Geometriya 7 A. Azamov, B. Haydarov, E. Sariqov, A. Qo‘chqorov, U. Sag‘diyev toshkent

6. Masalalar
1.   Transportir yordamida bir tomoni umumiy bo‘lgan 10°, 20°, 40°, 60°, 90°, 130°, 170° 
li burchaklarni yasang.
2.   Yoyiq burchakning bissektrisasi uning tomonlari bilan qanday burchak  hosil  
qiladi?
3.   Burchakning bissektrisasi uning tomoni bilan 30° li burchak hosil qilgan bo‘lsa, 
burchakning o‘zi necha gradus?
4.   Burchakning bissektrisasi uning tomonlari bilan o‘tmas burchak tashkil qilishi 
mumkinmi?
5.   
∠
AOB
=50°, 
∠
BOC
=
80° bo‘lsa, 
AOB
 va 
BOC
 burchaklarning bissektrisalari 
orasidagi burchakni toping. Masala nechta yechimga ega?
6.   15° li burchakka 10 marta kattalashtiruvchi lupa (ko‘zgu) orqali qaralganda, necha 
gradusli burchak ko‘rinadi?
7.   a) 90°;  b) 60°;  c) 50°;  d) 20° li burchakning bissektrisasini transportir yordamida 
yasang.
8.   
∠
AOB =
120° bo‘lgan burchakning
 OK
  bissektrisasini transportir yordamida yasang. 
So‘ngra hosil bo‘lgan 
AOK va KOB
  burchaklarning bissektrisalarini yasang va bu 
bissektrisalar orasidagi burchakni toping.
9.   Agar 
AB = 1,8 m, AC = 1,3 m va BC = 3 m
 bo‘lsa, 
A, B va C
 nuqtalar bir to‘g‘ri 
chiziqda yotadimi?
10. 
 A, B va C
 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. Agar 
AB = 2,7 m, AC = 3,2 m
 bo‘lsa, 
BC 
kesmani uzunligini toping. Masala nechta yechimga ega?
11.  Uzunligi 15 
m
 bo‘lgan 
AB
 kesmada 
C
 nuqta belgilangan. Agar:
 a) 
AC
 kesma 
BC
 kesmadan 3 
m
 uzun,
 b) 
C
 nuqta 
AB
 kesmaning o‘rtasi bo‘lsa,

51
 c) 
AC
  va 
BC
 kesmalarning uzunliklari 2:3 nisbatda bo‘lsa, 
AC va BC
 kesmalar 
uzunliklarini toping. 
12.  
A, B, C, D
 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. Agar 
B 
nuqta 
AC
 kesmaning, 
C 
nuqta 
esa 
BD 
kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, 
AB = BC = CD
 ekanligini ko‘rsating.
13.  Hech bir uchtasi bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan: a) 6;  b) 7;  c) 10 ta nuqta orqali 
nechta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin?
14.  
OA 
va 
OB
 nurlar qachon ustma-ust tushadi?
15.  
AB
 nurda 
C 
nuqta,
 BA
 nurda 
D
 nuqta shunday olinganki, 
AC
 = 0,7 va 
BD
 = 2,1. 
Agar 
AB 
= 1,5 bo‘lsa, CD ni toping.
16.  4-rasmda nechta vertikal  burchaklar juftligi tasvirlangan?
4
5
A
B
C
D
E
F
O
B
A
O
B
A
O
B
A
O
a)
b)
c)
17*.  Agar soatning soat va minut  millari orasidagi  
burchak 45° bo‘lib, minut mili 6 da turgan bo‘lsa, 
soat qaysi vaqtni ko‘rsatayotgan bo‘ladi?
18.  To‘g‘ri chiziqqa unda yotmagan 
O 
nuqtadan 
OA 
og‘ma va 
OB
 perpendikular o‘tkazilgan. Ularning 
uzunliklari yig‘indisi 13, ayirmasi esa 1 ga teng 
bo‘lsa,  O nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan 
masofani toping.
19.  
AOB
 va 
BOC
 qo‘shni burchaklar ekanligi ma’lum. 
Agar: 
  
