Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

4. Agar 7-rasmda: a) 
OC
=
OB
; b) 
AC
=
BD
; 
d) 
AO
=
OD
; e) 
AC
=
OD
; f) 
∠
OCA
=
∠
OBD
 
bo‘lsa, 
OAC
 va 
ODB
 uchburchaklar teng 
bo‘ladimi? 
5. To‘g‘ri burchakli 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchak-
larda 
A
 va 
A
1
 to‘g‘ri burchaklar, 
BD
 va 
BD
1
 lar 
bissektrisalar va 
∠
B
=
∠
B
1
, 
BD
=
B
1
D
1
 bo‘lsa, 
Δ
ABC
=
Δ
A
1
B
1
C
1
 ekanligini isbotlang. 
6. Agar 
8-rasmda: 
 a) 
AC
=
BD
; 
 b) 
OA
=
OD
; 
 d) 
∠
OCB
=
∠
OBC
; 
 e) 
BC
=
OD
; 
 f) 
∠
ACB
=
∠
DBC
 bo‘lsa, 
 
BAC  
va 
CDB
 uchburchaklar teng bo‘ladimi?
7. 
ABC
 uchburchakda 
BD
 balandlik o‘tkazilgan. 
Agar 
AD
=
DC
 bo‘lsa, 
ABC
 uchburchakning 
teng yonli ekanligini isbotlang.
8. O‘tkir burchakli 
ABC
 uchburchakda 
AA
1
 va 
CC
1
 balandliklar teng. 
∠
BAC
 = 
∠
BCA
 
tenglikni 
isbotlang.
Savol, masala va topshiriqlar
A
C
B
D
E
6
7
A
C
B
D
O
A
C
B
D
O
8

126
Burchak bissektrisasi xossasi
52
Yodingizda bo‘lsa, nuqtadan to‘g‘ri chiziqqcha bo‘lgan masofa deb, nuqtadan to‘g‘ri 
chiziqqa tushurilgan perpendikular uzunligiga aytilgan edi.
Teorema. 
Burchak bissektrisasining ixtiyoriy nuqtasidan burchak 
tomonlarigacha bo‘lgan masofalar o‘zaro teng.
Isbot.
 Aytaylik, 
O
 burchak va uning bissektrisasi 
OC
 berilgan bo‘lsin (1-rasm). 
OC
 bissektrisada 
ixtiyoriy 
D
 nuqta olamiz va berilgan burchak 
tomonlariga 
DA
 va 
DB
 perpendikularlar tushiramiz.
OAD
 va 
OBD
 to‘g‘ri burchakli uchburchak-
larda:
1. 
∠
AOD
=
∠
BOD
 — shartga ko‘ra;
2. 
OD
 — umumiy gipotenuza.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining 
GB a
lomatiga ko‘ra, 
Δ
OAD
=
Δ
OBD
. Xususan, 
DA
=
DB
. 
Teorema isbotlandi.
1
A
B
C
D
O
2
E
F
K
L
20°
70°
O
Masala.
 
EOF 
burchakning 
OL
 bissektrisa-
sida 
K
 nuqta olingan (2-rasm). Agar 
EK
⊥
OE
, 
KF
⊥
OF
, 
∠
OKE
=70° va 
∠
KOF
= 20° bo‘lsa, 
a) 
EOK
 va 
OKF
 burchaklarni; b) 
EOF
 va 
EKF
 
burchaklarni toping.  
Yechilishi:
  a) Yuqorida ko‘rilganidek 
Δ
EOK
 = 
Δ
FOK
. Shuning uchun 
∠
EOK
=
∠
FOK
=20° 
va 
∠
OKF
=
∠
OKE
= 70°. 
b) 
∠
EOF
=   2.
∠
KOF
= 40°,
∠
FKE
=
∠
FKO
+
∠
OKE
= 70° + 70° = 140°.
Javob:
 a) 20° va 70°; b) 40° va 140°.

