Fizika” fani bo’yicha

4. Shreydenger tenglamasi.
Kvant mexanikasida vodorod atomidagi elektron masalasi uch bosqichda hal qilinadi.

1. 
   Elektron energiyasining qiymatini aniqlash.
   
2. 
   Shredinger tenglamasini echib, ψ - funksiyani aniqlash.
   
3. 
   Fazoning har xil sohasida ψ- funksiya modelining kvadratiga asosan elektronning joylashish ehtimolini topish.
   

Shredinger tenglamasi. Potensial chuqurdagi elktron.

1. 
   Stasionar holat uchun Shredinger tenglamasi:
   

(d²ψ/ dx²)+(d²ψ/ dy²)+(d²ψ/ dz²)+(8π²m/ h²) (E_T-E_n)ψ=0 ; ħ=h/2π
yoki
(d²ψ/ dx²)+(d²ψ/ dy²)+(d²ψ/ dz²)+(2m/ ħ²) (E_T –E_n)ψ=0 ; ħ=h/2π
m– zarracha tashqi, ET va En– to’liq va potensial energiyalar (vaqtga bog’liq emas). Agar zarracha faqat ayrim bir chiziq bo’ylab masalan OX o’qi bo’ylab ko’chsa (bir o’lchamli hol) u holda
(d²ψ/ dx²)+(8π²m/ ħ²)(E_T-E_n)ψ = 0;
0< x <1 intervalga cheksiz baland devorli, bir o’lchamli, to’g’ri burchakli potensial chuqur deyiladi. En = 0, 0< x <1 uchun
(d²ψ/ dx²)+(8π²m/ ħ²)(E_T-E_n)ψ = 0;
ω² = 8π²m E/h² , (d²ψ/ dx²) + ω²ψ = 0
bu tenglama garmonik tebranishlarning differensial tenglamasiga o’xshash bo’lib, uning echimi quyidagi ko’rinishga ega.
Ψ = ψ₀ cos (ωx+φ₀ )
Ψ₀- to’lqin funksiyasining amplitudasi: φ₀ – boshlang’ich fazasi.
2. ikki doimiy kattalik ψ₀ va φ₀ larni, hamda ω yoki E larning mumkin bo’lgan qiymatlarini topish uchun chegaraviy shartlarini topamiz:
1) X=0 da ψ=0, 0=ψ₀cosφ₀:cosφ₀=0:φ₀= π/2
2) X=1 da ψ =0 φ₀= π/2, 0=ψ₀ cos (ω1+ π/2)
Cos (ω1+ π/2 )=0 ; ω1+ π/2=(2n +1)( π/2 ):ω1=nπ ; ω=nπ/l
n = 1,2,3.............. ; n ≠ 0
sonlarni qabul qiladi, chunki aks holda istalgan X larda ψ=0 bo’ladi, bu esa potensial chuqurda elektron yo’qligidan dalolat beradi.
n – soni bosh kvant soni deb ataladi.
ω² =8π²m E/h² ω= nπ/l ;
E_n =n² π²h²/8π²m 1²= n²h²/8m1²=[h²]n²/8m1² ; E_n=[h²/8m1²]n²
E₁= h² /8m1²; E₂ =(h²/ 8m1²)4; …………………
E_n+1 = [h²/8m1²] (n+1)²
ΔE=E_n+1–E_n=[h²/8m1²](n+1)²-[h²/8m1²]n² =[h²/8m1²](n²2n+1-n²)=[h²/8m1²](2n+1)
Ψ=ψ₀Cos(nπ /1+π /2 )=ψ₀ Cosπ(nx/1+1/2)
ψ=ψ₀Cosπ(nx/1+1/2) ni kvadratga ko’tarib, potensial chuqurning turli nuqtalarida elektron mavjudligining ehtimollik zichligi ‌‌‌‌‌|ψ‌| ² ni topamiz.
Bor nazariyasiga asosan vodorod atomidagi elektron energiyasi bosh kvant soni n ga bog’liq holda quyidagi formula bilan aniqlanadi.
E = - (m₀z²e⁴/8E02h2) ·(1/ n²) (1)
lekin to’lqin funksiyaning qiymati faqat bosh kvant soni bilan belgilanmay, azimutal kvant soni 1₁ magnit kvant soni m bilan belgilanadi va simvolik ravishda ψ _n,l,m,s ko’rinishda yoziladi. n,l,m,s kvant sonlari ψ funksiya ko’rinishini, ya’ni elektronning atomidagi (holati) konfigurasiyasini aniqlaydi.
Azimutal kvant soni elektron harakatining orbital harakat miqdori absalyut qiymati L ni aniqlaydi.
L = | | = (2)
Bu formulada : 1=0,1,2,......., n-1; ħ= h/2π
Orbital harakat miqdorining koordinata o’qlari bo’yicha proeksiyalari, masalan, OZ o’qi bo’yicha proeksiyasi:
L_z = m ħ (3)
Bu erda : m– magnit kvant soni bo’lib, m 0; ± 1; ±2; .......; ±1 qiymatlarni qabul qiladi va orbital harakat miqdorining biror o’qga bo’lgan proeksiyasi miqdorini ko’rsatadi.
Odatda elektron yadro atrofida aylanib aylanma tok hosil qiladi deb faraz qilinadi. Bu tok magnit maydon hosil qilib, uni elektronda hosil qilgan magnit momentining absalyut qiymati
M₁ = (eħ/2m₀c) (4)
ga teng bo’lar ekan. Bu formulada ħ = h/2π ;
eħ, m₀ – elektronning zaryadi va tinchlikdagi massasi, 1- azimutal kvant soni,
Bor magnetoni deb atalib, elektronning magnit momentini xarakterlaydi. Magnit M₁ va mexanik L orbital momentlarining nisbati:
M₁/L = 1/ 2m₀c (5)
giromagnit nisbat deyiladi va elektronning atomdagi har qanday holati uchun o’zgarmas miqdordir.
Demak, atomdagi elektronning energiyasi asosan bosh kvant n soni bilan aniqlanib, ψ– funksiyaning konfigurasiyasi n,l,m,s–kvant sonlar bilan xarakterlanadi. Har qaysi ma’lum n kvant soni uchun ma’lum l,m kvant sonlarining qiymatlari tog’ri keladi.
Masalan:
n =1 bo’lsa, 1=0 qiymatga to’g’ri kelgan holat. Bu holatga “ aniq ” holat deyiladi va “s ”
bilan belgilanadi.
n=2 bo’lsa, 1=0,1; 1=0 holatga – “s” ; 1=1 holatga esa “bosh” spektr holat deyiladi va “p” bilan belgilash qabul qilingan.
n=3 bo’lsa, 1=0,1,2; 1=0,1 qiymatlarga “s” va “p” holatlar mos keladi, 1=2 qiymatga to’g’ri kelgan holatga “tarqoq” spektr holat deyiladi va “d” simvoli bilan belgilanadi.