a) 
AOB 
burchak 
BOC 
burchakdan 40° katta;
  
b) 
AOB 
burchak 
BOC
 burchakdan 4 marta 
kichik;
  
c) 
∠
AOB 
= 
∠
BOC
 + 44°;
  
d) 
∠
AOB
= 5
⋅∠
BOC
 bo‘lsa, bu burchaklarni 
toping.
20.  Ikki to‘g‘ri chiziq kesishishidan to‘rtta burchak 
hosil bo‘ldi. Ulardan ikkitasining gradus o‘l-
chovlari yig‘indisi 100° ga teng bo‘lsa, bu to‘rtta 
burchakning gradus o‘lchovlarini toping.
21.  
A, B
 va 
C
 nuqtalar tekislikda shunday joylashganki, 
a) 
AC + CB
=
AB
; b) 
AB + AC = BC
. Qaysi nuqta 
qolgan ikkitasining orasida yotadi?
22.  5-rasmdagi burchaklarning tomonlariga 
A 
va
 
B
 nuqtalar orqali perpendikular to‘g‘ri chiziqlar 
o‘tkazing. Bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtasida qanday burchaklar hosil qiladi?

52
Namunaviy nazorat ishi ikki qismdan iborat bo‘lib, birinchi qismga 49–50-betlarda 
keltirilgan testlardan beshtasi kiritiladi. Ikkinchi qismda esa quyida keltirilgan masalalarga 
o‘xshash 3 ta masala beriladi (4-masala “a’lo” baho olmoqchi bo‘lgan o‘quvchilar uchun 
qo‘shimcha tarzda havola etiladi):
1. 
MN
 va 
KL
 to‘g‘ri chiziqlarning kesishishidan hosil bo‘lgan 
MOL 
va 
KON
 vertikal 
burchaklarning yig‘indisi 148° ga teng. 
MOK
 burchakni toping.
2.  Qo‘shni burchaklarning ayirmasi 60° ga teng. Bu burchaklarning kichigini toping.
3.  Burchak bissektrisasi shu burchakning tomoni bilan 66° li burchak hosil qiladi. Bu 
burchakka qo‘shni bo‘lgan burchakni toping.
4*.  Qo‘shni burchaklar bissektrisalari to‘g‘ri burchak ostida kesishishini isbotlang.
2-nazorat ishi
17
Qobiliyatli o‘quvchilar uchun qo‘shimcha topshiriq.
1. «Geometriya –7» elektron darsligining tegishli bobi sahifalari bilan tanishib chiqing. 
Mazkur bobga kiritilgan mavzularga oid interaktiv animatsiya ilovalarida berilgan 
topshiriqlarni bajarib va test topshiriqlarini yechib o‘z bilimingizni sinab ko‘ring.
2. Shuningdek, 10-betda keltirilgan internet resurslaridan mazkur bobga tegishli 
materiallarni toping va o‘rganib chiqing.

UCHBURCHAKLAR
II BOB
   
Bilimlar:
—  Siniq chiziq va uning turlarini bilish;
—  ko‘pburchak ta’rifini bilish;
—  uchburchak va uning asosiy elementlarini bilish, bu elementlar bo‘yicha 
uchburchakni turlarga ajrata olish;
—  uchburchak medianasi, bissektisasi va balandligining ta’riflarini bilish;
—  uchburchaklar tengligining TBT alomatini bilish;
—  teng yonli uchburchakning xossalarini bilish;
—  uchburchaklar tengligining BTB alomatini bilish;
—  uchburchaklar tengligining TTT alomatini bilish;
—  teng tomonli uchburchak xossalarini bilish;
—  kesma o‘rta perpendikularining xossasini bilish.
Ko‘nikmalar:
—  Uchburchaklar tengligining alomatlariga ko‘ra teng uchburchaklarni aniqlay 
olish;
—  o‘zlashtirilgan bilimlarni masalalar yechishda va amaliy ishlarni bajarishda qo‘llay 
olish;
—  geometriyaning go‘zalligi va jozibasini his etish.
Bu bobni o‘rganib chiqqach quyidagi bilim va amaliy ko‘nikmalarga 
ega bo‘lasiz:

54
Siniq chiziq. Ko‘pburchak
Ketma-ket kelgan ikkitasi bir to‘g‘ri 
chiziqda yotmagan 
A
1
A
2
,  A
2
A
3
,..., 
A
n-1
A
n
 
kesmalardan tashkil topgan 
shaklga siniq chiziq deyiladi. 
Faollashtiruvchi mashq.
 
