Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

Funksional ketma-ketliklarlarning o’rtacha yaqinlashuvchanligi


Reja:
I.KIRISH
II.ASOSIY QISM

• 
  Funksional ketma-ketliklar
  
• 
  Funksional qator
  
• 
  Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari
  
• 
  Funksional ketma-ketlikni o’rtacha yaqinlashishi
  

.
III.XULOSA
IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI

Elementlari biror XєR to`plamda f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),… (1) funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Bu ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deb ataladi va {f_n(x)} kabi belgilanadi. (1) ketma-ketlikda f_n(x) funksiya sha ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi.

X to`plamdan x<sub>0</sub>єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblab, natijada f<sub>1</sub>(x<sub>0</sub>), f<sub>2</sub>(x<sub>0</sub>), …, f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ta`rif. Agar {f_n(x₀)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ta`rif. Agar {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin.
Aytaylik, X to`plam (XcR) {f_n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin. Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi. X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli [0, )ning chekli limitini mos qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {f<sub>n</sub>(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi deyiladi:
=f(x) (3). Bu holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E>0 son hamda har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga bog`liq) topiladiki, barcha n>N uchun (4) tengsizlik bajariladi.
Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n₀ natural son topilsaki, barcha n>N uchun tengsizlik bajarilsa, {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
2. Funksional qator
Biror X to`plamda (XcR) f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),…,f<sub>n</sub>(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin.
Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda, f<sub>1</sub>(x), f<sub>2</sub>(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari f<sub>n</sub>(x) esa uning umumiy hadi deyiladi.
(2) funksional qator hadlari yordamida tuzilgan ushbu:
S<sub>1</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)
S<sub>2</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)+f<sub>2</sub>(x)
………………..
S<sub>n</sub>(x)=f<sub>1</sub>(x)+f<sub>2</sub>(x)+…+f<sub>n</sub>(x)
Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi.
Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni o`rganishga ekvivalent.
Ta`rif. Agar da {S_n(x)} funksional ketma-ketlik x₀ nuqtada (x₀єX) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi..
Misol. qatorning yaqinlashishini tekshiring va uning yig`indisini toping.
Yechish. Bu qator x ning hamma qiymatlarida yaqinlashuvchi. Haqiqatdan ham, x≠0 bo`lganda berilgan qator maxraji , 0
Agar x=0 bo`lsa, berilgan qatorning hamma hadlari nolga teng bo`lib yaqinlashuvchi va S(0)=0/ shunday qilib,

Bu misoldan ko`rinadiki qatorning hamma hadlari Rda uzluksiz, qator esa yaqinlashuvchi, lekin qatorning yig`indisi uslishga ega.
Biz bundan keyin qanday shartlar bajarilganda hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat yaqinlashuvchi funksional qatorning yig`indisi uzliksiz bo`ladi degan masala bilan shug`illanamiz.
(4) funksional qatorni qaraymiz. Bunda f<sub>n</sub>(n) funksiyalar X to`plamda berilgan bo`lib, x<sub>0</sub>єX bo`lsin.
Ta`rif. Agar (5) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/
Ta`rif. Agar x=x<sub>0</sub> nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin.
Yechish. Ma`lumki qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo`lganda uzoqlashuvchi.
Shuning uchun, agar ya`ni bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e^-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.
Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e^-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e^-1,e) entervaldan ibotar.
3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari
Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi.
Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {S<sub>n</sub>(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {S<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi.
Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz.
Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir f<sub>n</sub>(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi.
Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari:
1<sup>0</sup>. Agar (1) funksional qatorning har bir f<sub>n</sub>(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.
2⁰. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni
(6) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa (7) gat eng bo`ladi
3⁰. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S<sup>1</sup>(x) hosilaga ega va S<sup>1</sup>(x)= (8) bo`ladi.
Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar.
Darajali qatorlar.
Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Ta`rif. Quyidagi a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… (1) yoki a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… (2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda a<sub>K</sub>(K=0,1,2,…) o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.
Teorema (Abel teoramasi).
1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x₀ qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
2) Agar (2) qator x₁ qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi
Teorema. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinatalar boshida bo`lgan intervaldan iboratdir.
Ta`rif. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb – Rdan R gacha bo`lgan shunday intervalda aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday x nuqtada qator yaqinlashadi, shu bilan absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi x nuqtalarda esa qator uzoqlashadi (2-chizma). R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi.

2-chizma.

Ba`zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba`zilarida esa 0x o`qni butunlay o`z ichiga olishini (R= ) aytib o`tamiz.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko`rsatamiz.

1. 
   darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni qaraymiz: (3)
   
2. 
   musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan foydalanamiz. Faraz qilamiz
   

limit mavjud bo`lsin. U holda Damalber alomatiga asosan, agar , ya`ni bo`lsin, (3) qator yaqinlashuvchi va agar , ya`ni bo`lsin, uzoqlashuvchi bo`ladi.
Demak, (2) qator bo`lganda absolyut yaqinlashadi.
Agar bo`lsa, bo`ladi va (3) qator uzoqlashadi.
Yuqoridagiga asosan interval (2) darajali qatorning yaqinlashish intervali ekanligi chiqadi, ya`ni (4)
Yaqinlashish intervalini aniqlash uchun shunga o`xshash Koshining radikal alomatidan foydalanish mumkin, u vaqtda (5)
Misol. darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Yechish. (4) formuladan foydalanamiz, bunda ; . U holda , bunda yaqinlashish intervali -2X=1 da garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Shunday qilib, xє(-3;1) da qarot absolyut yaqinlashuvchi, x=-3 da qator shartli yaqinlashuvchi bo`ladi.