Geometriya 7 toshkent œyangiyo4l poligraf servisb

2.   Geometrik masalalarning turlarini aytib bering.
 
 Darslikning quyidagi betlaridagi masalalarni bosqichlarga ajratib yeching:
3. 23-bet, 7-masala.
4.  45-bet, 5-masala.
5. 72-bet, 7-masala.
6. 85-bet, 6-masala.
7. 93-bet, 8-masala.
8. 93-bet, 9-masala.
9. 117-bet, 5-masala.
10. 118-bet,  10-masala.
11. 138-bet,  8-masala.
Savol, masala va topshiriqlar
1.  Masalani tushunish bosqichi.
Mashq. Bu farazni isbotlang.
Tabiiy savol tug4iladi: agar uchburchak turli tomonli bo4lsa-chi?
Mashq. Ixtiyoriy uchburchak tomonlarining o4rtalari kesmalar bilan 
tutashtirilsa, to4rtta o4zaro teng uchburchak hosil bo4lishini ko4rsating 
(2-rasm)
.
145

146
Hisoblashga doir masalalar arifmetik va algebraik masalalarga o4xshab ketadi. 
Turli geometrik formulalar yordamida, berilgan sonli kattaliklar asosida ketma-ket 
hisob-kitob ishlari bajariladi va izlanayotgan kattalik topiladi.
Bu masalalarda ko4pincha chizmani to4g4ri chizib olish va kerakli belgilashlarni 
kiritish ishni ancha osonlashtiradi.
1-masala.
 Qo4shni burchaklardan birining bissektrisasi ikkinchi burchakning 
tomonlaridan biri bilan 200 li burchak hosil qiladi. Shu burchaklarni toping.
Yechilishi.
 Masala shartini chizmada tasvirlaymiz 
(1-rasm). Bundan 
OE
 bissektrisa o4tkir burchakning 
bissektrisasi ekanligi ma’lum bo4ladi. Demak, 

BOC
= 2  200 = 400,  
AOB
= 1800# 400 = 1400 
bo4ladi.
2-masala.
 
ABC
 to4g4ri burchakli uchburchakda 
C
 # to4g4ri burchak, 
A
  uchidagi tashqi burchak 1200 ga teng. Agar 
AC
+
AB
= 18  sm bo4lsa, 
uchburchakning gipotenuzasini toping.
Yechilishi.
  Masala shartiga binoan chizmani 
tas virlaymiz (2-rasm). Uchburchak tashqi burchagi-
ning ta’rifidan, 
A
= 1800 # 1200= 600,  
B
= 900 #
# 
A
= 300 ekanligini aniqlaymiz. 
AC
=
b
, 
AB
=
c
 
bo4lsin. U holda 
b
+
c
= 18. O4tkir burchagi 300 ga 
3-masala.
 
ABC
 uchburchakda 
AB
=1, 
A
 burchakning bissektrisasi 
B
 uchdan 
tushirilgan medianaga perpendikulyar. Agar 
BC
 tomonning uzunligi butun 
son bilan ifodalansa, uchburchakning perimetrini toping.
1
A
O
C
E
B
200
2
A
C
B
600
300
1200
b
c
teng bo4lgan to4g4ri bur 
chakli uchburchakning xossasiga ko4ra, 
c
= 2
b
  bo4ladi. 
Bundan 
b
+
c
=
b
+ 2
b
= 18, ya’ni 
b
= 6. Unda 
c
= 12 ekanligi ma’lum bo4ladi.  
Javob: 
12 sm.
Yechilishi.
  Masala shartini chizmada tasvirlaymiz (3-rasm): 
AK
=
KC
. 
AN

BK
.  
ANB
= 
ANK
 ekanligini aniqlaymiz, chunki 
AN
 katet umumiy 
va bittadan burchaklari teng (katet va unga 
yopishgan o4tkir burchak bo4yicha). Bundan esa 
AB
=
AK
=
KC
= 1, ya’ni 
AC
= 1 + 1 = 2 ekanligi 
ma’lum bo4ladi. 
BC
=
x
 # butun son, uchburchak tengsizligiga 
ko4ra 2 +1>
x
 va 
x
+ 1> 2, yoki 
x
< 3 va 
x
> 1, ya’ni l <
x
< 3 bo4lishi kerak. 1 bilan 
3 ning orasida bitta butun son bor: 2. Demak. 
BC
= 2 va P
ABC
= 1+ 2 + 2 = 5. 
Javob:
 5
3
A
C
B
N
K
HISOBLASHGA DOIR MASALALAR
62
146

