Funksianing qavariqligi va botiqligi

Yechilishi. 1) Aniqlanish sohasi – [0,4] kesma. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini topamiz: agar x=0 bo‘lsa, u holda u=2; agar x=4 bo‘lsa, u=2.

3 9-chizma

Funksiyaning uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya toq ham, juft ham emas, davriy ham emas.
3) funksiyaning nollari yo‘q,
4) Og‘ma asimptotalari yo‘q, chunki aniqlanish 40-chizma 41-chizmasohasi kesmadan iborat.
5) Hosilasini topamiz: .Hosilani nolga tenglashtirib, kritik (statsionar) nuqtanitopamiz: x=2. 40-chizmadagi sxemani chizamiz. Bundan funksiya (0,2) intervalda o‘suvchi, (2,4) intervalda kamayuvchi, x=2 nuqtada funksiya maksimumga erishishi kelib chiqadi. Maksimum nuqtasining
ordinatasi y_max=2 .
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: . (0,4) intervalda ikkinchi tartibli hosila manfiy, demak bu intervalda funksiya grafigi qavariq bo‘ladi.
Funksiya grafigi 44–chizmada chizilgan. Shuni aytib o‘tish kerakki, , bo‘lganligi sababli, funksiya grafigi (0,2) nuqtada ordinatalar o‘qiga, (4,2) nuqtada x=4 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
3. y=x^x. funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechilishi. Avval funksiyani quyidagicha yozib olamiz: y=x^x=e^xlnx.
1) funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar to‘plami. Chegaraviy qiymatlari: e^xlnx=1, e^xlnx=+. Uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya juft ham, toq ham, davriy ham emas.
3) Funksiyaning nollari mavjud emas.
4) Og‘ma asimptotasini izlaymiz: k= =+, demak og‘ma asimptota yo‘q.
5) Hosilasini topamiz: y’=x^x(lnx+1).y’=0 tenglamadan x=e^-10,367. funksiya (0,1/e) intervalda kamayuvchi, (1/e,+) intervalda
o ‘suvchi bo‘ladi. x=e^-1 nuqtada funksiya minimumga ega, uning ordinatasi y_min=0,692.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=x^x((lnx+1)²+1/x). Ikkinchi tartibli hosila (0,+) intervalda musbat, demak funksiya bu intervalda botiq.
Funksiyaning x=0 nuqta atrofida tekshiramiz.
y’= x^x(lnx+1)=-, bundan funksiya grafigi (0,1) nuqtada ordinatalar o‘qiga urinishi kelib chiqadi.
Funksiya grafigi 41–chizmada berilgan. 42-chizma
4. f(x)=x+ln(x²-1) funksiyani to‘la tekshiring va grafigini chizing.
Yechish. 1) Funksiya x²-1>0, ya’ni (-;-1) va (1;+) oraliqlarda aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz:
f(x)= (x+ln(x²-1))=-;
f(x)= (x+ln(x²-1))=-.
Demak, funksiya grafigi ikkita x=-1 va x=1 vertikal asimptotalarga ega.
2) funksiya toq ham, juft ham, davriy ham emas.
3) funksiya (-,-1) intervalda manfiy, (1,+) intervalda yagona noli mavjud, uni topish uchun taqribiy hisoblash metodlaridan foydalaniladi, natijada x₀1,15 ekanligini aniqlashimiz mumkin. Demak, funksiya (1;1,15) intervalda manfiy, (1,15, +) oraliqda musbat.
4) Og‘ma asimptotalarini izlaymiz: k= = (1+ )=1,
b= (y-kx)= ln(x²-1)=+, demak og‘ma asimptota mavjud emas.
5) Funksiya hosilasi y’=1+2x/(x²-1) funksiyaning aniqlanish sohasida mavjud, shu sababli uning kritik nuqtalari faqat statsionar nuqtalardan iborat bo‘ladi. Bunda y’=0 tenglama yechimlari x₁=-1- va x₂=-1+ bo‘lib, x₂=-1+ funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli emas.
Shunday qilib, yagona kritik nuqta mavjud va (-;-1) oraliqqa tegishli. (1;+) oraliqda y’>0 va funksiya o‘suvchi bo‘ladi. x₁=-1- nuqtada maksimum mavjud. Uning ordinatasi f(-1- )=-1- +ln(2+2 ) -0,84 ga teng.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=- . Bundan y’’<0, demak grafik qavariq. Funksiya grafigi 42-chizmada berilgan.