127
1.  Burchak bissektrisasining ixtiyoriy nuqtasi uning tomonlaridan teng uzoqlashganini 
isbotlang.
2. Burchak 
AOB
 bissektrisasida olingan nuqtadan 
OA
 nurgacha bo‘lgan masofa 7 
sm
 
bo‘lsa, shu nuqtadan 
OB
 nurgacha bo‘lgan masofani toping.
3. 
O
 burchak va uning bissektrisasida 
С
 nuqta berilgan. Agar 
∠
O
= 60° va 
OС
 = 14
sm
 
bo‘lsa, 
С
 nuqtadan burchak tomonlarigacha bo‘lgan masofani toping.
4. 
AOB
 burchak ichida 
N
 nuqta olingan. Agar 
AN
=
BN
, 
OA
⊥
AN
 va 
OB
⊥
BN
 bo‘lsa, 
N
 
nuqta 
AOB
 burchak bissektrisasida yotishini isbotlang.
Savol, masala va topshiriqlar
B
A
4
5*. 4-rasmda katakli qog‘ozga chizilgan burchakning 
bir qismi tasvirlangan. Qog‘ozning burchak uchi 
joylashgan qismi yirtilib ketgan. 
A
 va 
B
 nuqtalar 
burchak tomonlaridan teng uzoqlashgani ma’lum. 
Burchak bissektrisasini qanday yasash mumkin?
6*.  Uchburchakning ikkita bissektrisasi kesishgan nuq-   
ta uchburchak uchala tomonidan teng uzoqlashga-
nini isbotlang.
7. Tengyonli 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarning 
AC
 va 
A
1
C
1
 asoslari va asoslarga tushirilgan 
BD
 va 
B
1
D
1
 
balandliklari teng. 
ABC
=
A
1
B
1
C
1
 tenglikni isbotlang.
To‘g‘ri burchakli uchburchak-
lar tengligi alomatidan foydalanib, 
3-rasmda tasvirlangan daryoning 
kengligini aniqlash uchun baja-
rilgan yasash ishlarini sharhlang 
va daryoning kengligini topish 
usulini bayon qiling.
Amaliy topshiriq
3

128
Uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi munosa-
batlar 
53
Teorema.
 Uchburchakning katta tomoni qarshisida katta burchak yotadi.
    Δ
ABC
,
 
AB
>
AC
 (1-rasm)
∠
C
 > ∠
B
1-masala.
 2-rasmda berilgan ma’lumot-
lardan foydalanib, 
∠1>∠3 ekanligini isbot-
lang.
Yechilishi:
 
∠2>∠3 ekanligi ravshan, chunki 
∠2 — 
BDC 
uchburchakning tashqi burchagi 
bo‘lib, tashqi burchak xossasiga ko‘ra, 
∠2=∠3+∠4 
va 
∠4>0. 
ACD
 — teng yonli uchburchak bo‘lgani 
uchun 
∠1=∠2. Demak, ∠1>∠3 bo‘ladi.
Isbot.
 
AB
 nurda 
AC
 tomonga teng 
AD
 
kesmani qo‘yamiz. 
AB
> 
AD
 bo‘lgani uchun, 
D
 
nuqta 
AB
 kesmaga tegishli bo‘ladi. Demak, 
CD
 
nur 
C
 burchakning ichki sohasida yotadi va 
C
 
burchakni ikki burchakka ajratadi. Shunga ko‘ra, 
∠
C
>
∠1.
ACD
 uchburchakni teng yonli qilib qurganimiz 
uchun, 
∠1 = ∠2
. 
∠2 — 
CBD
 uchburchakning tashqi burchagi bo‘lgani uchun, 
∠2>∠
B
.
Bu ajratib ko‘rsatilgan uchta munosabatdan,
∠
C
 > 
∠1 = ∠2 > ∠
B
,    ya’ni    
∠
C
 > 
∠
B
 ekanligini hosil qilamiz. 
Teorema isbotlandi.
  
Shuningdek, bu teoremaga teskari teorema ham orinli.
Teskari teorema.
  Uchburchakning katta burchgi qarshisida katta tomon 
yotadi.
1
A
B
D
C
1
2
Bu teoremaning isbotini mustaqil bajaring. 
Natija.
 Teng yonli uchburchakda teng tomonlar qarshisida teng burchaklar 
2
A
B
D
C
1
2
3
4
3
A
B
D
C
1
2
2-masala.
 3-rasmda berilganlardan foy-
dalanib, 
AB < AC
 ekanligini ko‘rsating.
yotadi.
Uning to‘g‘riligini oldin isbotlagan edik.

129
1.   Uchburchakning katta  tomoni qarshisida katta burchak va aksincha, katta burchak  
qarshisida katta  tomon yotishini isbotlang.
4.   Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 62° bo‘lsa, uning qaysi tomoni katta 
bo‘ladi? 58° bo‘lsa-chi?
5.   Uchburchakning o‘tmas burchagi qarshisida kichik  tomon yotishi mumkinmi?
2. 
 
ABC
 uchburchakda 
AB
= 12 
sm
, BC = 10 
sm
, 
CA
= 7 
sm
 bo‘lsa, uchburchakning eng 
katta va eng kichik burchaklari qaysi?
3. 
 
