Fure almashtirishi. Fure tezkor almashtirishi

Veyvlet almashtirishi

Geyzenberg noma’lumlik (noaniqlik) fizik prinsipiga asosan, bir vaqtning o‘zida zarrachaning holati va uning impulsi ni aniq bilish mumkin emas. Amalda
(9.26)

bunda – Plank doimiysi. Eynshteynning tenglamasi asosida bu prinsipni signallarga ishlov berish sohasida ham qo‘llash mumkin. Bunda Geyzenberg prinsipi quyidagicha ta’riflanadi: bir vaqtning o‘zida har qanday aniqlik bilan vaqt va chastotani aniqlash mumkin emas, ya’ni

(9.27)
bunda va chastota va vaqt bo‘yicha farqlanishni ifodalaydi. Agar chastota qiymati yuqori aniqlik bilan farqlansa (aniqlansa), u holda chastota nisbatan kam aniqlik bilan baholanadi va aksincha.
Natijada bir vaqtning o‘zida signal tashkil etuvchilari chastotasini va uning paydo bo‘lish vaqtini yoki signal turli chastotali tashkil etuvchilarini vaqt bo‘yicha ajratish talab darajasidagi yuqori aniqlik bilan o‘lchash yetarli darajada murakkab bo‘lishi mumkin. Bu holat agar signal yuqori chastotali tashkil etuvchilardan iborat bo‘lsa va ular vaqt sohasida uzoq davomiyli tashkil etuvchilarga juda ham yaqin joylashgan bo‘lsa va ular ham o‘z vaqtida chastota sohasida yaqin joylashgan bo‘lsa, hamda turli onlar (vaqtlar)da hosil bo‘lsa yuz berishi mumkin.
Bunday signallar davriy bo‘lmaydi. Bu chastota-vaqt tahlili umumiy muammosini yechish uchun Veyvlet almashtirishdan foydalaniladi (wavelet transform), u nostasionar signallarni tahlil etish vositasi hisoblanadi. Veyvlet almashtirishdan signallarni filtrlashda, shovqinlarni yo‘qotishda, sinulyarlik joyini topish va ularning taqsimlanishini aniqlash kabi masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Fure almashtirishida signal qiymati darajasi ko‘rsatkichida mavhum bo‘lgan hissa (vesovoy) koeffitsienti bo‘lsa va argument garmonik shaklda bo‘lib chastotaga bog‘liq bo‘lsa, ya’ni sinusoidal tashkil etuvchi bo‘lsa, Veyvlet almashtirishda xususiy hissa koeffitsientlari qiymati sifatida Veyvlet funksiyalardan foydalaniladi.
Hamma Veyvlet funksiyalar asosiy (bazaviy) Veyvlet funksiyasidan olinadi. Ba’zi hissalar bo‘lishini ta’minlash uchun bir qator asosiy (bazaviy) funksiyalardan foydalaniladi. Talab etiladigan xossalarga ega bo‘lish uchun Veyvlet funksiya tebranishlar shaklida bo‘lib, doimiy tashkil etuvchisi bo‘lmasligi kerak, spektri ma’lum bir kichik polosada joylashgan bo‘lishi, kichik vaqt ichida nolga teng qiymatgacha kichiklashishi va aksincha, kichik vaqt oralig‘ida o‘zining eng katta qiymatiga ega bo‘lishi kerak. Bu xususiyat Veyvlet almashtirish bir qiymatli bo‘lishiga kafolat beradi. Asosiy funksiyani ko‘rinishida yozish mumkin. Misol uchun, Morlet yoki Gauss modifikatsiyalangan asosiy funksiyasi (Morle veyvleti) quyidagicha ifodalanadi


(9.28)

Uning Fure ko‘rinishi

(9.29)

Bu ikki signal 6.8-rasmda keltirilgan bo‘lib, bundan ko‘rinadiki funksiya yuqorida keltirilgan talablarga javob beradi, ya’ni tebranuvchan va nolgacha kichiklashadi.

9.8-rasm.Modifikatsiyalashtirilgan Gauss yoki Morlet, ona (asosiy) veyvlet funksiyasi va uning Fure ko‘rinishi

Qolgan (qiz, ikkilamchi) funksiyalar birlamchi asosiy funksiyalar masshtabini o‘zgartirish natijasida olinadi, bular funksiyalar oilasini tashkil etadilar. Har bir ikkilamchi (qiz) funksiyani quyidagicha ifodalash mumkin

bunda – masshtabni o‘zgartirish o‘zgaruvchan koeffitsienti, – olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti. Agar ning masshtabi kattalashsa funksiyaning amplitudasi va argumenti kichiklashadi. Amplituda berilgan qiymatida argumentning kichiklashishi chastotaning kichiklashishini anglatadi.
Masshtabni o‘zgartirish koeffitsienti va olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti yordamida katta va kichik (turli) amplitudali, yuqori va past (turli) chastotali funksiyalarni yaratish mumkin va ularni vaqtning turli onlariga joylashtirish mumkin.
Shunday qilib turli vaqt oralig‘iga joylashgan turli chastotali tashkil etuvchilarga ega nostasionar signallarni turli veyvlet funksiyalar yig‘indisi orqali ifodalash mumkin. Veyvlet funksiyasidan shu maqsadlarda foydalaniladi.
Uzluksiz veyvlet almashtirishni (UVA) ( ) quyidagicha ifodalash mumkin
UVA (9.30)

Bu tenglama paramterlarini diskretlash natijasida diskret parametrli veyvlet almashtirishi (DPVA) ( ) ni olish mumkin, u quyidagicha aniqlanadi

DPVA (9.31)

bunda quyidagi almashtirishlar amalga oshirilgan: . Bu almashtirishlarda va lar va lar uchun diskretizatsiyalash oralig‘i; va lar esa butun sonlar.

Ko‘p hollarda , ga teng deb olinadi. Yuqoridagilarni e’tiborga olinsa

DPVA