Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

2.  Uchburchakning nechta burchagi to‘g‘ri bo‘lishi mumkin?
3.  Uchburchakning nechta burchagi o‘tmas bo‘lishi mumkin?
4.  Burchaklari: a) 5°, 55°, 120°;  b) 46°, 150°, 4°;  c)100°, 20, 50° bo‘lgan uchburchak  
mavjudmi?
5.  Agar uchburchakning ikkita burchagi: a) 60° va 40°; b) 70° va 85°; c) 90 va 45°; d) 
105° va 30° bo‘lsa, uning uchinchi burchagini  toping.

116
x
α α
650
430
a)
b)
x
A
E
C
D
B
O
x
250
x
x
2x
a)
b)
8.  Noma’lum burchaklarni toping.
9. a) 
x
=?;  b) 
AD
 va 
BE
 – bissektrisalar, 
∠
BAC
=64°, 
∠
ABC
=96°, 
x
=? 
10. 
a||b, x = ?, y = ?
7.  Noma’lum burchaklarni toping.
a)
b)
c)
770
40°
x
x
620
280
150
1500
x
500
x
y
x : y = 8 : 5
2x
3x
x
x
y
z
x : y : z = 5 : 6 : 7
a)
b)
c)
a
b
200
500
x
y
6.  No‘ma’lum burchakni toping.
11. 
 ∠1=∠2 ekanligini isbotlang.
1
2
12*. Uchburchak burchaklari 
α, β, γ uchun α=(β+γ)/2 bo‘lsa, α ni toping.
13. Teng tomonli uchburchak burchaklarini toping.
14. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchak burchaklarini toping.
15. Agar teng yonli uchburchak burchaklaridan biri a) 50°; b) 60°; c) 105° bo‘lsa, uning 
burchaklarini toping.

117
Uchburchak tashqi burchagining xossasi
48
1
A
B
D
C
1
2
3
4
A
B
E
C
1
2
3
a)
4
b)
Uchbuurchakning ichki burchagiga qo‘shni bo‘lgan 
burchak uchburchakning tashqi burchagi deb 
ataladi. 
1-rasmda 
ABC
 uchburchakning
 B
 burchagiga tashqi 
bo‘lgan 
CBD
  va 
ABE
 burchaklar tasvirlangan.  Ravshanki 
bu burchaklar vertikal bo‘lgani uchun o‘zaro teng bo‘ladi. 
Qolgan 
A
  va 
C
 burchaklarini tashqi burchaklarni chizib 
ko‘rsating.
Uchburchak burchaklarini, uning tashqi burchak-
laridan farqlash uchun ichki burchaklar deb ham ataymiz. 
Teorema.
 Uchburchak tashqi burchagi uchburchakning unga qo‘shni 
bo‘lmagan ikki ichki burchaklari yig‘indisiga teng.
  Δ ABC,  ∠4 # tashqi bur-
chak (1-rasm)
Isbot qilish kerak: 
∠1 + ∠2 = ∠4
2-rasmdagi 
ABC
 uchburchakning hamma ichki va 
tashqi burchaklarini transportirda o‘lchang va quyidagi 
burchaklar (har bir tashqi burchak va unga qo‘shni 
bo‘lmagan ichki burchaklar yig‘indisining) kattaliklarini 
o‘zaro solishtiring:
a) 
∠4 va ∠2 + ∠3
b) 
∠5 va ∠1 + ∠3
c) 
∠6 va ∠1 + ∠2
Solishtirish natijasida qanday xulosaga keldingiz. Uni 
taxminiy tasdiq ko‘rinishida ifodalang.
2
A
B
C
1
4
2
5
3
6
Geometrik tadqiqot.
Isbot.
 1-rasmga murojaat qilamiz. Unda,
qo‘shni burchaklar xossasiga ko‘ra 
∠3 + ∠4 = 180°. 
Uchburchak burchaklari yig‘indisi haqidagi teoremaga ko‘ra 
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Bu ikki tenglikdan,
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠3 + ∠4, ya’ni ∠1 + ∠2 = ∠4 tenglikni hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
 

