Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

§2. FUNKSIYANI DIFFERENSIALLASH QOIDALARI.
HOSILALAR JADVALI

• 
  Hosilani hisoblash algoritmi.
  
• 
  Differensiallash qoidalari.
  
• 
  Logarifmik differensiallash usuli.
  
• 
  Hosilalar jadvali.
  

1. 
   Hosilani hisoblash algoritmi. Berilgan y=f(x) funksiyaning f′(x) hosilasini topish, ya’ni uni differensiallash, oldingi paragrafda keltirilgan ta’rifga asosan quyidagi algoritm bo‘yicha amalga oshiriladi:
   

• 
  funksiyaning x argumentiga x0 orttirma berib, x+x nuqtani topamiz;
  
• 
  funksiya orttirmasini f= f(x+x)–f(x) formula bo‘yicha hisoblaymiz;
  
• 
  f /x orttirmalar nisbatni topamiz;
  
• 
  f /x nisbatning x0 bo‘lgandagi limitini aniqlaymiz.
  

Misol sifatida asosiy elementar funksiyalardan biri bo‘lgan f(x)=sinx hosilasini yuqorida keltirilgan algoritm bo‘yicha topamiz:

• 
  x va x+x nuqtalarda funksiyaning f(x)=sinx va f(x+x)=sin(x+x) qiymatlarini hisoblaymiz;
  
• 
  trigonometrik ayirmani ko‘paytmaga keltirish formulasidan foydalanib, f funksiya orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
  

f= f(x+x)–f(x)=sin(x+x)–sinx= 2sin(x/2)∙cos(x+x/2);

• 
  f/x orttirmalar nisbatni tuzamiz:
  

;

• 
  Ko‘paytmaning limiti, I ajoyib limit hamda y=cosx funksiya uzluksizligidan foydalanib, f/x nisbatning x0 bo‘lgandagi limitini hisoblaymiz:
  

Demak,
(sinx)=cosx (1)
formula o‘rinli ekan. Xuddi shunday tarzda
(cosx)=–sinx (2)
ekanligini aniqlaymiz.
Yana bir misol sifatida f(x)=a^x ko‘rsatkichli funksiya hosilasini topamiz:
(3)
Bu yerda ajoyib limitlardan biri (VI bob, §3) bo‘lgan

limit qiymatidan foydalanildi. Jumladan, a=e holda (e^x)′ = e^x lne=e^x natijaga ega bo‘lamiz.

2.