Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga

TEYLOR QATORI
f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(x)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (1)
(1) qatorning koeffisiyentlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub> (2)
dan iborat bo`ladi.
f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(x₀)=a₁ (4)
ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:
(5)
x = x<sub>0</sub> bo`lganda
. (6)
Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:


(7)
(2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:
, , ,…, ,… (8)
a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.
Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:
(9)
f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:

R_n (x) – qoldiq had.
Bunda, .


2. MAKLOREN QATORI

Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

(1)
Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:
, , , , ,...
Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:
(2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.
Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.