118
1.  Uchburchakning  tashqi burchagi nima?
2.  Uchburchakning  tashqi burchagi haqidagi teoremani 
izohlang.
3.  Uchburchakning ikki tashqi burchakgi 120° va 135° 
bo‘lsa, ichki burchaklarini toping.
4.  Uchburchakning ichki burchaklaridan biri 30°ga,  
tashqi burchaklaridan  biri 60°ga teng. Uchbur-
chakning qolgan  ichki burchaklarini toping.
5.  3-rasmdagi no‘malum burchakni toping.
6. 4-rasmda 
x + y
 = ?
7. Agar 
5-rasmda 
a
||
b 
bo‘lsa
, x
 = ?
8. Agar 
6-rasmda 
a
||
b 
bo‘lsa
, x
 = ? 
9. Agar 
7-rasmda 
a
||
b 
bo‘lsa
, x
 = ?
10. Agar 8-rasmda 
a
||
b 
bo‘lsa
, x
 = ?
11. Uchburchakning tashqi burchagi o‘tkir bo‘lishi 
mumkinmi? Agar mumkin bo‘lsa, nechtasi?
12.*  Uchburchak tashqi burchaklarining yigindisini hi-
soblang.
Savol, masala va topshiriqlar
a)
x
1050
1500
c)
1400
x
b)
1020
x
2x
Bu teoremadan quyidagi natijaga kelib chiqadi.
Natija.
 Uchburchakning tashqi burchagi, unga 
qo‘shni bo‘lmagan, ichki burchaklarning har biridan 
katta.
Uning to‘g‘riligini mustaqil ravishda tekshiring. 
4
x
y
3
α
α
x
β
β
a
b
5
1400
500
x
a
b
6
7
x
1400
a
b
300
8
a
b
x
250
1450

119
Savol, masala va topshiriqlar
Masalalar yechish
49
1.  Uchburchak ikkita burchagining o‘lchovlari 5:9 kabi, 
uchinchi burchagi  shu burchaklarning kichigidan 10° 
ga kichik. Uchburchakning burchaklarini toping.
2.  Uchburchakning 108° li tashqi burchagiga qo‘shni 
bo‘lmagan ichki burchaklarining nisbati 5:4 kabi. Shu 
ichki burchaklarini toping.
3.  Uchburchakning ikkita tomoni uchinchi tomonga 
perpendikular bo‘lishi mumkinmi?
4.  Uchburchakning otmas tashqi burchaklari: a) 1 ta; b) 
2 ta; c) 3 ta bo‘lishi mumkinmi?
5.  Uchburchakning bir uchidagi ichki va tashqi burchaklari 
teng bo‘lishi mumkinmi?
6.  2-rasmda tasvirlangan beshburchak burchaklari yi-
g‘indisini toping.
7.  Noma’lum burchaklarni toping (3-rasm).
8.  Ikkita burchagi teng bo‘lgan uchburchakni teng yonli 
ekanligini ko‘rsating.
9.  Teng yonli uchburchakning bir burchagi: a) 120°; b) 70° 
ga teng bo‘lsa, uning qolgan burchaklarini toping.
10. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklaridan biri 
a) 15°; b) 75° bo‘lsa, qolgan burchaklari nimaga teng?
2
α
1
α
2
α
3
α
4
α
5
2x
5x
3x
1200
3
1
4
1
2
3
6
5
A
B
C
D
Masala.
 To‘rtburchak burchaklari yig‘indisi 360°ga 
teng ekanligini isbotlang.
Yechilishi:
 Ixtiyoriy 
ABCD
 to‘rtburchak chizamiz. 
A
 va 
C
 nuqtalarni tutashtirib, uni ikkita uchburchakka ajratamiz.
ABC
 va 
ADC 
uchburchaklar ichki burchaklari yig‘indisi 
180°ga teng (1-rasm):
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°,  ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°. 
∠
A
=
∠1+∠4  va  ∠
C
=
∠3+∠6  bo‘lgani uchun
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
+
∠
D =
(
∠1+∠4)+∠2+(∠3+∠6)+∠5= 
= (
∠1+∠2+∠3)+(∠4+∠5+∠6) =180°+180° = 360°.
4
A
B
C
F
E
O
D