Ko‘pburchakning ta’rifidan kelib chiqadigan xususiyatlarini sanang va 3-rasmdagi 
shakllarning ko‘pburchak bo‘lish yoki bo‘lmasligini aniqlang va izohlang.
1
ABCDEFG
 — siniq 
chiziq;
A, B, C, D, E, F, G
— 
siniq chiziqning 
uchlari;
AB, BC, CD, DE, 
EF, FG
 — siniq chi-
ziqning bo‘g‘inlari 
(tomonlari).
A
B
C
D
E
F
G
A
1
, A
2
,..., A
n
 nuqtalar siniq chiziqning uchlari, 
A
1
A
2
,  A
2
A
3
,..., A
n-1
A
n
 kesmalar esa 
siniq chiziqning bo‘g‘inlari yoki tomonlari deb ataladi. 1-rasmda 
ABCDEFG
 — siniq 
chiziq tasvirlangan. Boshlang‘ich va oxirgi uchlari ustma-ust tushadigan siniq chiziqni — 
yopiq siniq chiziq deb ataymiz.
Mashq.
 2-rasmda tasvirlangan chiziqlarning siniq chiziq bo‘lishi yoki bo‘lmasli-     
gini aniqlang va izohlang.
3
18
2
e)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
d)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
c)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
b)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A
1
A
2
A
3
A
4
O‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq siniq chiziq ko‘pburchak deb ataladi.

55
1.  Siniq chiziq  nima? 
2.  Siniq chiziq chizing, uni belgilang va uning uchlari  va 
bo‘g‘inlarini chizmada ko‘rsating.
3.  Yopiq siniq chiziqlarga misollar keltiring.
4.  Sinf xonasida, maktabda, uyda siniq chiziqni eslatuvchi 
narsalarga misollar toping.
5.  Ko‘pburchak nima? Misollar keltiring.
6.  5-rasmda tasvirlangan raqamlar qanday chiziqlarni 
ifodalayapti.
Savol, masala va topshiriqlar
Tomonlarining soniga qarab, ko‘pburchaklar uchburchak, 
to‘rtburchak, beshburchak, oltiburchak, umumiy holda n- 
burchak deb nomlanadi. Siz ba’zi ko‘pburchaklar bilan quyi 
sinflarda tanishgansiz.
Har qanday ko‘pburchak tekislikni ikki sohaga ajratadi. 
Ko‘pburchak bilan chegaralangan chekli soha — ko‘pbur-
chakning  ichki sohasi deb, ikkinchi — cheksiz soha esa 
ko‘pburchakning  tashqi sohasi deb ataladi. 4-rasmda 
ABCDEF
 oltiburchakning ichki (a-rasm) va tashqi (b-rasm) 
sohalari bo‘yab ko‘rsatilgan.
7
8
4
7.  6-rasmda tasvirlangan shakllarning qaysilari a) siniq 
chiziq; b) yopiq siniq chiziq; c) ko‘pburchak bo‘lishini 
aniqlang.
5
A
B
C
D
E
F
Tashqi soha
b)
A
B
C
D
E
F
Ichki 
soha
a)
6
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
D
C
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

56
10
11
12
9
Geometrik boshqotirmalar
1.  7-rasmda nechta to‘rtburchak bor?
2.  8-rasmda ko‘rsatilgan shaklni qalamni qog‘ozdan 
uzmasdan va bir chiziq ustidan qayta yuritmasdan 
chizing.
3.  Tomonlari 9-rasmda berilgan to‘rtta nuqtadan o’tuvchi 
uchburchak chizing.
4.  10-rasmda tasvirlangan 9 ta nuqtaning hammasidan 
o‘tuvchi, bo‘g‘inlari soni 4 ta bo‘lgan siniq chiziq chiza 
olasizmi?
8.  Har ikki qo‘shni bo‘g‘ini perpendikular bo‘lgan besh 
bo‘g‘inli siniq chiziq chizing. Bunday siniq chiziq necha 
xil bo‘lishi mumkin?
Tarixiy lavhalar.
 
