FəSİL 1 matriSLƏr və determinantlar matris anlayışı

§5. Bircins xətti tənliklər sistemi

Tutaq ki, bircins

(1)
xətti tənliklər sistemi verilmişdir. Aydındır ki, (1) sistemi olduğuna gö­rə həmişə uyuşandır və onun sıfır (trivial) həlli var.
Teorem. (1) sisteminin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün onun determi­nantının sıfra bırabər olması zəruri və kafidir.
Əgər sistemin matrisinin ranqı dəyişənlərin sayına bərabərdirsə (ranq(A)=n), onda bircins xətti tənliklər sisteminin yalnız trivial həlli var. Əgər olarsa, onda olar, bu halda bircins sistem sıfırdan fərqli sonsuz sayda həllə malik olur.
Tutaq ki, bircins üç məchullu üç xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
.
Burada aşağıdakı hallar mümkündür:
a) əgər -dırsa, onda sistemin yeganə həlli var,
b) əgər və determinantın ikinci tərtib minorlarından
biri sıfırdan fərqlidirsə, onda tənliklərdən biri digər ikisinin nəticəsi olur və sistem üç­məc­hul­lu iki tənlikdən ibarət olur, bunun isə sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli var,
с) əgər və determinantın bütün ikinci tərtib minorları sıfra bə­rabərdirsə, onda sistem üçməchullu bir tənliyə çevrilir və onun da sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli olur.
Qeyd edək ki, bircins sistemin sıfırdan fərqli həlləri içərisində elə həllər vardır ki, onlar vasitəsilə digər həllər ifadə olunur. Bu sıfırdan fərqli həllər fundamental (bazis) həllər adlanır. Bu həlləri necə tapmalı?
Bircins sistemin həlləri o zaman xətti asılı adlanır ki, bu həllərin xətti kombinasiyası yalnız və yalnız olduqda sıfır həllə malik olsun.
Bircins sistemin həllər toplusu aşağıdakı şərtlər daxilində fundamental həllər sistemi (fhs) adlanır:

1. 
   bu toplu xətti asılıdır,
   
2. 
   bircins sistemin hər bir həlli bu toplu vasitəsilə xətti ifa­də
   

olunur.
Teorem ( fundamental həllər sisteminin sayı haqqında). Əgər
sistemin matrisinin ranqı dəyişənlərin sayından kiçikdirsə ( ) , onda fundamental həllər sistemi ( ) həllə malik olur.