G I p e r b o L a V a p a r a b o L a

Giperbolalik funksiyalarining hosilalari. Hosila jadvali. Murakkab funksiyaning hosilasi.

R e j a:
1. Giperbola va uning tenglamasi.

2. Giperbolaning shakli.
3. Hosila jadvali
4.Murakkas funksiyaning hosilasi
1 – §. GIPERBOLA VA UNING TENGLAMASI.


T a’ r i f. Giperbola deb, tekislikning barcha shunday nuqtalari to’plamiga aytiladiki, bu nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslri deb ataluvchi berilgan ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ayirmalarining absolyut qiymatlari o’zgarmas bo’ladi (bu kattalik nolga teng bo’lmagan va fokuslari orasidagi masofalardan kichik bo’lgan shartda).
F₁ va F₂ fokuslar orasidgi masofani 2c orqali, giperbolaning har bir nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar ayirmasining moduliga teng bo’lgan o’zgarmas miqdorni 2a orqali (0<2a<2c) belgilaymiz. Ellips holida bo’lgani kabi absissalar o’qini fokuslar orqali o’tkazamiz, F₁ F₂ kesmaning o’rtasini esa koordinatalar boshi deb qabul qilamz. (6 – chizma)

6 – c h i z m a.

Bunda fokuslar F₁ (-0 ; 0) va F₂ (0 ; 0) koordinatalarga ega bo’ladi.

Fokuslari Ox o’qida yotgan giperbola (6-chizma) tenglamasini, uning ta’rifiga asoslanib keltirib chiqaramiz. Ikki nuqt orasidagi masofa formulasiga ko’ra:

(1.1)

y F2 (0 ; c) A2 (0 ; a) r2 0 B1 (-b ; 0) A1 (0 ; -a) F1 (0 ; -c) r1 7 – c h i z m a.

M (x ; y) d1 d2 B2 (b ; 0) x

/
Soddalashtirishlarni bajargandan so’ng, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:


(1.2)

(1.2) tenglamada giperbola uchun 2a < 2c bo’lgandan ayirma noldan kichik:

. Shuning uchun (1.3) deb olamiz. U hold (1.2) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: (1.4).

(1.4) tenglamaga fokuslari Ox o’qida yotgan giperbolaning kanonik (sodda) tenglamasi deyiladi.

Giperbola tenglamasida deyilsa, bo’lib, giperbola Ox o’qini va nuqtalarda kesishini bildiradi. (1.4) tenglamada x=0 deyilsa bo’lib, bu esa giperbola Oy o’qi bilan kesishmasligini bildiradi.

Lekin, mavhum bo’lgani uchin,fokal o’qqa perpendikulyar bo’lgan simmitiriya o’qi giperbolaning mavhum o’qi(B₁B₂ kesma), giperbolaning fokuslari joylashgan o’q fokal o’q (F₁F₂ kesma) va fokal o’qni odatta haqiqiy o’q (A₁A₂ kesma) deyilib, A₁ va A₂ nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi.

a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o’qlari deb ataladi.

Agar giperbolaning fokuslari Oy o’qda yotsa (7-chizma), u holda uning tenglamasi (1.5). Bu giperbola (1.4) giperbolaga nisbatan qo’shma deyiladi.

1 – m i s o l. Agar giperbolaning haqiqiy o’qi 18 ga, mavhum o’qi esa 8ga teng bo’lsa, fokuslari Ox o’qda yotgan giperbolaning tenglamasini tuzing.


Y e c h i s h. Giperbolaning tenglamasini tuzish uchun a va b parametrlarni bilish zarur. Masalaning shartidan: ; . Topilgan qiymatlarni (1.4) ga qo’ysak:


2 – m i s o l. Agar giperbolaning uchlari A₁ (-2 ; 0) va A₂ (2 ; 0) nuqtalarda joylashgan, fokuslri esa F₁ (-4 ; 0) va F₂ (4 ; 0) nuqtalarda joylashgan bo’lsa, giperbola tenglamasini tuzing.
Y e c h i s h. Shartdan a=2, c=4 ekani kelib chiqadi. (1.3) formulaga ko’ra . Bu qiymatlarni (1.4) tenglamaga qo’yib, ni hosil qilamiz.


3 – m i s o l. Giperbolaning tenglamasi berilgn . Uning uchlarining va fokuslarining koordinatalarini topig.


Y e c h i s h. Giperbolaning tenglamasidan: .
(1.3) formulaga ko’ra . Demak, giperbolaning uchlari (-8 ; 0) va (8 ; 0) nuqtalar, fokuslari esa (-11;0) va (11;0) nuqtalar ekan.
G I P E R B O L A N I N G S H A K L I.

(1.4) tenglamadan , (2.1) tenglamalarni topamiz.

Bu tenglamalarning birinchisidan ushbu xulosalar chiqadi:


1) uchun ning qiymti mavhum; demak, giperbola o’qi bilan kesishmaydi va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan soha ichida nuqtalari bo’lmaydi.


2) bo’lganda, bo’ladi; demak, giperbola o’qini ikkita va nuqtada kesadi; bu va nuqtalar koordinatalar boshida masofda turadi va giperbolaning uchlari deb ataladi.
3) absolyut qiymti dan katta bo’lgan ning har bir qiymatiga ning ikki qiymati to’g’ri keladi, bu qiymatlar bir – biridan ishoralari bilangina farq qiladi. Demak, giperbola o’qiga nisbatan simmetrik egri chiziqdir;


4) cheksiz o’sganda ham cheksiz o’sadi. Demak, (2.1) tenglamalarning ikkinchisi giperbolaning o’qiga nisbatan simmetrik egri chiziq ekanligini ko’rsatadi.
Giperbolaning hamma nuqtalari to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohadan tashqarida joylashganligidan va ordinatalar o’qiga simmetrikligidan, u cheksiz cho’zilgan ikki ayrim tarmoqdan ibort ekanligi bilinadi. (6-chizma).
1. Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b) da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi).
Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f((x)))’=f’(u)’(x) (1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. u=(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib
u=’(x)x+x (2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu erda x0 da 0.
Shunga o‘xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
y=f’(u)u+u (3)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda u0 da 0.
So‘ngi (3) tenglikdagi u o‘rniga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada
y=f’(u)(’(x)x+x)+(’(x)x+x)= f’(u)’(x)x+(f’(u)+’(x)+)x
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan = f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu erda y=u⁴, u= . Demak, y’=(u⁴)’ ’= =4u³ =8 .
Amalda (1) tenglikni
yoki y_x’=y_u’u_x’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.