147
1. 
AB
 kesma uzunliklari 1: 2 : 3 : 4 kabi nisbatdagi kesmalarga (shu ketma-ketlikda) 
ajratilgan. Agar chetki kesmalarning o4rtalari orasidagi masofa 15 
sm
 ga teng 
bo4lsa, 
AB
 kesmaning uzunligini toping.
2.  
ABC
= 1600 bo4lgan burchakning uchidan shu burchak tomonlari orasida 
yotuvchi 
BO
 va 
BE
 nurlar chiqarilgan. Agar 
BO
 
nur berilgan burchakni teng ikkiga, 
BE
 nur esa 
3 : 5 kabi nisbatda bo4lsa, 
OBE
 burchakni toping.
3. 
AOB
 burchak 
OC
 nur orqali biri ikkinchisidan 
300 ga katta bo4lgan ikkita burchakka ajratilgan. 
Berilgan burchak bissektrisasi bilan 
OC
 nur 
orasidagi burchakni toping. 
4.  Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi 
300 ga teng. Shu uchburchakning yon tomoni 
va ikkinchi yon tomoniga tushirilgan balandligi 
orasidagi burchakni toping. 
5.  Uchburchakning bir tashqi burchagi 1000, unga 
qo4shni bo4lmagan burchaklar nisbati 2:3 kabi. 
Uchburchakning burchaklarini toping.
6. 
A
, 
B
, 
C
, 
D
 nuqtalar ko4rsatilgan tartibda bir 
to4g4ri chiziqda yotadi va 
AB
=
BC
= 1, 
CD
= 2. 
K
 nuqta 
BC
 kesmada shunday joylashganki, u 
BC
 
va 
AD
 kesmalarni bir xil nisbatdagi bo4laklarga 
bo4ladi: 
BK
: KC = AK : KD
. Bu nisbatlarni 
toping.
4
A
C
B
D
E
F
O
5
B
C
A
D
x
α
α
7.  Uchburchak ikkita burchagining bissektrisalari kesishgandan hosil bo4lgan 
burchak 1280 ga teng. Uchburchakning uchinchi burchagini toping.
8.  Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 960 ga teng. Asosidagi bur-
chaklarning bissektrisalari kesishishidan hosil 
bo4lgan o4tkir burchakni toping.
9.  To4g4ri burchakli uchburchakning to4g4ri 
burcha gi dan bissektrisa va balandlik chiqarilgan 
bo4lib, ular orasidagi burchak 240 ga teng. 
Uchburchak ning qolgan burchaklarini toping.
10.   Agar  4-rasmda 
AB
= BC
,  
ABC
= 500, 
AE
 va 
CF
 # bissektrisalar bo4lsa, u holda 
AOB
, 
EOC
 
burchaklarni toping.
11.   Agar  5-rasmda 
AB
=AC
, 
AD
=DC
 bo4lsa, 
x 
ni 
toping.
12.   Agar  6-rasmda 
AB
=AC
, 
BD
=
BC
 bo4lsa, 
x 
ni toping.
6
B
C
A
D
210
x
Savol, masala va topshiriqlar
147

148
Isbotlashga doir masalalar o4ziga xos kichkina teoremalardir. Ularni yechish 
masalada keltirilgan tasdiqni isbotlashdan iborat bo4ladi. Misol tariqasida quyidagi 
masalalarni olaylik.
1-masala.
  Qo4shni burchaklarning bissektrisalari o4zaro perpendikulyar 
ekanligini isbotlang.
2-masala.
 2a-rasmda tasvirlangan 
ABCD
 to4rtburchakda 

δ
=
α
+
β
+
γ
 
ekanligini isbotlang.
Isboti.
 
OO
1
 va 
OO
2
 bissektrisalar ajratgan bur-
chaklarni mos ravishda (1-rasmda tasvirlangandek) 
va   deb belgilaymiz. U holda, 2
α
+ 2
β
= 1800, 
yoki 
α
+
β
= 900, ya’ni

O
1
OO
2
=
α
+
β
= 900.
Demak, 
OO
1

OO
2
. Shuni isbotlash talab qilin-
gan edi.