120
11. Ikki uchburchakning mos tomonlari parallel bo‘lsa, 
ularga mos kelgan burchaklar teng bo‘lishini 
isbotlang.
12. Agar  4-rasmda  AB =BC, 
∠ABC = 50°, AE va FC — 
bissektrisalar bo‘lsa, AOB   va  EOC burchaklarni 
toping.
13. 5-rasmdagi noma’lum 
x
 burchakni toping.
14. 6-rasmdagi noma’lum 
x
 burchakni toping.
15. Ikkita uchburchakning mos tomonlari perpendikular 
bo‘lsa, ularning mos burchaklari teng bo‘ladimi? 
Javobingizni asoslang.
16. Biror uchburchakni faqat bitta to‘g‘ri chiziq bo‘ylab 
qirqib ikkita o‘tkir burchakli uchburchak hosil qilish 
mumkinmi? Javobingizni asoslang.
5
x
6
A
B
C
E
D
x
50
Eslatib o‘tamiz, to‘g‘ri burchakli uchburchakning bitta burchagi to‘g‘ri (90°) bo‘lib, 
qolgan ikki burchagi esa o‘tkir burchaklardan iborat. To‘g‘ri burchakli uchburchakning 
to‘g‘ri burchagi qarshisidagi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni esa katet deb ataladi. 
Endi to‘g‘ri burchakli uchburchakning ba’zi bir xossalarini ko‘rib chiqaylik.
1-xossa.
 To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikkita o‘tkir burchaklari yig‘indisi  
90° ga teng.
Haqiqatan, uchburchak ichki burchakalri yig‘indisi 180° ga teng. To‘g‘ri burchakli 
uchburchakning bitta burchagi esa 90° ga teng. Shuning uchun, uning qolgan ikki 
burchaklari yig‘indisi 90°ga teng bo‘ladi.
1-masala.
 To‘g‘ri burchakli uchburchakning 30° li burchagi qarshisidagi kateti 
gipotenuzasining yarmiga teng.
Aytaylik, 1-rasmda tasvirlangan 
ABC
 to‘g‘ri burchakli uchburchak berilgan bo‘lib, 
unda 
∠
ACB
= 90° va 
∠
ABC
 = 30° ga teng bo‘lsin. U holda 
∠
BAC
= 60° bo‘ladi.
 
AC = AB
2
 
  ekanligini ko‘rsatamiz.
To‘g‘ri burchakli uchburchakning xossalari

121
2-Masala.
 
ABC
 to‘g‘ri burchakli uchburchakda 
C
 to‘g‘ri burchak va 
AB
=12 va  
CD =DB 
bo‘lsa,
 CD 
ni toping (2-rasm).  
2
A
C
B
D
α
β
β
A
C
D
60°
60°
1
B
30° 30°
Berilgan uchburchakka teng
  BCD
 uchburchakni 
1-rasmda ko‘rsatilgandek qilib yasaymiz. Naijada, hamma 
burchaklari 60° ga teng bo‘lgan 
ABD
 uchburchakka 
ega bo‘lamiz. Demak,
  ABD 
uchburchak teng tomonli. 
Xususan, 
AB 
= 
AD
 bo‘ladi. Lekin, 
AD = AC + CD = 2AC
. 
Shunday qilib, 
AB =
 2
AC
,  ya’ni  
AC = AB
2
. 
Xossa isbotlandi.
 
2-xossa. 
To‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlaridan biri gipotenuza-  
ning yarmiga teng bo‘lsa, u katet 30° li burchak qarshisida yotadi.
Bu xossa 2-xossaga teskari bo‘lib, uni mustaqil isbotlang.
3-xossa. 
To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan 
medianasi gipotenuzaning yarmiga teng.
Yechilishi:
 
CDB
 — teng yonli uchburchak, chunki 
CD=DB
 (2-rasm). Demak, 
∠
B=β 
desak, 
∠
A
+
∠
B
=90° 
bo‘lgani uchun 
∠
A
+
β
=90°. Lekin, 
α
+
β
=90° bo‘lgani 
uchun, 
∠
A
=
α
. Demak, 
ADC
 — teng yonli uchburchak. 
Shuning uchun 
AD
=
CD
=
DB
, ya’ni 
D
 nuqta 
AB
 kes-
maning o‘rtasi. 
Demak, 
CD 
=
 AB
2
 = 6.      
Javob:
 
CD
 = 6
Bu masalani yechish davomida 
AD=DB
 va 
AD = CD
 tengliklarni ham hosil qildik. 
Ular to‘g‘ri burchakli uchburchakning quyidagi xossasini anglatadi. 
1.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari qanday nomlanadi?
2.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklari yig‘indisi nimaga teng?
3.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklaridan birortasi o‘tmas bo‘lishi mum-
kinmi?
4.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning nechta balandligi bor?
5.  30° li burchak  qarshisidagi katet bilan gipotenuza  orasida  qanday bog‘lanish 
bor?
Savol, masala va topshiriqlar
Bu muhim xossaga 8-sinfda yana qaytamiz. 