ABC 
uchburchakda a) 
AB < BC < AC
; b) 
AB = AC < BC
 bo‘lsa, uchburchak 
burchaklarini  taqqoslang. 
A
 burchak o‘tmas bo‘lishi mumkinmi?
6. 
 
ABC
 uchburchakda  a) 
∠
A >
∠
B
>
∠
C
; b) 
∠A = ∠B < ∠
C
 bo‘lsa, uchburchak 
tomonlarini taqqoslang.
7.   Uchburchakning katta burchagi 60° dan kichik bo‘lishi mumkinmi? Uchburchakning 
kichik  burchagi 60° dan katta bo‘lishi mumkinmi? 
8.   Teng tomonli uchburchakning ikkita bissektrisasi  kesishganda  hosil bo‘ladigan 
burchaklarni toping.
9*. 
 
ABC 
uchburchakda 
AB > BC 
va 
∠
A
= 60° bo‘lsa, 
B
 burchak qanday qiymatlar qabul 
Savol, masala va topshiriqlar
4
A
B
C
D
66°
64°
50°
50°
46°
84°
Yechilishi:
 
BDC 
— teng yonli uchburchak (chunki 
BD=DC
), demak, 
∠1=∠2 
bo‘ladi. 
∠1<∠
ABC 
bo‘lgani uchun 
∠2<∠
ABC
. Katta burchak qarshisida katta tomon 
yotgani uchun 
AB<AC
 bo‘ladi.
qiladi.
10.*  Uchburchakning 
α, β
 va 
γ
 burchaklari uchun
 
α < β + γ, β < α + γ, γ < α + β
  munosabatlar o‘rinli 
bo‘lsa, bu qanday uchburchak bo‘ladi?
11.*   4-rasmdan eng katta va eng kichik kesmalarni 
ko‘rsating. Javobingizni izohlang.
12.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kat-
tami yoki kateti?

130
Isbot.
  
AB
 to‘g‘ri chiziqda 
BC
 kesmaga teng 
BD
 kesmani qo‘yamiz va 
C
 va 
D
 nuqtalarni 
tutashtiramiz (1-rasm). Natijada,
 BCD
 teng yonli 
uchburchak hosil bo‘ladi. Unda, 
∠1 = ∠2, chunki 
BC = BD
.  Shakldan ravshanki,
 
        
∠
ACD
 > 
∠1.
U holda, 
∠
ACD
 > 
∠2    chunki ∠1 = ∠2 , 
Bu burchaklar 
ACD
 uchburchakka tegishli. 
Endi katta burchak qarshisida katta tomon yotishini hisobga olsak, 
AC < AD
 tengsizlikka 
ega bo‘lamiz. 
U holda, 
AC < AB + BD
 chunki 
AD = AB + BD
. Undan
 BD=BC
 ekanligini hisobga 
olsak, 
AC < AB + BC
  ni hosil qilamiz. 
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. 
Natija.
 Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta 
A, B
 va 
C
 nuqta uchun 
AC < AB + BC,  AB < AC + BC  va  BC < AB + AC
 tengsizliklar o‘rinli.
Bu tengsizliklarning har biri uchburchak tengsizligi deb ataladi. 
1
2
1
A
B
D
C
Masala.
 Uchburchakning ikki tomoni 0,7 va 1,9. Agar uchinchi tomoni butun son 
ekanligi ma’lum bo‘lsa, uni toping (2-rasm).
Yechilishi:
 Berilgan uchburchakning ikkita tomoni ma’lum: 0,7 va 1,9. Uchinchi 
tomonini uchburchak tengsizligidan foydalanib topamiz: 
 
x
 + 0,7 > 1,9 , yoki 
x
 > 1,2
 
1,9 + 0,7 > 
x
 , yoki 
x
 < 2,6.
Bu ikki tengsizlikdan 1,2 < 
x
 < 2,6 ni hosil 
qilamiz.
x
 – butun son, faqat 
x
=2 qiymat bu qo‘sh-
tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, uchbur-
chakning noma’lum tomoni 2 ga teng.
 