AOC
 va 
BOC
 O qo4shni burchaklar, 
OO
1
 va 
OO
2
 # bissektrisalar (1-rasm).
OO
1

OO
2
.
1
B
A
O
O
2
O
1
C
α
α
β
β
2
Isboti.
 
AD
  tomonni davom ettirib 
BC
 
tomon bilan kesishgan nuqtasini 
E
  bilan 
belgilaymiz va burchaklar uchun zarur 
belgilashlarni kiritamiz (2b-rasm). Ma’lumki 
α
+
β
+
x
= 1800 va 
y
+
z
+
γ
= 1800. Bu 
tengliklarni qo4shib,
α
+
β
+
γ
+
x
+
y
+
z
= 3600
tenglikka ega bo4lamiz. Qo4shni burchakning 
xossasiga ko4ra, 
x
+
y
=1800 bo4lgani uchun 
α + β +
γ
+1800+
z
= 3600, 
yoki
α
+
β
+
γ
= 1800 #
z
=
D
,
ya’ni
 
D
=
α
+
β
+
γ
=
A
+ 
B
+
C
 bo4ladi. 
Tenglik isbotlandi.
Geometriyada jumlalar aniqligi va ix-
chamligining ahamiyati to4g4risida aytib 
o4tilgan edi. Matematika masalalarini ye-
chishda ham bu ikki talab muhim. Buning 
uchun masalani yechib bo4lgach, yechim 
A
D
α
α
β
β
γ
γ
y
x
z
δ
δ
D
A
C
C
B
B
a)
b)
ISBOTLASHGA DOIR MASALALAR
63
ustida yana mulohaza qilish, &Yechim ni soddalashtirib bo4lmasmikan?[ kabi 
savollar ustida fikrlash foydali.
148

149
1.   Uchburchakning bir burchagi o4ziga qo4shni bo4lmagan tashqi burchaklarning 
ayirmasiga teng. Bu uchburchakning to4g4ri burchakli uchburchak ekanligini 
isbotlang.
2.   Bir burchagi 1500 bo4lgan teng yonli uchburchakning asosidagi uchlaridan 
tushirilgan balandliklari teng bo4lishini isbotlang.
3.   Teng tomonli uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida 2 : 1 nisbatda 
bo4linishini isbotlang.
4.   Teng yonli uchburchakning uchidagi tashqi burchagi bissektrisasi uchburchak 
asosiga parallel bo4lishini isbotlang.
5.   4-masalaga teskari teoremani ifodalang va uni isbotlang.
6.   Teng tomonli uchburchakning ixtiyoriy ikkita medianasi 600 li burchak ostida 
kesishishini isbotlang.
7*
.   Uchburchaklarning tengligini ularning ikki tomoni va uchinchi tomonga 
tushirilgan medianasi bo4yicha isbotlang.
8.   
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
BM
 va 
B
1
M
1
 medianalar o4tkazilgan. Agar 
AB
=
A
1
B
1
, 
AC
=
A
1
C
1
 va 
BM
=
B
1
M
1
  bo4lsa,  
ABC
= 
A
1
B
1
C
1
 ekanligini 
isbotlang.
9*
.   
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
AD
, 
A
1
D
1
# bissektrisalar. Agar 
AB
=
A
1
B
1
, 
BD
=
B
1
D
1
 va 
AD
=
A
1
D
1
 bo4lsa, 
ABC
= 
A
1
B
1
C
1
 
ekanligini ko4rsating.
10*
.  
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 uchburchaklarda 
BH
 va 
B
1
H
1
 balandliklar o4tkazilgan. Agar 

A
=
A
1
, 
B
=
B
1
 va 
BH
=
B
1
H
1
 bo4lsa, 
ABC
= 
A
1
B
1
C
1
 bo4lishini isbotlang. 
11.   Uchburchakning ikkita balandligi teng bo4lsa, uning teng yonli uchburchak 
ekanligini isbotlang.
12*.  3-rasmda 
α
+
γ
=
β
+
δ
= 900 ekanligini isbotlang. 
13*.   4-rasmda 
α
<
β
<
γ
 ekanligini isbotlang.
3
4
A
B
C
α
α
β
β
δ
δ
γ
γ
α
β
γ
Savol, masala va topshiriqlar
Xususan, 2-masalada 
δ
 burchagi 
CDE 
uchun tashqi burchak. Bu kuzatuv 
&Uchburchakning tashqi burchagi unga qo4shni bo4lgan ikki burchak yig4indi siga 
teng[ degan xossani tadbiq etishga undaydi: 
δ= y+ γ
Ammo u 
ABC
 ning tashqi burchagi, demak 
y
= α+ β
. Shuning uchun 
δ= α+ β+ γ .
149

