Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga


-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x0=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing. Yechish



Yüklə 0,81 Mb.
səhifə8/8
tarix28.11.2023
ölçüsü0,81 Mb.
#167446
1   2   3   4   5   6   7   8
Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga

2-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x0=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
lnx= , 0<  <1
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.
8. Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash. Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas son mavjud bo‘lsinki, argument x ning x0=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f(n)(x)|M tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|Rn(x)|=|  |M
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument ning tayin qiymatida  =0 tenglik o‘rinli, demak ning yetarlicha katta qiymatlarida Rn(x) yetarlicha kichik bo‘lar ekan.
Shunday qilib, x0=0 nuqta atrofida f(x) funksiyani
f(0)+ f’(0)x+  f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn
ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun
f(x) f(0)+ f’(0)x+  f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik |Rn(x)| ga teng bo‘ladi.
3-misol. e0,1 ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. ex funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (1) formulada x=0,1 deb olsak, u holda
,
masala shartiga ko‘ra xatolik 0,001 dan katta bo‘lmasligi kerak, demak
Rn(x)= <0,001 tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi n ni topish yetarli. e0,1 <2 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin:
.
Endi n=1, 2, 3, ... qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu tengsizlik n=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
.
Xususiy holda, n=1 bo‘lganda
f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0) taqribiy hisoblash formulasi R2(x)= (x-x0)2, x0< aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.
Yüklə 0,81 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin