Geometriya 7 toshkent œyangiyo4l poligraf servisb

51-betdagi III-bob tituli bo4yicha
3. 
Teskarisini faraz qilishga oid qiziqarli masala
Savol.
 Sulton ikki vaziridan qaysi biri tezroq mantiqiy fikrlashini 
sinamoqchi bo4ldi. U vazirlarga ikkita oq va ikkita qora qalpoq ko4rsatdi. 
So4ng ularning ko4zlarini bog4lab, har ikkisiga qora qalpoqlarni kiydirdi, 
oq qalpoqni esa o4zi kiydi: &Qani, boshingizdagi qalpoq qanaqa rangda, 
toping-chi?[ Biroz o4tib, o4ng qo4l vazir: &Mening boshimda qora qal-
poq[, # de di. U qanday fikr yuritgan?
Javob. 
O4ng qo4l vazir teskarisini faraz qilgan:
&Mening boshimdagi qalpoq qora emas. 
Haqiqatan rangi oq deb faraz 
qilayin. U holda chap qo4l vazir sultonning boshida ham, mening boshimda 
ham oq qalpoqni ko4rib, 
o4zining boshidagi qalpoq qora ekan li gini darhol 
ayt gan bo4lar edi. U esa hamon o4ylanib o4tiribdi. Demak, farazim noto4g4-
ri O mening boshimdagi qalpoq O qora[.
1
2
75

76
Hayotimizda geometriya
4. Bosh va oyoq o4lchamini hisoblash.
Barcha o4zining bosh va oyoq o4lchamlarini 
bilishi kerak. Chunki bosh kiyimi yoki oyoq kiyimi 
olayotganda bu kerak bo4ladi.
1.  Boshni o4lchashda tikuvchilar lentali metridan 
foydalanamiz. Qoshimizdan 3 sm balandroqdan 
boshimiz aylanasi atrofini lenta metr bilan 
o4lchaymiz. (5-rasm)
2.  Oyoqni o4lchash uchun lineyka yerga bir uchi 
devorga tirab qo4yiladi. To4g4ri turib oyoq 
tavoni orqasi devorga tiraladi. Oyoq uchiga 
quti yoki boshqa bir tekis buyim qo4yib o4lchab 
olinadi. Oyoq kiyimi o4lchami oyoqning 
santimetrdagi (sm) uzunligi maxsus jadvalga 
qo4yib aniqlanadi. (6-rasm)
5
6
900
450ga teng bo4lgan 
ABC
 burchak chizing. Burchak uchidan boshlab uning 
BA
 
tomonida to4rtta bir-biriga teng kesmalarni ketma-ket qo4ying va bu kesmalarning 
uchlari orqali burchakning 
BC
 tomonini kesib o4tuvchi parallel to4g4ri chiziqlar 
o4tkazing. So4ngra 
BC
 tomonda hosil bo4lgan kesmalarning uzunliklarini o4zaro 
taqqoslang. Bu kesmalar haqida qanday xulosaga keldingiz? Natijani boshqa 
kattalikdagi burchaklar uchun tekshirib ko4ring.
5. 
Geometrik tadqiqot
3
4
1.  O4quvchilar uchun ishlab chi-
qilgan, &iHandy Carpenter[ deb 
nomlangan mobil telefon dasturiy 
ta’minoti ixtiyoriy bino yoki in-
shootning yerga nisbatan qanchalik 
tik ekanligini aniqlab beradi. Buning 
uchun smartfonda mazkur dasturni 
ishga tushirib, bino yoki inshootga 
qaratish kifoya (3-rasm).
2.  Dalada to4g4ri chiziqlarni o4tkazish 
uchun &ekker[ asbobidan foydalani-
ladi.  4-rasmga qarab undan qanday 
foy dalanish mumkinligini tushunib 
olish mumkin.
76

77
IV BOB
PARALLEL 
TO‘G‘RI
CHIZIQLAR
14,2
11
3,2
10,4
8,4
2
1
2
4
3
5
6
7
8
3
2
1
4

78
Bitta to4g4ri chiziqqa perpendikulyar bo4lgan ikki to4g4ri chiziq o4zaro 
paralleldir.
 
a
b
1
Bir tekislikda yotib, o4zaro kesishmaydigan to4g4ri chiziqlar
 parallel to4g4 ri 
chiziqlar 
deb ataladi.
 1-rasmda parallel to4g4ri chiziqlar tasvirlangan. 
a 
va 
b
 to4g4ri chiziqlarning parallelligi 
a
||
b
  tarzda 
yoziladi va qisqacha œ
a
 to4g4ri chiziq 
b
 to4g4ri chiziqqa 
parallel
Bdeb o4qiladi.
Parallel to4g4ri chiziqlarda yotgan kesmalar bilan 
nurlar ham o4zaro parallel deb yuritiladi. Shunday 
2
b
a
O
A
Mashq.
 
a
 to4g4ri chiziqqa tegishli bo4lmagan 
O
 nuqtadan unga parallel to4g4ri chiziq o4tkazish 
mumkinligini ko4rsating.
Yechilishi: 
O
 nuqtadan 
a 
to4g4ri chiziqqa 
per pendikulyar 
OA
 to4g4ri chiziq o4tkazamiz (2-
rasm). So4ng 
O
 nuqtadan 
OA
 to4g4ri chiziqqa per-
qilib, biz to4g4ri chiziq bilan to4g4ri chiziq, nur bilan nur, kesma bilan kesma hamda 
to4g4ri chiziq bilan nur, to4g4ri chiziq bilan kesma va nur bilan kesma parallelligi 
tushunchalariga egamiz. Parallel kesmalarni hayotda ko4p uchratgansiz. Misol 
uchun, temir yo4l relslari, to4g4ri to4rtburchak shaklidagi stolning qarama-qarshi 
qirralari, katakli daftar varag4idagi gorizontal chiziqlar va hokazo.
Shunday qilib, ta’rifga ko4ra to4g4ri chiziqlar parallel bo4lishi uchun:
O ular bir tekislikda yotishi;
O umumiy nuqtaga ega bo4lmasligi, ya’ni kesishmasligi lozim.
17-mavzuda isbotlangan teoremani endi quyidagicha ifodalash mumkin:
pendikulyar 
b
 to4g4ri chiziqni o4tkazamiz. Natijada, 
a

OA
 va 
OA

b
, ya’ni 
OA
 
to4g4ri chiziqqa perpendikulyar bo4lgan ikkita 
a
 va 
b
 to4g4ri chiziqlarga ega bo4lamiz. 
Unda yuqoridagi teoremaga ko4ra, 
a
 va
 b
 to4g4ri chiziqlar o4zaro parallel bo4ladi. 
Ya’ni, 
b 
izlangan to4g4ri chiziqdir.
Parallel to4g4ri chiziqlarni amaliyotda oddiy chizg4ich va go4niya yordamida 
3-rasmda tasvirlangan tartibda chizish mumkin. Bu usul to4g4riligini asoslang.
To4g4ri chiziqqa unda yotmagan nuqtadan nechta parallel to4g4ri chiziq 
o4tkazish mumkin? 
Parallellik aksiomasi 
deb nomlangan quyidagi tasdiq bu 
savolga javob beradi.
Agar ikki to4g4ri chiziq bitta to4g4ri chiziqqa perpendikulyar bo4lsa, ular o4zaro 
kesishishi mumkinmi? Javobingizni asoslang.
Faollashtiruvchi mashq
TO‘G‘RI CHIZIQLARNING PARALLELLIGI
32
78

79
Bir to4g4ri chiziqqa parallel bo4lgan ikki to4g4ri chiziq o4zaro paralleldir.
4
3
a
b
c
A
Tekislikdagi to4g4ri chiziqqa, unda yotmagan nuqtadan faqat bitta parallel 
to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin.
Bu tasdiq aksioma sifatida isbotsiz qabul qilinadi. Bu aksioma Evklidning 
5-pastulati nomi bilan mashhur.
Isbot.
 Faraz qilaylik, 
a
||
c
 va 
b
||
c
 bo4lsa-da, 
a 
va 
b
  to4g4ri chiziqlar parallel bo4lmasin. U 
holda, ular biror 
A 
nuqtada kesishadi (4-rasm) 
va
 A 
nuqtadan
 c 
 to4g4ri chiziqqa ikkita 
a
 va 
b
 