Handasa ilmida o‘z davridan besh asr o‘zib ketgan me’mor ustalarimiz. 
2007-yil fevral oyida Amerikada bosilgan o‘rta asr me’morchiligi haqidagi maqola ilmiy 
shov-shuvga sabab bo‘ldi. Gap shundaki, 2005-yilda Samarqanddagi Abdullaxon madrasasi 
gumbazidagi koshin naqshlarni ko‘zdan kechirgan Garvard universitetining aspiranti Piter 
Lu hayratdan yoqasini yshlab qoldi. Uning ko‘z ongida 1970-yillarda kashf qilingan deb 
hisoblangan, Penrouz naqshlari deb nomlangan murakkab geometrik shakllar turar edi. Bundan 
chiqdi, bizning me’mor ajdodlarimiz aqlu-zakovatda o‘z davridan besh asr ilgari ketib, fanga 
yaqindagina kiritilgan murakkab geometrik shakllarni bilibgina qolmasdan, ulardan o‘z 
ishlarida ijodiy foydalanishgan ekan-da!  
Ha, darhaqiqat shunday bo‘lib chiqdi. 
11-rasmda me’morchilik obidasidagi 
naqsh tasvirlangan. 12-rasm o‘rta asr 
qo’lyozmalaridan olingan bo‘lib, unda 
mazkur naqsh asosini tashkil qiluvchi 
ko‘pburchaklar tasvirlangan.

57
Uchburchak. Uchburchakning turlari
19
Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqtani belgilaymiz. Ularni o‘zaro kesmalar 
bilan tutashtirub chiqsak, uchburchak hosil bo‘ladi (1-rasm). Belgilangan uchta nuqta 
uchburchakning uchlari, kesmalar esa uchburchakning tomonlaridan iborat bo‘ladi. 
Odatda, “uchburchak” so‘zi o‘rniga 
Δ belgisi ishlatiladi. “Δ
ABC
” yozuvi “uchburchak 
ABC
” yoki “
ABC
uchburchak” deb o‘qiladi. 
∠
BAC
, 
∠
ABC
, 
∠
ACB
 — uchburchakning 
burchaklari deb yuritiladi. Ularni ba’zida aniqlik uchun ichki burchaklar deb ham 
atashadi (1-rasm).
Uchburchak burchaklarini 
∠
A
, 
∠
B
, 
∠
C
 tarzda ham belgilash mumkin. Uchburchakning 
tomonlari va burchaklari uning asosiy elementlari deb ataladi. Uchburchakning  uchala 
tomoni uzunliklari yig‘indisiga, uning perimetri deyiladi. U 
P
 harfi bilan belgilanadi. 
Shuningdek,
BAC
 burchak uchburchakning 
AB
 va 
AC
 tomonlari orasida yotuvchi burchagi;
AB
 va
 AC
 tomonlar 
BAC
 burchakka yopishgan,
BC
 tomon 
BAC
 burchak qarshisida yotibdi kabi iboralar qo‘llaniladi.
1
A
B
C
∆ ABC
 — 
ABC
 uchburchak
A, B, C
 nuqtalar — uchburchakning uchlari
AB
, 
BC
, 
AC
 kesmalar — uchburchakning  tomonlari
∠
A
, 
∠
B
, 
∠
C
 — uchburchakning burchaklari
P
 = 
AB
 + 
BC
 + 
AC
 — uchburchakning perimetri
Tomonlari va burchaklariga ko‘ra uchburchaklar quyidagi turlarga ajratiladi:
uchala tomoni o‘zaro teng bo‘lsa, 
teng tomonli uchburchak
 (2.a-rasm),
tomonlaridan ikkitasi o‘zaro teng bo‘lsa, 
teng yonli uchburchak
 (2.b-rasm),
bitta burchagi to‘g‘ri bo‘lsa, 
to‘g‘ri burchakli uchburchak
 (2.c-rasm),
hamma burchaklari o‘tkir bo‘lsa, 
o‘tkir burchakli uchburchak
 (2.d-rasm),
bitta burchagi o‘tmas bo‘lsa, 
o‘tmas burchakli uchburchak
 (2.e-rasm) 
2
O‘tmas burchakli 
uchburchak
A
B
C
e)
To‘g‘ri burchakli 
uchburchak
A
B
C
c)
O‘tkir burchakli uchburchak
A
B
C
d)
Teng yonli 
uchburchak
A
B
b)
A
B
C
a)
Teng tomonli 
uchburchak
C

