Funksiyanın törəməsi. Törəmənin mexaniki və həndəsi mənası

Mürəkkəb və tərs funksiyaların törəmələri
Əvvəlcə mürəkkəb funksiyanın törəməsi haqqında teoremi isbat edək.
Teorem 1. Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində, funksiyasının isə uyğun nöqtəsində sonlu törəməsi var. Onda mü­rəkkəb funksiyasının da nöqtəsində sonlu törəməsi var və
(14)

düsturu ilə hesablanır.
İsbatı. və funksiyalarının öz arqumentinə nəzərən törə­mələri olduğundan limitlə sonsuz kiçilərlər arasındakı əlaqəyə əsasən
(15)

və

(16)

düsturlarını yaza bilərik. Burada və sonsuz kiçilənlərdir,  ,  .

(16) ifadəsini (15)-də nəzərə alsaq, ol­duğunu alarıq. Bu bərabərliyin hər tərəfini -ə bölüb sadələşdirsək, olduğunu alarıq. Sonsuz kiçilənlərin xassəsinə əsasən sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində yerləşən mötərizə içərisində yerləşən ifadə -da sıfıra yaxınlaşar. Odur ki, bu bərabərlikdə şərtilə limitə keçsək,

və ya

olduğunu alarıq. Teorem 1 isbat olundu.

İndi isə tərs funksiyanın törəməsi haqqında teoremi isbat edək.