parallel to4g4ri chiziq o4tkazilgan bo4lib qoladi. 
Bu esa parallellik aksiomasiga zid. Demak, 
farazimiz noto4g4ri O 
a
  va 
b
  to4g4ri chiziqlar 
o4zaro parallel ekan. 
Teorema isbotlandi.
a
,
 b
 va 
c
 to4g4ri chiziqlar, a
||
c
, 
b
||
c
.
a
||
b
b)
a)
1.   Qachon to4g4ri chiziqlar parallel deyiladi?
2.   Berilgan to4g4ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali shu to4g4ri chiziqqa parallel 
bo4lgan nechta to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin?
3.   Ikkita kesma qachon parallel bo4ladi?
4.   Sinf xonasiga nazar soling va parallel kesmalarni aniqlang.
5.   Uchinchi to4g4ri chiziqqa parallel bo4lgan ikkita to4g4ri chiziqning o4zaro 
parallel bo4lishini ko4rsating.
6.   To4g4ri chiziq chizib, unda 
A,  B
 va
  C
 nuqtalarni belgilang. Chizg4ich va 
uchburchakli chizg4ich (go4niya) yordamida 
A
 nuqtadan, 
B
 nuqtadan va 
C
 
nuqtadan o4tuvchi va bir-biriga parallel bo4lgan to4g4ri chiziqlarni o4tkazing.
7.   Kesishmaydigan har qanday ikki kesmani parallel kesmalar desa bo4ladimi? 
8.   Kesishmaydigan har qanday ikki nurni parallel nurlar desa bo4ladimi?
9.   To4g4ri to4rtburchakning qarama-qarshi tomonlari o4zaro parallelmi?
10.  Parallellikka tevarak atrofdan misollar keltiring.
Savol, masala va topshiriqlar
b
79

80
Tekislikda berilgan ikkita 
a
 va 
b
 to4g4ri chiziq uchinchi 
c
 to4g4ri chiziq bilan 
ke  sishganda, 
8 ta burchak hosil bo4ladi. Ularni 1-rasmda ko4rsatilgandek raqamlar 
bi lan belgilaylik. Bu burchaklarning quyidagi juftlarini alohida nomlar bilan atay -
miz:
1
3 va 5 
4 va 6
ichki
almashi nuvchi 
burchaklar
4 va 5
3 va 6
ichki bir 
tomonli 
burchaklar
1 va 7 
2 va 8
tashqi 
almashinuvchi 
burchaklar
1 va 5
2 va 6
3 va 7
4 va 8
mos 
burchaklar
a
b
c
1
2
4
3
5
6
8
7
tashqi bir 
tomonli 
burchaklar
1 va 8
2 va 7
1-xossa.  Agar bir juft  ichki almashinuvchi burchaklar o4zaro teng bo4lsa, 
ikkinchi juft ichki  almashinuvchi burchaklar ham o4zaro teng bo4ladi.
a, b
 to4g4ri chiziqlar va 
c
 kesuvchi:   

1 =  

2 (2-rasm)
3 = 4
Isbot.
  2 va 4 qo4shni burchaklar bo4lgani uchun: 
2 + 4 = 1800.  Bundan 4 = 1800 # 2.
1 va 3 ham qo4shni burchaklar bo4lgani uchun: 
1 + 3 = 1800.  Bundan 3 = 1800 # 1.
Shartga ko4ra 1 = 2. 
Shuning uchun:   
3 = 1800 # 1 = 1800 # 2 = 4.
Demak, 3 = 4. 
Xossa

isbotlandi.
2
a
b
c
1
2
4
3
 
Isbot.
  Mos burchaklardan biror jufti, masalan 
2=6 bo4lsin (3-rasm). 2 va 4 qo4shni burchaklar 
bo4lgani uchun 2+4=1800 bo4ladi. U holda, 2=6 
bo4lgani uchun 6+4=1800 ekani kelib chiqadi. 
Boshqa bir tomonli burchaklar yig4indisi ham 1800 
ga tengligi shu tariqa isbotlanadi.
Xossa isbotlandi.
2-xossa.  Agar mos burchaklar teng bo4lsa, ichki bir tomonli burchaklar 
yig4indisi 1800 ga teng bo4ladi.
3
1
2
4
3
5 6
8
7
3-xossa. Agar ichki almashinuvchi burchaklar o4zaro teng bo4lsa, u holda 
mos burchaklar ham o4zaro teng bo4ladi.
IKKI TO‘G‘RI CHIZIQ VA KESUVCHI HOSIL QILGAN 
BURCHAKLAR
33
80