58
5
A
B
C
D
E
5.   Ko‘z bilan chamalab, uchala tomoni teng bo‘lgan uchburchak yasang. So‘ngra  
tomonlarini o‘lchab tekshirib ko‘ring.     
4
a)
b)
c)
d)
e)
70°
50°
60°
35°
25°
120°
4
6
6
Masala.
 Perimetri 28 
sm
 ga teng bo‘lgan teng yonli 
uchburchakning asosi yon tomonidan 4 
sm
 uzun. Shu 
uchburchakning tomonlarini toping. 
Yechilishi:
 
ABC
 uchburchakning yon tomonini 
x
 deb 
belgilasak, asosi 
x
+ 4 bo‘ladi (3-rasm). Unda, masala 
shartiga ko‘ra, 
P
=
x
+
x
+
x
+ 4 = 3
x
+ 4 = 28,
 x
= 8. Demak, 
AB
=
AC
= 8 
sm
; 
BC
=12 
sm
.   
Javob:
 8 
sm
; 8 
sm
; 12 
sm
. 
3
A
B
C
x
x
x + 4
1.   Qanday shakl uchburchak deb ataladi?
2.   PQR uchburchakda 
 
    a) 
∠
P
 qarshisida qaysi tomon yotadi?
 
    b) 
PQ
 tomonga qaysi burchaklar yopishgan?
 
    c) 
PQ
 va 
QR
 tomonlar orasida qaysi burchak joylashgan?
 
    d) 
PR
 tomon qaysi burchak qarshisida yotibdi? 
 
Bu savollarga shaklga qaramay javob berishga harakat qiling.
3.   Uchburchakning qanday turlari bor? Har bir uchburchak turidan bittadan uchburchak 
chizing. Ularni belgilang. Uchburchak turlarining ta’rifidan kelib chiqib, ularning 
xususiyatlarini ifodalang.
4.  
4-rasmdagi uchburchaklarning turlarini aniqlang.
Savol, masala va topshiriqlar
6.   Teng  tomonli  uchburchak  chizib, burchaklarini o‘lchang 
va xulosa chiqaring.
7.   5-rasmda bir uchi: a) 
A
 nuqtada; b) 
B
 nuqtada; c) 
C 
nuqtada bo‘lgan nechta uchburchak bor? 
8.   5-rasmda uchburchakning qanday turlarini ko‘rayapsiz? 
Ularni turlari bo‘yicha  daftaringizga yozing.
9.   Birorta uchburchak chizing va uni belgilang. Chizg‘ich 
yordamida tomonlarini o‘lchang va uchburchak peri-
metrini toping.

59
Uchburchakning asosiy elementlari: mediana, balandlik va 
bissektrisa
20
ABC
 uchburchakning 
B
 uchini uning qarshisida 
yotuvchi tomonning o‘rtasi 
M
 nuqta bilan tutashtiramiz 
(1-rasm). Hosil bo‘lgan 
BM
 kesma 
ABC
 uchburchakning 
medianasi deb ataladi. Bu mediana 
B
 uchdan chiqqan yoki 
AC
 tomonga tushgan deyiladi.
Uchburchak uchini shu uch qarshisidagi tomonning 
o‘rtasi bilan tutashtiruvchi kesma uchburchakning 
medianasi deb ataladi.
Uchburchak burchagi bissektrisasining uchburchak 
ichida yotgan qismi (kesmasi) uchburchak bissek-
trisasi deyiladi.
Uchburchak uchidan shu uch qarshisidagi tomon 
yotgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikular, 
uchburchakning balandligi deb ataladi.
ABC
 uchburchak 
B
 burchagining bissektrisasini 
o‘tkazamiz  (2-rasm). Uning 
AC
 tomon bilan kesishgan 
nuqtasini 
L
 bilan belgilaymiz. Hosil bo‘lgan 
BL
 kesma 
ABC
 
