Geometityada isbotlashga oid masalalar

GEOMETITYADA ISBOTLASHGA OID MASALALAR
REJA

1. 
   Geometrik o`rinlar metodi va unga doir masalalar
   
2. 
   Geometrik almashtirishlar
   
3. 
   Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabat
   

Geometrik o`rinlar metodi va unga doir masalalar

Agar birorta to`plamning (figuraning) nuqtalari bitta shartni

qanoarlantirsa, bu nuqtalarga geometrik o`rin deyiladi. Bu nuqtalar to`plamini nuqtalarini yasash uslubi geometrik o`rin metodi deb yuritiladi.
Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni
qanoatlantiruvchi nuqtani topishga keltiriladi: birinchi 1 shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F1 figuradan;
ikkinchi 2 shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F2
figuradan iborat bo’lsin. Har ikki 1 va 2 shartni qanoatlantiradigan nuqtalar F1 F2 kesishmaga tegishli bo’ladi.
Yuqoridagi ishartni qanoatlantiruvchi i F figuralar to`g`ri chiziq,
aylana yoki ularning birorta bo`lagidan iborat bo`lishi kerak. P1 P5 shartlarni qanoatlantiruvchi figura nuqtalari yasalgan hisoblanadi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir
nechta nuqtasini topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi. Shu sababli bu metodga kesishmalar metodi deb ham yuritiladi.
Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta maktabda ma’lum
bo’lgan quyidagi asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur.
1. Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan
nuqtalarning geometrik o’rni markazi shu O nuqtadan radiusi r bilan chizilgan aylana bo’ladi.
2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan
naqtalarning geometrik o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.
3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik
o’rni shu kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.
4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda
yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning
bissektrisasidir.
5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi bir
nuqtasidan ikinchisiga tushirilgan perpendikular hosil qilgan
nuqtalarning geometrik o’rni bu to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki
nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu to’g’ri chiziqlarga
parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir. Boshqacha qilib aytganda bu to`g`ri chiziq berilgan to`g`ri chiziqning simmetriya o`qidir.
6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (900) ostida ko’rinadigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan aylanadan iboratdir (bu geometrik o’ringa
A, B nuqtalar kirmaydi).
7. Tekislikning berilgan kesma [AB]berilgan (α ) burchak
ostida ko’rinuvchi nuqtalarning geometric o’rni - berilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng segmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi). Bundan keyingi geometrik o’rinlar asosiy geometrik o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib topiladi. Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol tariqasida qiyidagi masalani ko’raylik

Agar birorta to`plamning (figuraning) nuqtalari bitta shartni

qanoarlantirsa, bu nuqtalarga geometrik o`rin deyiladi. Bu nuqtalar to`plamini nuqtalarini yasash uslubi geometrik o`rin metodi deb yuritiladi.
Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni
qanoatlantiruvchi nuqtani topishga keltiriladi: birinchi 1 shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F1 figuradan;
ikkinchi 2 shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F2
figuradan iborat bo’lsin. Har ikki 1 va 2 shartni qanoatlantiradigan nuqtalar F1 F2 kesishmaga tegishli bo’ladi.
Yuqoridagi ishartni qanoatlantiruvchi i F figuralar to`g`ri chiziq,
aylana yoki ularning birorta bo`lagidan iborat bo`lishi kerak. P1 P5 shartlarni qanoatlantiruvchi figura nuqtalari yasalgan hisoblanadi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir
nechta nuqtasini topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi. Shu sababli bu metodga kesishmalar metodi deb ham yuritiladi. Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta maktabda ma’lum bo’lgan quyidagi asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur.
1. Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan
nuqtalarning geometrik o’rni markazi shu O nuqtadan radiusi r bilan chizilgan aylana bo’ladi.
2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan
naqtalarning geometrik o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.
3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik
o’rni shu kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.
4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda
yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning
bissektrisasidir.
5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi bir
nuqtasidan ikinchisiga tushirilgan perpendikular hosil qilgan
nuqtalarning geometrik o’rni bu to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki
nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu to’g’ri chiziqlarga
parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir. Boshqacha qilib aytganda bu to`g`ri chiziq berilgan to`g`ri chiziqning simmetriya o`qidir.
6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (900) ostida ko’rinadigan
nuqtalarning geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan
aylanadan iboratdir (bu geometrik o’ringa A, B nuqtalar kirmaydi).
7. Tekislikning berilgan kesma [AB] berilgan (α ) burchak
ostida ko’rinuvchi nuqtalarning geometric o’rni - berilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng segmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi). Bundan keyingi geometrik o’rinlar sosiy geometrik o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib topiladi.
Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol
tariqasida qiyidagi masalani ko’raylik.