81
Isbot.
  3 va 6 # ichki almashinuvchi burchaklar bo4lib, 3 = 6 bo4lsin 
(3-rasm). U holda, 3 va 2 vertikal burchaklar bo4lgani uchun 3=2 bo4ladi. 
Demak,  6  va 2 teng ekan. Boshqa mos burchaklar juftlari tengligi ham 
shunga o4xshash isbotlanadi.
1.   Ixtiyoriy ikkita to4g4ri chiziq chizing. Ularni kesib o4tuvchi uchinchi to4g4ri 
chiziqni chizing. Bir tomonli, ichki almashinuvchi va mos burchaklar juftini 
chizmadan ko4rsating.
2.   4-rasmdagi burchaklardan qaysilari vertikal va qaysilari qo4shni burchak 
bo4ladi?
5
6
1
1
2
2
3
3
4
5
4
6
7
6
8
5
3.   4-rasmdagi  2 = 600 va 7 = 950 bo4lsa, 
qol gan burchaklarni toping.
4.  Agar 5-rasmda 2 = 6 = 630 bo4lsa, qolgan 
burchaklarni toping.
5.  5-rasmda 3=5 bo4lsa, 4=6 bo4ladimi? 
Agar 1=7 bo4lsa, 2=8, 3=5, 4=6 
tengliklar bajariladimi? Javobingizni asoslang. 
6.   Ichki bir tomonli burchaklar o4zaro teng bo4lishi 
mumkinmi?
7.*  Ichki almashinuvchi burchaklar teng bo4lsa, 
ichki bir tomonli burchaklar yig4indisi 1800 
ga tengligini ko4rsating. Teskari  tasdiq ham 
to4g4rimi? Ya’ni bir tomonli burchak lar yi-
g4indisi 1800 ga teng bo4lsa, almashinuvchi 
burchaklar o4zaro teng bo4ladimi?
8.*  Agar ikki to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan 
bir juft mos burchaklar o4zaro teng bo4lsa, 
ikkinchi juft mos burchaklar ham teng bo4lishini 
isbotlang.
4
1
2
3 4
5 6
7
8
650
650
9.   6-rasmdagi  1, 2, 3, 4, 5 va 6 bur chaklarni toping.
10.  Daftaringiz chiziqlaridan foydalanib ikkita parallel to4g4ri chiziq chizing. Ular ni 
kesib o4tadigan (perpendikulyar emas) uchinchi to4g4ri chiziq chizing. Hosil 
bo4lgan 8 ta burchakni transportir bilan o4lchang.
Savol, masala va topshiriqlar
Misrda mil. avv. III asrda hukm surgan Ptolemey I ismli podshoh Evkliddan 
geometriya bo‘yicha saboq olmoqchi bo‘libdi. Bir necha mashg‘ulotdan so‘ng u 
qiynalib ketib, ustozidan so‘rabdi: «Menga osonroq yo‘lini ko‘rsata olmaysizmi?» 
Shunda Evklid: «Geometriyaga shohona yo‘l yo‘q!» – deb javob bergan ekan.
Tarixiy lavha
81