 
 
 
 
Javob:
 2 
2
0,7
1,9
x
Uchburchak tengsizligi
54
Uchburchakning istalgan bir tomoni qolgan ikki tomoni yig‘indisidan 
kichik.
  Δ
ABC
 (1-rasm)
AC < AB + BC

131
1.   Uchburchak tengsizligining mazmuni nimadan iborat?
2.   Uchburchak tengsizligi qanday masalalarni 
echishda qo‘llaniladi?  
3.  
Uzunliklari 
1 
m
 ,2 
m
 va 3 
m
  bo‘lgan kesmalardan 
uchburchak  yasash mumkinmi?
4.   Tomonlari : a) 2; 3; 4; b) 2; 2; 4; c) 3,6 ; 1,8; 5; 
d) 56; 38; 19; bo‘lgan  uchburchak  mavjudmi?
5.   Teng yonli uchburchak tomonlari: a) 7 va 3 
b)10 va 5; c) 8 va 5 bo‘lsa, uchinchi tomonini 
toping.
6.   Masalaning berilishi to‘g‘rimi (3-rasm)? 
7.   Uchburchakning istagan tomoni uning qolgan ik-
kita tomoni ayirmasidan katta bo‘lishini isbotlang.  
8.   Teng yonli uchburchakning perimetri  25 
sm
, bir tomoni ikkinchi tomonidan 4 
sm
 ortiq 
va tashqi burchaklaridan  biri o‘tkir bo‘lsa, uchburchakning  tomonlarini toping.
9.*   Uzunliklari 2; 3; 4; 5 va 6 ga teng kesmalardan nechta turli uchburchak yasash 
mumkin?
10.  Tekislikdagi uchta 
A, B, C
 nuqtalar uchun 
AB+BC
 
≥ 
AC
 tengsizlik bajarilsa,
 AB
, 
BC
 va 
AC
 kesmalar  qanday geometrik shaklni ifodalaydi?
11.*  Uchburchak medianasi uchburchakning yarim perimetridan (perimetrining yarmidan) 
kichik ekanligini isbotlang.
Savol, masala va topshiriqlar
3
a
b
c
a
 : 
b
 : 
c
 = 1 : 2 : 3
a)
x
x
2x
2a
a
a
b)
1. Bo‘sh qoldirilgan joylarni mantiqan to‘g‘ri so‘zlar bilan to‘ldiring.
1.  Uchburchakning ichki burchagiga ................... uchburchakning tashqi burchagi deb 
ataladi.
2.  Uchburchak ................ 180° ga teng.
3.  Ikkita burchagining yig‘indisi 90° ga teng bo‘lgan uchburchak .............. bo‘ladi.
4.  Uchburchakning tashqi burchagi unga qo‘shni bo‘lmagan ............... ga teng.
5.  Agar uchburchakning bir burchagi o‘tmas bo‘lsa, qolgan ikkita ............. .
6.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklari ............... bo‘la olmaydi.
7.  Uchburchakning har bir tomoni qolgan tomonlar yig‘indisidan ............. .
Bilimingizni sinab ko‘ring
55

132
6.  Uchta balandligi ham bir uchda kesishadi
7.  Katetdan har doim katta
8.  Nuqtalari burchak tomonlaridan teng uzoqlashgan
1.  Ichki burchaklari yig‘indisi 180° ga teng
2.  O‘tkir burchaklari yig‘indisi 90° ga teng
3.  Tomonlari kesmalardan iborat
4.  Uchburchak tomonlari orasidagi munosabat
5.  Gipotenuzaning yarmiga teng
8.  Ikkita  to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va .............. teng bo‘lsa, bu 
uchburchaklar teng bo‘ladi.
9.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari teng bo‘lsa, u .......... bo‘ladi.
10. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga tushirilgan .............. shu 
gipotenuzaning yarmiga teng.
11. To‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti ........... bo‘lsa, u 30° li burchak qarshisida 
yotadi.
12. Burchak tomonlaridan teng masofada uzoqlashgan nuqta shu burchakning ................ 
yotadi.
2. Quyida keltirilgan jumlalarda xato bo‘lsa, uni toping va to‘g‘rilang.
1.  To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning gipotenuzasi va bittadan burchagi teng bo‘lsa, 
bu uchburchaklar teng bo‘ladi.
2.  Uchburchakning ichki va tashqi burchaklari yig‘indisi 180° ga teng.
3.  Uchburchakning tashqi burchagi, ikkita ichki burchaklari yig‘indisiga teng.
4.  Uchburchakning katta tomoni qarshisida kichik burchak, katta burchagi qarshisida 
kichik tomon yotadi.
5.  Uchburchakning har bir tomoni qolgan tomonlari ayirmasidan kichik.
6.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning faqat bitta balandligi bor.
7.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti gipotenuzaning yarmiga  teng.
8.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning balandligi gipotenuzaning yarmiga  teng.
9.  To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning gipotenuzalari teng bo‘lsa, bu uchburchaklar 
ham teng bo‘ladi.
10. Uchburchakning ichki burchagi uning qolgan ikkita burchagining yig‘indisidan har 
doim kichik bo‘ladi.
11. Uchburchakning tashqi burchaklari har doim o‘tmas bo‘ladi.
3. Jadvalda keltirilgan xossalar va talqinlarga mos keluvchi geometrik 
tushunchalarni toping.

