Filiali psixologiya fakulteti ‘ijtimoiy va iqtisodiy fanlar' kafedrasi

Geometrik o‘rtachaning matematik xossalari

Geometrik o‘rtacha ham arifmetik o‘rtacha singari qator matematik xossalarga ega. Agarda o‘rtalashtirilayotgan ayrim miqdorlarning arifmetik o‘rtachadan musbat va manfiy ishorali tafovutlari o‘zaro yeyishsa, birinchi xossa , o‘rtacha geometrik uchun esa o‘zgaruvchan miqdorlarning bu o‘rtachadan nisbiy tafovutlari o‘zaro yeyishadi. Bu yerda nisbiy tafovut deganda muayyan o‘zgaruvchi qiymatining geometrik o‘rtachaga nisbati nazarda tutiladi.

Haqiqatda ham bular bilan nisbiy tafovutlar ifodalansa, u holda o‘zgaruvchi qiymati geometrik o‘rtachadan katta yoki kichikligiga qarab, bu tafovutlar birdan katta yoki kichikdir. Nisbiy tafovutlarni bir-biri bilan ko‘paytirib va (7.3) formulani hisobga olib

Agarda logarifmlash yordamida geometrik o‘rtachani o‘rtacha arifmetik ifodaga keltirsak, u holda geometrik o‘rtacha logarifmi uchun arifmetik o‘rtachaning barcha xususiyatlari xos bo‘ladi. Arifmetik o‘rtachani ham, geometrik o‘rtachani ham hisoblash jarayonida o‘rganilayotgan belgining ayrim miqdorlari (qator variantalarining qiymatlari (1,n) ularning o‘rtachasi bilan almashtirilayapti va bu almashuvni ma’lum qoidaga (shart-talabga) binoan bajarilayapdi. Masalan, arifmetik o‘rtachada geometrik o‘rtachada esa degan qoidaga asoslanilyapti. Matematik jihatdan (1,n) - o‘zgaruvchi miqdorlar ularning funksiyasi arifmetik o‘rtacha topishda , geometrik o‘rtachada esa konstanta, ya’ni o‘zgarmas miqdor deb qaralyapdi.
Demak, matematik iboralar bilan aytganda o‘rtacha miqdor ( ) o‘zgaruvchilarning ( ) shunday funksiyasiki, [ ], uni aniqlayotganda o‘zgaruvchilar bilan bajariladigan arifmetik amallarning jamlama yig‘indisi konstanta, ya’ni o‘zgarmas miqdor deb qaraladi.
Garmonik o‘rtachada o‘zgaruvchi miqdorlarning teskari qiymatlarining yig‘indisi, ya’ni o‘zgarmas miqdor deb qaraladi.

Garmonik o‘rtacha deb shunday o‘rtacha miqdorga aytiladiki, u bilan o‘zgaruvchilarni almashtirayotganda ularning teskari qiymatlari yig‘indisi o‘zgarmas miqdor deb qaraladi.
O‘z-o‘zidan ravshanki, iqtisodiy hodisalar uchun o‘rtachani aniqlayotganda bu qoida hodisaning iqtisodiy mohiyati jihatidan asoslanishi kerak, albatta. Aks holda olingan o‘rtacha miqdor va uning sifat asosi bir-biriga monand bo‘lmay qoladi.

Oddiy garmonik o‘rtacha: (7.9)

yoki qisqacha:


O‘rtacha tortilgan garmonik miqdor o‘rtalashtirilayotgan miqdorlar har xil vaznga (W_i) ega bo‘lgan taqdirda qo‘llaniladi va quyidagicha hisoblanadi:
(7.10)

Ma’lumki, har qanday o‘rtacha miqdor ikkita ko‘rsatkichning bir-biriga bo‘lgan nisbatidan yuzaga chiqadi. Birinchi ko‘rsatkich o‘rganilayotgan belgining umumiy hajmini ifodalasa, ikkinchi ko‘rsatkich bu belgi sohibining soni (vazni, uchrashish tezligi)ni belgilaydi. Agar belgining hajmini ifodalovchi ma’lumot (ya’ni nisbatning sur’ati) bilan belgining ayrim darajalari ma’lum bo‘lsa, u holda o‘rtacha miqdor o‘rtacha garmonik formula yordamida hisoblanadi. Agar belgining hajmi va to‘plam soni ma’lum bo‘la turib, ayrim darajalari noma’lum bo‘lsa, u holda agregat o‘rtacha formula qo‘llanadi, ya’ni

(7.11)

Va nihoyat, to‘plam qismlari oraliqlari uchun ayrim variantalar bilan variantlar (obyektlar) soni ma’lum bo‘lsa, u holda arifmetik o‘rtacha ishlatiladi.

Demak, o‘rtacha miqdorni hisoblashdan oldin dastavval uning mohiyatini ifodalovchi nisbatni aniqlab olish lozim. So‘ngra qaysi bir ma’lumotlar ma’lumligi, qaysi biri esa noma’lumligiga qarab o‘rtachani u yoki bu formula yordamida hisoblash kerak.
Masalan: quyidagi ma’lumotlar keltirilgan:
7.3-jadval