Misol. Ushbu y=x5funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini aniqlang.
Yechilishi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y’’=20x3. Bundan, agar x>0 bo‘lsa, y’’>0, agar x<0 bo‘lsa y’’<0 bo‘ladi. Demak, (-;0) oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+) oraliqda esa botiq bo‘ladi.
Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash Funksiyaning xossalarini tekshirish va uning grafigini yasashda quyidagilarni bajarish maqsadga muvofiq:
Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi.
Funksiya grafigining burilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari topiladi.
Misollar 1. y=x(x2-1) funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi. 1) aniqlanish sohasi - haqiqiy sonlar to‘plami. Uzilish nuqtalari yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlari: x(x2-1)=+; x(x2-1)=-; 2) funksiya davriy emas, toq funksiya
3) funksiyaning uchta noli bor: x=0; x=-1; x=1. Ushbu x(x2-1)>0 tengsizlikni yechamiz, uning yechimi (-1,0)(1,+) to‘plamdan iborat.
Demak, funksiya (-1,0)(1,+) to‘plamda musbat va (-,-1)(0,1) to‘plamda manfiy qiymatlar qabul qiladi.
4) og‘ma asimptotaning burchak koeffitsientini topamiz: k= = = (x2-1)=. Demak, og‘ma asimptota mavjud emas. Vertikal asimtotalar ham mavjud emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q).
5) Funksiya hosilasini topamiz: y’=3x2-1.Hosilani nolga tenglashtirib statsionar nuqtalarini topamiz: y’=0 yoki 3x2-1=0, bundan x=-1/ , x=1/ . Ushbu (39-a-chizma) sxemani chizamiz, va intervallar metodidan foydalanib funksiya hosilasining ishoralarini aniыlaymiz. Bundan funksiya(-,-1/ ) va (1/ ,+) intervallarda monoton o‘suvchi, (-1/ ,1/ ) intervalda monoton kamayuvchi; x=-1/ nuqtada maksimumga, x=1/ nuqtada minimumga ega ekanligi kelib chiqadi. Ekstremum nuqtalarida funksiya qiymatlarini hisoblaymiz: agar xmax=-1/ bo‘lsa, u holda ymax=2/(3 ); agar xmin=1/ bo‘lsa, u holda ymin=-2/(3 ) bo‘ladi.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=6x. Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib y’’=6x=0, x=0 ekanligini topamiz. Sxemani (39-b-chizma) chizamiz va hosil bo‘lgan intervallarda ikkinchi tartibli hosila ishoralarini aniqlaymiz. Bundan x=0 nuqtada burilish mavjud, (-;0) da funksiya grafigi qavariq, (0;+) da botiq ekanligini topamiz. Burilish nuqtasi ordinatasini topamiz: u(0)=0. Funksiya grafigi 39–c-chizmada keltirilgan.
2. y= funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
0>0>