Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

3. darajali-ko‘rsatgichli funksiya hosilasini toping.


§3. DIFFERENSIALLANUVCHI FUNKSIYALAR HAQIDAGI
ASOSIY TEOREMALAR.

• 
  Roll teoremasi.
  
• 
  Lagranj teoremasi.
  
• 
  Koshi teoremasi.
  

1. 
   Roll teoremasi. Biz bu paragrafda kelgusida qaraladigan differensial hisobning amaliy tatbiqlarini asoslash uchun zarur bo‘ladigan teoremalarni keltiramiz. Dastlab farang matematigi M.Roll (1652-1719) tomonidan oldin ko‘phadlar, so‘ngra esa kengroq funksiyalar sinfi uchun isbotlangan ushbu teoremani qaraymiz.
   

1-TEOREMA (Roll teoremasi): Berilgan y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo‘lib, chegaralarida teng qiymatlar qabul etsin, ya’ni f(a)=f(b) bo‘lsin. Bu holda shu kesma ichida kamida bitta shunday “c” nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga teng, ya’ni f ′(c)=0 bo‘ladi.
Isbot: Bizga ma’lumki (VII bob, §4, Veyershtrass teoremasi), kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiya shu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlariga erishadi.
Agar m=M bo‘lsa, u holda albatta f(x)=C (C-const) va f ′(x)=0 bo‘ladi, ya’ni teoremadagi tasdiq [a,b] kesmaning har bir nuqtasida bajariladi.
Endi m holni qaraymiz. Kesma chegaralarida funksiya qiymatlari o‘zaro teng bo‘lgani uchun, funksiyaning eng katta M va eng kichik m qiymatlaridan kamida bittasi [a,b] kesmaning ichki nuqtasida erishiladi.
Agar biror a<c<b nuqtada f(c) =M bo‘lsa, u holda, eng katta qiymat ta’rifiga asosan, ixtiyoriy x argument orttirmasi uchun f(c)=f(c+x)–f(c) < 0 bo‘ladi. Bu yerdan
,

ekanligi kelib chiqadi. Teorema shartiga asosan, qaralayotgan x=c nuqta [a,b] kesmaning ichki nuqtasi bo‘lgani uchun, f ′(c) hosila mavjuddir. Unda yuqoridagi tengsizliklardan , hosila ta’rifi va limit xossalariga asosan, quyidagi natijalarga kelamiz:
.
Ammo f′(c)0 va f ′(c)0 tengsizliklar faqat f ′(c)=0 bo‘lgan holda birgalikda bo‘ladi.
Xuddi shunday ravishda, agar biror a<c<b ichki nuqtada f(c)=m bo‘lsa, unda f ′(c)=0 bo‘lishi ko‘rsatiladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Shunday qilib, differensiallanuvchi funksiyaning teng qiymatlari orasida funksiyaning hosilasi hech bo‘lmaganda bitta nuqtada nolga teng bo‘lar ekan.
Roll teoremasi quyidagi geometrik talqinga ega: (a,b) oraliqda differensiallanuvchi (ya’ni oraliqning har bir nuqtasida urinmaga ega) funksiya bu oraliq chegaralarida bir xil qiymatlar qabul etsa, u holda urinmalar orasida kamida bittasi OX o‘qiga parallel va uning burchak koeffitsiyenti k=f′(c)=0 bo‘ladi. (55-rasmga qarang).

Masalan, f(x)=(x–1)∙(x–3)= x²–4 x+3 funksiya [1,3] kesmada Roll teoremasini barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu funksiya hosilasi f′(x)=2x–4 bo‘lib, haqiqatan ham u [1,3] kesmaning ichki c=2 nuqtasida nolga aylanadi.

2.