Funksiya hosilasining ta’rifi

4. Cheksiz hosilalar. Ba’zi nuqtalarda limiti + (-) ga teng bo‘lishi mumkin. Bunday hollarda shu nuqtalarda funksiya cheksiz hosilaga ega yoki funksiyaning hosilasi cheksizga teng deyiladi.
Ushbu funksiya uchun y/x nisbatning x0 dagi limitini qaraylik. Funksiyaning 0 nuqtadagi orttirmasini hisoblaymiz: y=f(0)=f(0+x)-f(0)=f(0+x)=f(x)= .
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati = va bu nisbatning x0 dagi limiti + ga teng.
Demak, funksiya x=0 nuqtada cheksiz hosilaga ega ekan.
Cheksiz hosila uchun ham bir tomonli cheksiz hosila tushunchasini ham qarash mumkin.
Agar y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada + (-) hosilaga ega bo‘lsa, u holda
= =+ (-)
munosabatning o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin. Bu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Berilgan x₀ nuqtada f’(x₀-0)=-, f’(x₀+0)=+, (f’(x₀-0)=+, f’(x₀+0)=-) bo‘lishi ham mumkin. Bunday holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada hosilaga (xatto cheksiz hosilaga ham) ega emas deb hisoblanadi.
Misol tariqasida y= funksiyaning x=0 nuqtadagi bir tomonli hosilalarini aniqlaylik. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi y(0)= ga teng va = ekanligini ko‘rish qiyin emas. Shu sababli =+ va =- bo‘ladi. Demak, y’(-0)=-, f’(+0)=+ bo‘lib, funksiya x=0 nuqtada cheksiz hosilaga ega emas.
1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi.
Faraz qilaylik, biror (a,b) da hosilaga ega f(x) funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki, f’(x) hosila (a,b) da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar f’(x) funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va y’’, f’’(x), simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha y’’(x)=(y’)’ ekan.

Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi va y’’’, f’’’(x), kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha y’’’=(y’’)’.

Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman f(x) funksiyaning (n-1)-tartibli f^(n-1)(x) hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x), simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’ rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.
Misol. y=x⁴ funksiya berilgan. y’’’(2) ni hisoblang.
Yechish. y’=4x³, y’’=12x², y’’’=24x, demak y’’’(2)=242=48.
Yuqorida aytilganlardan, funksiyaning yuqori tartibli, masalan, n- tartibli hosilalarini topish uchun uning barcha oldingi tartibli hosilalarini hisoblash zarurligi kelib chiqadi. Ammo ayrim funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari uchun umumiy qonuniyatni topish va undan foydalanib formula keltirib chiqarish mumkin.
Misol tariqasida ba’zi bir elementar funksiyalarning n-tartibli hosilalarini topamiz.
1) y=x^ (x>0, R) funksiya uchun y⁽ⁿ⁾ ni topamiz. Buning uchun uning hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz: y’= x^-1, y’’=(-1) x^-2, . . .
Bundan


(x^)⁽ⁿ⁾=(-1)(-2)...(-n+1)x^-n (1)
deb induktiv faraz qilish mumkinligi kelib chiqadi. Bu formulaning n=1 uchun o‘rinliligi yuqorida ko‘rsatilgan. Endi (1) formula n=k da o‘rinli, ya’ni y^(k)=(-1)...(-k+1)x^-k bo‘lsin deb, uning n=k+1 da o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Ta’rifga ko‘ra y^(k+1)= (y^(k))’. Shuning uchun
y^(k+1)=(y^(k))=((-1)...(-k+1)x^-k)’=(-1)...(-k+1)(-k)x^-k-1
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa (8.1) formulaning n=k+1 da ham o‘rinli bo‘lishini bildiradi. Demak, matematik induksiya usuliga ko‘ra (8.1) formula nN uchun o‘rinli.
(8.1) da =-1 bo‘lsin. U holda funksiyaning n-tartibli hosilasi
(2)
formula bilan topiladi.
2) y=lnx (x>0) funksiyaning n-tartibli hosilasini topamiz. Bu funksiyainng birinchi hosilasi bo‘lishidan hamda (8.2) formuladan foydalansak,
(3)
formula kelib chiqadi.
3) y=sinx bo‘lsin. Ma’lumki, bu funksiya uchun y’=cosx. Biz uni quyidagi

ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra y=sinx funksiyaning keyingi tartibli hosilalarini hisoblaymiz.

Bu ifodalardan esa y=sinx funksiyainng n-tartibli hosilasi uchun
(4)
formula kelib chiqadi. Uning to‘g‘riligi yana matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi.
Xuddi shunga o‘xshash
(5)
ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Masalan,
.