133
4. Testlar.
1.  Qaysi uchburchakning balandliklari uning bir uchida kesishadi?
A) Teng yonli uchburchak;  
 
B) Teng tomonli uchburchak;   
D) To‘g‘ri burchakli uchburchak; 
E) Bunday uchburchak mavjud emas.
2. 
ABC
 uchburchakda 
A
 uchdagi tashqi burchak 120° ga, 
C
 uchidagi ichki burchak 
esa 80° ga teng. 
B
 uchidagi tashqi burchakni toping.
A) 120°;   
    B) 140°;   
  D) 160°; 
 
  E) 40°.
3.  Uchburchakning tashqi burchaklaridan biri 120° ga, shu burchakka qo‘shni bo‘lmagan 
ichki burchaklarining ayirmasi 30° ga teng. Uchburchakning ichki burchaklaridan 
kattasini toping.
A) 70°;   
    B) 75°; 
 
  D) 85°;  
  E) 90°.
4.  Uchburchakning ikkita burchagi qiymatlarining nisbati 1:2 kabi. Uchinchi burchagi shu 
burchaklarning kichigidan 40° ga katta. Uchburchakning katta burchagini toping.
A) 105°;   
    B) 75°; 
 
  D) 80°;  
  E) 90°.
5.  Teng yonli uchburchakning perimetri 48 ga teng. 
Uning tomonlaridan biri 12 ga teng bo‘lsa, qolgan 
tomonlarini toping.
A) 18; 12 
B) 16; 16 
D) 18; 24      E) 18; 18.
6.  To‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burcha-
gidan bissektrisa va balandlik chiqarilgan bo‘lib, 
ular orasidagi burchak 24° ga teng. Uchburchakning 
kichik burchagini toping.
A) 21°;   
B) 24°;   
D) 36°;   
E) 16°.
7. 1-rasmda 
∠
A
=?
A) 10°;   
B) 20°;   
D) 60°;   
E) 100°.
8.  Uzunliklari 3, 5, 7 va 11 ga teng kesmalardan nechta 
turli tomonli uchburchak yasash mumkin?
A) 
2 
  B) 
3 
 D) 
5   E) 
6.
9. 2-rasmda 
x + y
 = ?
A) 90°;   
B) 180°;  
D) 270°; 
E) aniqlab bo‘lmaydi.
10. 3-rasmda 
∠
BCA
=?
A) 90°;   
B) 96°;   
D) 144°; E) 84°.
11. 4-rasmda 
a||b 
bo‘lsa
, x
= ?
A) 35°;   
B) 45°;   
D) 25°;   
E) 20°.
12. 5-rasmda 
x
= ?
A) 60°;   
B) 55°;   
D) 65°;   
E) 70°.
1
A
B
C
3x
5x
x
2
x
y
3
A
B
C
E
36°

134
4
30°
55°
x
a
b
5
x
25°
1. Bo‘g‘inlarining 
uzunligi 
1 
m
, 2 
m
,  4
 m
, 8 
m
 va 16 
m
 bo‘lgan yopiq siniq chiziq  yasash 
mumkinmi?
2.  Agar uchburchakning tomonlari butun sonlar bo‘lib, perimetri 15 ga teng bo‘lsa, 
uning tomonlarini aniqlang.
5. Masalalar
6-nazorat ishi
56
2
A
C
B
D
Namunaviy nazorat ishi ikki qismdan iborat: 
I. 133-betdagi testlarga o‘xshash 5 ta test;
II. Quyidagi masalalarga o‘xshash 3 ta masala 
(4-masala yaxshi o‘zlashtirayotgan o‘quvchilar uchun).
1.  Noma’lum burchakni toping (1-rasm).
2.  Uchburchakning tashqi burchagi 120° bo‘lib,  unga 
qo‘shni bo‘lmagan ichki burchagi 1:2 nisbatda 
bo‘lsa, uchburchakning burchaklarini toping.
3.  Agar 2-rasmda 
ACB
=90°,
 CD=BD 
va
 AB
= 24 
bo‘lsa,
 CD
kesmani toping.
4. 
ABC
 uchburchak 
BD
 bissektrisasi 
AC
 tomonni 
100° burchak ostida kesadi. Agar 
BD
=
BC
 bo‘lsa, 
uchburchak tomonlarini toping.
1
155°
x