uchburchakning bissektrisasi deb ataladi.
ABC
 uchburchakning 
B
 uchidan 
AC
 tomon yotgan to‘g‘ri 
chiziqqa perpendikular tushiramiz (3-rasm). Perpendikular 
asosini 
H
 bilan belgilaymiz. Hosil bo‘lgan 
BH
 kesma 
ABC
 
uchburchakning balandligi deb ataladi.
1
A
C
M
B
2
A
C
L
B
3
A
C
H
B
a)
A
C
H
B
b)
Uchburchakning uchta uchi bo‘lgani sababli har bir uchburchak uchtadan mediana, 
balandlik va bissektrisaga egadir. 
4-rasmdagi 
AM
1
, 
BM
2
 va 
CM
3  
kesmalar — 
ABC
 uchburchak medianalari.
5-rasmdagi 
AL
1
, 
BL
2
 va 
CL
3  
kesmalar — 
ABC
 uchburchak bissektrisalari.
6-rasmdagi 
AH
1
, 
BH
2
 va 
CH
3 
kesmalar — 
ABC
 uchburchak balandliklari. 
Bu muhim tushunchalarning xossalari bilan keyingi darslarda tanishamiz.

60
Geometrik tadqiqotlar
1.  Ixtiyoriy uchburchak chizing. Uning hamma 
medianalarini o‘tkazing (4-rasm). Nimani pay-
qadingiz? Tajribani yana ikkita uchburchak uchun 
bajarib ko‘ring va aniqlangan xossani faraz ko‘ri-
nishida ifodalang.
2.  Ixtiyoriy uchburchak chizing. Uning hamma 
balandliklarini o‘tkazing (5-rasm). Nimani pay-
qadingiz? Tajribani yana ikkita uchburchak uchun 
bajarib ko‘ring va aniqlangan xossani faraz 
ko‘rinishida ifodalang.
3.  Ixtiyoriy uchburchak chizing. Uning hamma bissek-
trisalarini o‘tkazing (6-rasm). Nimani payqadingiz? 
Tajribani yana ikkita uchburchak uchun bajarib 
ko‘ring va aniqlangan xossani faraz ko‘rinishida 
ifodalang. 
O‘tkazilgan tajribalar asosida aniqlangan 
xossalarni teorema deb hisoblasak bo‘ladimi? 
Nega?
Bajarish:
 Uchburchakning, xususan, o‘tmas 
burchakli uchburchakning ham uchta balandligi 
bor. O‘tmas burchakli 
ABC
 uchburchakni qaraymiz 
(7-rasm). O‘tmas burchagi uchidan tushirilgan 
BD
 
balandlik uchburchakning ichida yotadi. O‘tkir burchagi 
A
 uchidan balandlik tushirish uchun, shu burchak 
qarshisidagi 
BC
 tomonni davom ettiramiz va 
BC
 
tomon davomiga 
A
 nuqtadan 
AE
 perpendikular tushiramiz. Hosil bo‘lgan 
AE
 kesma 
ABC
 uchburchakning 
A
 uchidan tushirilgan balandligi bo‘ladi. Huddi shunday, 
AB
 tomon 
davomiga 
CF
 balandlikni tushirish mumkin.
7
A
B
C
D
E
F
Mashq. 
O‘tmas burchakli uchburchakning baland-
liklarini o‘tkazing.
5
A
H
2
C
B
H
1
H
3
6
A
L
2
C
B
L
1
L
3
4
A
M
2
C
B
M
1
M
3