Fizika-matematika fakulteti

Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)
Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.
Bizga,
(1.3.1)
birinchi tartibli differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni funksiya to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.
(1.3.1) dan

ifodani ikkala tomonini « » dan « » gacha integrallasak,
(1.3.2)
Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda
(1.3.3)
Noma’lum funksiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (1.3.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.
(1.3.3) da  funksiyadagi “ ” ning o’rniga uning ma’lum qiymati “ ”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim  ni topamiz:
(1.3.4)
Endi (1.3.3) dagi   funktsiyaning “ ” o’rniga uni ma’lum qiymati “ ” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “ ” ni hosil qilamiz:
(1.3.5)
Ushbu jarayonni davom ettirsak:
(1.3.6)
Shunday qilib quyidagi funksiyalar ketma-ketligini hosil qildik:
(1.3.7)
Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

Teorema. Agar nuqta atrofida funksiya uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi mavjud bo’lsa, u holda Pikar ketma-ketligi (1.3.1) tenglamaning yechimi bo’lgan va  shartni qanoatlantiruvchi funksiyaga yaqinlashadi.

Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teorema shartlari bajarilsa (ya’ni (1.3.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (1.3.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.
Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning da shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish:
Tenglamani ikkala tomonini « » dan « » gacha integrallasak,

“ ” ning o’rniga uning ma’lum qiymati “ ”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim ni topamiz:

(1.3.5) ga asosan

Xuddi shuningdek  va ni ham hisoblasak,


Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar va  aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.