82
Ikki to4g4ri chiziqning parallelligini qanday aniqlash mumkin? Quyidagi teo-
rema va bu teoremaning natijalari bu savolga javob beradi. Shuning uchun ular 
ikki to4g4ri chiziqning parallellik alomatlari deb yuritiladi.
1
1
a
b
c
2
4 3
5 6
8 7
1-rasmda 
a
 va 
b
 parallel to4g4ri chiziqlar va 
c
 
kesuvchi tasvirlangan. Quyidagi topshiriqlarni bajaring 
va savollarga javob bering.
1.  Barcha almashinuvchi burchaklar juftlarini yozing 
va ularni transportirda o4lchang. Har bir juft al-
mashinuvchi burchaklarning gradus o4lchovlari 
haqida nima deya olasiz?
2.  Barcha bir tomonli burchaklar juftlarini yozing va ularni transportirda o4lchang. 
Har bir juft bir tomonli burchaklar gradus o4lchovlarining yig4indisi haqida 
nima deya olasiz?
3.  Barcha mos burchaklar juftlarini yozing va ularni transportirda o4lchang. Har 
bir juft mos burchaklarning gradus o4lchovlari haqida nima deya olasiz?
Isbot.
 1) 1 va 2 ichki almashinuvchi burchaklar 
to4g4ri bo4lsin (2-rasm).
 
Bu holda 
AB
 to4g4ri chiziq 
a
 
va 
b
 to4g4ri chiziqlarga perpendikulyar bo4ladi. 
Unda 
a
 va 
b
 to4g4ri chiziqlar o4zaro paralleldir (78-betdagi 
teoremaga ko4ra).
2) Endi 1 va 2 burchaklar to4g4ri bo4lmagan 
holni ko4ramiz. 
AB
 kesmaning o4rtasi 
O
nuqta bo4lsin: 
AO
=
BO
. 
O
 nuqtadan 
a
 to4g4ri chiziqqa 
OC
 perpendi-
kulyar tushiramiz (3-rasm). U 
b
 to4g4ri chiziqni 
D
 
nuqtada kesib o4tsin. 
AOC
 va 
BOD
 uchburchak lar ni 
qaraymiz.
Ularda: 1) 3 = 4 # chunki vertikal burchaklar; 
2) 
AO
=
BO – 
yasashga ko4ra;
3) 1 = 2 
–
 shartga ko4ra.
2
a
b
A
B
1
2
3
a
b
C
D
A
B
1
2
3
4
5
6
O
Faollashtiruvchi mashq
Agar ikki to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan 
ichki almashinuvchi burchaklar teng bo4lsa, u 
holda bu ikki to4g4ri chiziq o4zaro paralleldir.
IKKI TO‘G‘RI CHIZIQNING PARALLELLIK ALOMATLARI
34
Unda uchburchaklar tengligining BTB alomatiga ko4ra 
AOC
 = 
BOD
 bo4ladi. 
Xususan, 5 = 6.
82

83
Masala.
  Agar 1-rasmda 2= 550 va 5 =1250 
bo4lsa, 
a
 va 
b
 to4g4ri chiziqlar o4zaro parallel 
bo4ladimi?
Yechilishi:
  2 va 4 vertikal burchaklar bo4lgani 
uchun  4 = 2 = 550.  5 va 6 qo4shni bo4lgani 
uchun  6 = 1800#5 =1800 # 1250 = 550. Natijada, 
ichki almashinuvchi burchaklar o4zaro teng ekanligini 
aniqlaymiz: 4=6. Demak, yuqorida isbotlangan ikki 
to4g4ri chiziqning parallellik alomatiga ko4ra  
a
 va 
b
 
to4g4ri chiziqlar parallel bo4ladi.   
Javob:
 
Ha.
5
a
b
650
650
1.  Ikki to4g4ri chiziqning parallellik alomatini izohlang.
2.  Teoremani mustaqil isbotlang.
3.  Teorema isbotini xulosalashga harakat qiling.
4.  4-rasmda 
a
||
b
 bo4lishini ko4rsating.
5. 5-rasmda 
a
||
b
 bo4lishini ko4rsating.
6. 6-rasmda 
a
||b bo4lishini ko4rsating.
7.  Agar 1-rasmda: a) 1=1320, 8 = 480 b) 2 = 360, 
5 =1440 c) 3 = 1030, 6 = 770 d) 1 + 7 =1800 
bo4lsa, 
a
||
b
 bo4ladimi?
8.  Agar 7-rasmda: a) 3=4, 
BD
=
CE
, 
AB
=
EF
;              
b)  1 =2,  3 =4, 
BD
=
CE
; c) 
AB
=
EF
,
 
