Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Differensiallash qoidalari. Har qanday funksiya hosilasini yuqoridagi algoritm bo‘yicha hisoblash oson emas va ancha murakkab hisoblashlarni talab etadi. Shu sababli amalda y=f(x) funksiya hosilasini hisoblash quyidagi differensiallash qoidalari yordamida osonroq amalga oshirilishi mumkin.

1-qoida: O‘zgarmas funksiya, ya’ni ixtiyoriy C o‘zgarmas sonning hosilasi nolga teng , ya’ni
(C)=0 (C–const). (4)
Isbot: Har qanday o‘zgarmas f(x)=C funksiya uchun argumentning ixtiyoriy x≠0 orttirmasida
f= f(x+x)–f(x)=C–C=0, f /x=0
tenglik o‘rinli ekanligidan va hosila ta’rifidan

ekanligi kelib chiqadi.
Masalan, (3,2)′=0, (–7)′=0, (sin25⁰)′=0, (π)′=0 va hokazo.
2-qoida: Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtada y=u(x)v(x)=uv funksiya ham differensiallanuvchi va uning hosilasini
(u  v)′= u′  v′ (5)
formula bilan hisoblash mumkin.
Isbot: Funksiya orttirmasi ta’rifidan foydalanib, har qanday x argument orttirmasida (uv)=uv ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bu yerdan hosila ta’rifi va limit hisoblash qoidasiga asosan kerakli tenglikni olamiz:
.
Demak, ikkita differensiallanuvchi funksiyalarning algebraik yig‘indisi differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, algebraik yig‘indining hosilasi hosilalarning algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Masalan,
(x²+sinx)′= (x²)′+ (sinx)′=2x+cosx, (5–cosx)′= (5)′ – (cosx)′=0–(–sinx)=sinx .
1-natija: Differensiallanuvchi y=f(x) funksiyaga ixtiyoriy C o‘zgarmas sonni qo‘shsak, uning hosilasi o‘zgarmaydi.
Haqiqatan ham (f(x)+C)′ =f ′(x)+C  = f (x)+0= f (x).
Izoh: Yuqoridagi 2- qoidada keltirilgan tasdiqning teskarisi umuman olganda o‘rinli emas. Masalan, u=|x| va v=1–|x| funksiyalar yig‘indisi u+v=1 o‘zgarmas funksiya sifatida barcha x nuqtalarda, jumladan x=0 nuqtada differensiallanuvchi. Ammo u va v qo‘shiluvchi funksiyalar x=0 nuqtada differensiallanuvchi emas.