Funksiya monotonligi. Funksiya botiqligi va qavariqligi Burilish nuqta. Asimptotalar

1-§. Funksiyani hosila yordamida to`la tekshirish

1. 
   Funksiya monotonligi.
   
2. 
   Funksiya botiqligi va qavariqligi
   
3. 
   Burilish nuqta. Asimptotalar.
   
4. 
   Funksiyani to`la tekshirish va grafigini chizish
   

1. 
   Funksiya monotonligi.
   

1-teorema. funktsiiya oraliqda differensiallanuvchi bo`lsa, u shu oraliqda o`suvchi ( kamayuvchi ) bo`lishi uchun
(1)
(2)
tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli.
Isbot. Isbotni o`suvchi funksiya uchun keltiramiz. Zarurligi. oraliqda ixtiyoriy c nuqta olamiz. Unda nuqtalar uchun nuqtalar uchun esa tengsizliklar o`rinli bo`ladi. Demak; va bo`lsa,
(3)
bo`ladi. Bu erda bo`lganligi uchun
(4)
tengsizlik o`rinli va undan da limitga o`tsak hosil bo`ladi.
Yetarliligi. (1) tengsizlik bajarilsin va bo`lsin. Unda oraliq uchun Lagranj teoremasiga ko`ra, shunday topiladiki
(5)
bo`ladi. Teoremaning (1) sharti va tengsizlikka ko`ra

kelib chiqadi. Bu tengsizlik esa funksiyaning oraliqda o`suvchi bo`lishini ko`rsatadi.
funksiya kamayuvchi bo`lgan holni isbotlashni o`quvchilarga tavsiya etamiz.
Masalan. funksiya uchun bo`lib, da bo`lgani uchun bu oraliqda funksiya kamayuvchi, oraliqda esa bo`lgani uchun bu oraliqda funksiya usuvchi bo`ladi.

5. 
   Funksiya ekstremumlari.
   

a) Ekstremumning zaruriy sharti.
Ferma teoremasiga ko`ra oraliqda differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstremumga erishsa
(6)
bo`ladi. (6) ekstremumning zaruriy sharti deb aytiladi. Demak, funksiya hosilasi nol bo`ladigan yoki funksiya uzluksiz bo`lib, hosilasi mavjud bo`lmagan nuqtalarda ekstremum bo`lishi mumkin.
(6) tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalar funksiyaning statsionar va uzluksiz lekin hosilasi mavjud bo`lmagan nuqtalari uning kritik nuqtalari deyiladi.
Maslan: funksiya uchun statsionar (kritik) nuqta ( ko`rsating) bo`ladi. funksiya uchun nuqta kritik nuqta bo`ladi (nega?).
b) Ekstremumning birinchi etarli sharti.
2-teorema. funksiya nuqtaning biror atrofida differensial-lanuvchi
(c nuqtada differensiallanuvchi bo`lmasligi ҳам mumkin ) va nuqtada uzluksiz bo`lsin. Unda nuqtadan chapdan o`ngga o`tishda ishorasini manfiydan musbatga (musbatdan manfiyga) o`zgartirsa, nuqta funksiyaning minimum (maksimum) nuqtasi bo`ladi.
Isbot. nuqtada chapdan o`ngga o`tishda ishorasini manfiydan musbatga o`zgartitirsin. Unda shunday soni topiladiki
(7)
(8)
bo`ladi. Ixtiyoriy uchun kesmada Lagranj teoremasidan
(9)
bo`ladi. Bu erda , bo`lgani uchun (9) dan

kelib chiqadi. Xuddi shunday ixtiyoriy uchun tengsizlik ham shunday ko`rsatiladi. Demak, . nuqtada maksimumga erishishni isbotlashni o`quvchiga tavsiya etamiz.
Masalan. 1) nuqtada va chapdan o`nga o`tishda ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. Shuning uchun .
2) funksiya nuqtada uzluksiz, lekin mavjud emas.

bo`lgani uchun
c) Ekstremumning ikkinchi etarli sharti.
3-teorema. nuqta funksiyaning stantsionar nuqtasi, ya`ni bo`lsin. Agar mavjud bo`lib, bo`lsa, ; bo`lsa, bo`ladi.
Teoremani Teylor formulasidan foydalanib isbotlashni o`quvchiga tavsiya etamiz.
Masalan. funksiya uchun bo`lgani uchun bo`ladi.