122
a)
b)
c)
c
a
600
2x
12
x
1,6
x
3,2
2
300
A
C
B
D
A
C
B
D
600
A
C
B
D
6
3
a)
b)
c)
A
C
B
D
E
120
3
6.  Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga tushirilgan balandlik 
gipotenuzaning yarmiga tengligini ko‘rsating.
7. a) 
c
= ? 
 
  b) 
a
= ?  
 
 
c) 
x
=?
8. a) 
AB
=20, 
AD
=?              b) 
AB
=18, 
BD
= ?  
       c) 
BD
= ?
9. 
ABC
 uchburchakning 
BE
 bissektrisasi va 
BD
 balandligi 
o‘tkazilgan (3-rasm). Agar 
BD
 = 12 va 
AB
 = 
AC
 bo‘lsa, 
ABC
 uchburchak burchaklarini toping.
10. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan 
medianasi 8 sm. Agar uchburchakning bir burchagi 60°ga 
teng bo‘lsa, bu burchakka yopishgan tomonlarni toping.
Geometriyada aniqlik va qisqalik
Ma’lumki, aniq matematik jumla yetarlicha to‘la va shu bilan birga qisqa, ortiqcha 
so‘zlarsiz bo‘lishi lozim.
1.  Quyidagi jumlalardagi ortiqcha so‘zlarni aniqlab ko‘ringchi?
a) To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikki o‘tkir burchaklari yig‘indisi 90° ga 
teng.
b) Agar to‘g‘ri burchakli uchburchakda katet gipotenuzaning yarmiga teng bo‘lsa, 
uning qarshisida yotuvchi o‘tkir burchak 30° ga teng bo‘ladi.
2.  Tegishli atamalardan foydalanib, quyidagi jumlalarni ixchamlang. 
 
a) Eng kam tomonli ko‘pburchak; 
 
b) aylana markazidan o‘tuvchi vatar; 
 
c) asosi yon tomoniga teng bo‘lgan teng yonli uchburchak.

123
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning tenglik alomatlari
Mashq.
 
ABC 
va 
A
1
B
1
C
1
 to‘g‘ri burchakli uchburchaklar berilgan bo‘lsin. Bu  
uchburchaklarning bittadan burchagi to‘g‘ri bo‘lgani uchun, bu burchaklar doim o‘zaro 
teng. Shu bois, to‘g‘ri burchalki uchburchaklar uchun uchburchaklarning tenglik alomatlari 
ancha soddalashadi.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklar uchun ikki katet bo‘yicha (KK alomat), katet va o‘tkir 
burchak bo‘yicha (KB alomat), gipotenuza va o‘tkir burchak  bo‘yicha (GB alomat) va 
gipotenuza va katet bo‘yicha (GK alomat) kabi tenglik alomatlarini keltiramiz: 
1
A
C
B
A
1
C
1
B
1
2
A
C
B
A
1
C
1
B
1
3
A
C
B
A
1
C
1
B
1
51
KK alomat.
 Bir to‘g‘ri burchalki 
uchburchakning katetlari ikkinchi to‘g‘ri 
burchakli uchburchakning katetlariga mos 
ravishda teng bo‘lsa, bu uchburchaklar 
o‘zaro teng bo‘ladi (1-rasm).
Bu alomat uchburchaklar tengligining TBT-
alomatidan bevosita kelib chiqadi.
KB alomat.
  Bir to‘g‘ri burchalki 
u c h b u r c h a k n i n g   k a t e t i   v a   u n g a 
yopishgan o‘tkir burchagi, ikkinchi to‘g‘ri 
burchalki uchburchakning kateti va unga 
yopishgan o‘tkir burchagiga teng bo‘lsa, 
bu uchburchaklar o‘zaro teng bo‘ladi 
(2-rasm).
Bu alomat uchburchaklar tengligining BTB-
alomatidan bevosita kelib chiqadi.
GB alomat.
 Bir to‘g‘ri burchalki uch-
burchakning gipotenuzasi va bitta  o‘tkir 
burchagi, ikkinchi to‘g‘ri burchalki uch-
burchakning gipotenuzasi va bitta o‘tkir 
burchagiga teng bo‘lsa, bu uchburchaklar 
o‘zaro teng bo‘ladi (3-rasm).
Bu alomat uchburchaklar tengligining BTB-
alomatidan bevosita kelib chiqadi.
GK alomat.
 Bir to‘g‘ri burchalki uch-
burchakning gipotenuzasi va bitta kateti 
ikkinchi to‘g‘ri burchalki uchburchakning 

