Funksiyaning hosilasi. Ta'rif

11-Ma’ruza.Funksiya hosilasi.

1. 
   Funksiyaning hosilasi.
   

Ta'rif. Agar y= f (x) funksiyaning x=x_o nuqtadagi orttirmasi y ning argument orttirmasi x ga nisbatining x nolga intilganda chekli limiti mavjud bo’lsa, bu limit f (x) funksiyaning x _o nuqtadagi hosilasi deb ataladi va y' yoki y'(x₀) yoki f '(x_o) yoki yoki ko’rinishlarda belgilanadi.¹
Demak ta'rifga ko’ra f '(x_o)=
Misollar.
1. y=f(x)=s=const bo’lsin. y=f(x+ x)-f(x)=c-c=0 y'=
2. y=f (_X)=x bo’lsin l; y'= = 1
3. y=x² funksiyaning x=3 nuqtadagi hosilasini toping;
y_o=9; y_o+ y=(3+ x)²=9+6 x+( x)²
y’=
4. y=f(x)= ,(x>0)
y’=
2.Hosilaning geometrik ma'nosi.
Biror (a,b) oraliqda aniqlangan y=f (x) funksiyaning grafigi egri chiziqdan iborat bo’lsin. L da M_o(x_o,y_o) va

1

M₁(x _o+ X₁,y_o+ y) nuqtalar olib, ularni birlashtiruvchi M₀M_1- kesuvchini ko’raylik. Agar M₁ nuqtani M₀ nuqtaga cheksiz yaqinlashtirsak M ₀M₁ kesuvchining limit holati bo’lgan M₀T to’g’ri chiziqqa L egri chiziqning M₀ nuqtasiga o’tkazilgan urinma deyiladi. Yuqoridagi chizmadan ko’rinadiki Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan urinma α burchak, M ₀M kesuvchi esa β burchak tashkil qiladi. tgα= ekanligi ma'lum. x da M₁ M₀ intilib β α.
Bundan tgα= f’(x) f’(x)=tgα.
Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning x=x_o nuqtadagi hosilasining qiymati funksiya grafigidagi shu M_o(x_o,y_o) nuqtaga o’tkazilgan urinmaning Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak tangensiga teng bo’lar ekan. Boshqacha aytganda urinmaning burchak koeffisiyentiga teng bo’lar ekan: k=tgα =f '(x _o)²
Agar M_o(x_o, y_o) ya'ni M_o(x_o; f(x_o) nuqtaga o’tkazilgan urinma tenglamasini y=kx+b ko’rinishda olsak, urinma shu M₀(x₀, f(x _o)) nuqtadan o’tgani uchun
f(x₀)=kx₀+b b=f(x₀)-kx₀.
Bu holda y= kx+b y=kx+f(x_o)-kx₀ y=f(x_o)+k(x-x_o) y=f(x_o)+f(x_o)(x-x_o) urinma tenglamasi.