pilləvari hala (xüsusi halda, üçbucaq hala) gətirilir. Tənliklər üzərində elementar çevirmələr vasitəsi ilə birinci tənliyi saxlamaq şərti ilə sistemin qalan bütün tənliklərindən məchulunu yox edək. (1) sistemin birinci tən­li­yini -ə vurub və alınan tənlikdən ikinci tənliyi tərəf-tərəfə çıxaq, sonra birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən üçüncü tənliyi tərəf-tərəfə cıxaq və nəha­yət, birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən dördüncü tənliyi tərəf-tərəfə çıxsaq, nəticədə aşağıdakı sistemi almış olarıq:
(2)
Burada , birinci addımdan sonra əmsalların və sağ tərəflərin alınmış yeni qiymətləridir.
Analoji olaraq, olmasını nəzərə almaqla sistemin birin­ci və ikinci tənliklərindən başqa bütün qalan tənliklərindən məchu­lunu yox edək. Prosesi mümkün hala qədər bu qayda ilə davam etdirmək lazımdır.
Əgər (1) sisteminin pilləvari hala gətirilməsi prosesində

şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənliyi sistemdən kənar etmək lazımdır. Müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa bir tənliyi

şəklində olarsa, onda (1) sistemi uyuşan deyil.
Tərs addım. Bu addımda pilləvari sistemin həllini tapmaq tələb olunur. Pilləvari sistem, ümumiyyətlə, sonsuz sayda həllər çoxlu­ğuna malikdir. Əgər pilləvari sistem üçbucaq şəklində olarsa, onda verilən sistem yeganə həllə malik olur. Bu halda sonuncu tənlikdən məchulunu, axırıcı tənlikdən əvvəlkindən məchulunu və bu qayda ilə sistem üzrə geri qayıdaraq qalan məchullarını tapırıq.
(1) (§1) sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən düzəldilmiş və genişlənmiş matris adlanan

matrisini düzəldək.
Teorem (Kronekker-Kapelli). (1) sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olma­sı ( ) zəruri və kafidir.
Belə ki,