BD
=
EC
, 
AC
=
FD
 bo4lsa, 
ABC
=
EFD
 ekanli -
gi ni ko4r sating.
9*. 
a
 to4g4ri chiziq va unda yotmagan 
K
 nuqta berilgan. 
K
 nuqta orqali to4rtta to4g4ri chiziq o4tkazildi. Bu 
to4g4 ri chiziqlardan nechtasi 
a
 to4g4ri chiziq bilan 
kesisha di, javobingizni izohlang.
10. 8-rasmdagi parallel to4g4ri chiziqlarni toping.
7
8
A
B
C
D
E
F
1
2
4
3
a
b
6
700
1100
4
a
b
600
600
Bunda esa 6 ham 5 kabi to4g4ri burchak ekanligi 
kelib chiqadi. Shunday qilib, 
a
 va 
b
 to4g4ri chiziqlar 
bitta 
CD
 to4g4ri chiziqqa perpendikulyar. Demak, ular 
o4zaro paralleldir.
Teorema isbotlandi.
a
b
c
d
710
700
710
700
Savol, masala va topshiriqlar
Chizg‘ichning ikki qirrasi o‘zaro parallelmi yoki yo‘qmi — aniqlash usuli:
ag‘darib ko‘ramiz:
agar ag‘darganda chizg‘ich qirrasi chiziq ustiga tushmasa, parallel emas, degan 
xulosa chiqadi.
83

84
Teoremadan to4g4ridan-to4g4ri kelib chiqadigan 
xossa 
natija
 deyiladi.
Oldingi mavzuda isbotlangan teoremadan kelib 
chiqadigan natijalar bilan tanishamiz.
Vertikal burchaklarning tengligidan foydalansak, 
quyidagi natijaga ega bo4lamiz.
1-natija.
 Agar ikki to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil 
qilgan bir juft mos burchak teng bo4lsa, u holda bu ikki 
to4g4ri chiziq parallel bo4ladi (1-rasm).
Qo4shni burchaklar yig4indisi 1800 ga tengligidan 
foydalansak, quyidagi natijaga ega bo4lamiz.
2-natija.
 Agar ikki to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil 
qilgan bir juft ichki bir tomonli burchak yig4indisi 1800 
ga teng bo4lsa, u holda bu ikki to4g4ri chiziq parallel 
bo4ladi (2-rasm).
Masala.
  3-rasmdagi to4g4ri chiziqlarning qaysilari parallel?
Yechilishi:
 Vertikal burchaklar tengligidan, 1 = 1050, 2 = 1250, 3 = 1150.  
a
 va 
b
 to4g4ri chiziqlar parallel emas, chunki 1 + 650 = 1050 + 650

1800.
a
||
d
 bo4ladi, chunki, 1 + 750 = 1050 + 750 = 1800 (2-natijaga qarang). 
1
b
a
2
1
1 = 2    
a
||
b
2
b
a
2
1
1 + 2 = 1800  
a
||
b
3
1050
650
1250
750
1150
a
b
c
d
e
1
2
3
4
a
b
360
x

4x
Masala.
  4-rasmda a||b  bo4ladimi?
Yechilishi:
 Vertikal burchaklarning xossasiga ko4ra 
x
=360. Unda 
α
= 4
x
= 4360=1440 bo4ladi. Bir tomonli 
burchaklar yig4indisi 
x
+
α
=360+1440=1800. Demak, 
2-natijaga ko4ra 
a
||
b
 bo4ladi.
Javob: 
Ha.
Xuddi shunday 
b
||
e
 bo4ladi, chunki 650+3 = 650+  
+1150 = 1800. 
a
, 
c
 va 
e
 to4g4ri chiziqlar o4zaro parallel emas, 
chunki ularning mos burchaklari teng emas (1-natijaga 
qarang). 
Xuddi shunday 
b
 va 
d
 to4g4ri chiziqlar ham parallel 
emas, chunki mos burchaklar teng emas: 650

750.
Javob: 
a
||
d
, 
b
||
e
.
Bu natijalarda mos burchaklar ichkimi yoki tashqimi # ahamiyati yo4q. Buni 
ko4rsating.