124
gipotenuzasi va bitta katetiga teng bo‘lsa, bu 
uchburchaklar o‘zaro teng bo‘ladi (4-rasm).
Bu alomat isbotlanishi kerak. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 
uchburchaklar berilgan (4-rasm) va ularda 
∠
C
= 90°, 
∠
C
1 
= 90°, 
AB
= 
A
1
B
1
, 
BC
=
B
1
C
1 
bo‘lsin. U holda 
Δ
ABC
 = 
Δ
A
1
B
1
C
1
 
ekanligini ko‘rsatamiz. 
Isbot. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarning ikki-
tadan tomonlari o‘zaro teng: 
AB
 = 
A
1
B
1
, 
BC
 =
B
1
C
1
. 
Agar 
ABC 
va 
A
1
B
1
C
1
 
burchaklarining tengligini 
ko‘rsatsak, TBT alomatga ko‘ra uchburchaklar 
o‘zaro teng bo‘ladi.
Buning uchun, 
A
1
B
1
C
1
 uchburchakni 
ABC
 
ushburchak bilan, 
BC
 va 
B
1
C
1
 katetlar ustma-ust 
tushadigan qilib yonma-yon qo‘yamiz (5-rasm). U 
holda, 
∠
C
 va 
∠
C
1 
to‘g‘ri burchak bo‘lganligi uchun 
CA va 
C
1
A
1
 nurlar yoyiq burchakni tashkil qiladi, 
ya’ni 
A, C, C
1
 va 
A
1
 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda 
yotadi. Natijada, 
ABA
1
 teng yonli uchburchak 
bo‘ladi. Lekin, teng yonli uchburchakda asosga 
tushirilgan balandlik bissektrisa ham bo‘ladi 
(66-betdagi teorema xulosasiga ko‘ra). Demak, 
∠
ABC
 = 
∠
A
1
B
1
C
1
. 
GK alomat isbotlandi.
4
5
A
C
B
A
1
C
1
B
1
A
B(B
1
)
A
1
C(C
1
)
Masala.
 6-rasmda berilgan ma’lumotlarga asoslanib 
ABC
 — teng yonli uch-
burchak ekanligini isbotlang. 
Yechilishi:
 
Δ
AED
=
Δ
BFD
, chunki ularning gipotenuzalari va bittadan o‘tkir 
burchaklari teng. 
CED
 va 
CFD
 — to‘g‘ri bur-
chakli uchburchaklar, ED =
FD
 hamda 
CD 
gi-
potenuza umumiy bo‘lgani uchun, to‘g‘ri burchakli 
uchburchaklar tengligining 
GK
 alomatiga ko‘ra 
Δ
CED
=
Δ
CFD
. 
Demak, 
Δ
ADC
=
Δ
BDC
, ya’ni 
AC
=
BC
 va 
 
ABC
 — teng yonli uchburchak. 
6
A
D
B
F
E
C
α
α

125
1.  To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining 
alomatlarini ayting va izohlang.
2.  To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bir kateti 
va bir burchagi mos ravishda teng bo‘lsa, bu 
uchburchaklar teng bo‘ladimi?
3. Agar 
6-rasmda: 
 a) 
∠
A
=
∠
D
, 
∠
B
=
∠
E
; 
 b) 
BC
=
DE
, 
AB
=
CE
; 
 d) 
AC
=
CD
, 
BC
=
CE
; 
 e) 
 
AB
=
DE
  
 bo‘lsa, 
ACB
va 
DCE
 uchburchaklar teng bo‘-
ladimi?