150
1. Geometrik diktant. Jumlalarni mohiyatidan kelib chiqib to4ldiring:
1.  Tekislikda .............. orqali bitta to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin.
2.  Burchakning ............ burchakni ikkita o4zaro teng burchakka ajratadi.
3.  Kesmani o4rtasi uni ikkita ............ ajratadi.
4. Tekislikda to4g4ri chiziqqa tegishli bo4lgan ............ ham, tegishli 
bo4lmagan ............ ham mavjud.
5.  Agar uchburchak teng yonli bo4lsa, ............ burchaklari teng bo4ladi.
6.  Ikkita teng uchburchaklarning mos ............ va mos ............ teng bo4ladi.
7.  Teng tomonli uchburchakning har bir ............ gradusga teng.
8.  To4g4ri burchakli uchburchakning o4tkir ............ 900 ga teng.
9.  Yoyiq burchak bissektrisasi uni ikkita ............ burchakka ajratadi.
10. Uchinchi to4g4ri chiziqqa parallel bo4lgan ikkita to4g4ri chiziq ............ 
bo4ladi.
11. Bir to4g4ri chiziqqa perpendikulyar bo4lgan ikkita to4g4ri chiziq ............ 
bo4ladi.
12. Parallel to4g4ri chiziqlarni kesuvchi bilan kesganda, hosil bo4lgan ichki 
bir tomonli burchaklar ............ bo4ladi.
13. Kesma uchlaridan teng ............ kesmaning o4rta perpendikulyarida yotadi.
14. Aylanadagi nuqtalar aylana markazidan teng ............ .
2. Quyida keltirilgan jumlalarda xato bo4lsa, uni toping va tuzating:
1.  Tekislikda ikkita nuqta orqali ikkita to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin.
2.  To4g4ri burchak 1800 ga teng bo4ladi.
3.  Qo4shni burchaklar teng bo4ladi.
4.  Vertikal burchaklar yig4indisi 1800 ga teng.
5.  Uchburchakning uchi bilan shu uchi qarshisidagi tomonining o4rtasini 
tutashtiruvchi kesma, uchburchakning bissektrisasi deyiladi.
6.  Uchburchakning perimetri deb, uning burchaklari yig4indisiga aytiladi.
7.  Uchburchak tomonlarining yig4indisi 1800 ga teng.
8. 900 ga teng burchak ostida kesishgan to4g4ri chiziqlar parallel deyiladi.
9.  Parallel to4g4ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi.
10. To4g4ri burchakli uchburchakning katetlari teng bo4lsa, uning kichik 
burchagi 300 ga teng bo4ladi.
11. Teng yonli uchburchakning har bir burchagi 600 ga teng.
12. Burchak bissektrisasida yotgan nuqtalar burchak uchlaridan teng 
uzoqlikda yotadi.
TAKRORLASHGA DOIR
TOPSHIRIQ VA MASALALAR
64-65
150

151
3. Berilgan xossaga ega bo4lgan geometrik shaklni daftaringizga yozing:
1. Uzunligi 5 sm. 
 
2. Kesishmaydigan to4g4ri chiziqlar.
3. Nuqta va uchlari shu nuqtalarda bo4lgan ikkita nurdan iborat.
4. Uchidan chiqqan balandligi ham medianasi ham bissektrisasi bo4ladi.
5. Ikkita tomoni teng uchburchak.   
6. Ikkita kateti bor.
7. Burchakni ikkita teng burchakka ajratadi.
8. Hamma tomonlari teng uchburchak.
9. Ikki burchagining yig4indisi 900 dan katta bo4lgan uchburchak.
4. Birinchi ustunda berilgan geometrik tushunchaga ikkinchi ustundan 
tegishli xossa yoki talqinlarni mos qo4ying:
Geometrik tushuncha
Talqin, xossa
1.  Perpendikulyar to4g4ri chiziqlar A. Tayin uzunlikka ega
2.  Teng tomonli uchburchak
B. Ikkita burchagi teng
3.  Aylana
C. Gipotenuzaning yarmiga   teng
4.  Burchak bissektrisasidagi nuqta D. Uchi bilan qarshisidagi tomon o4rtasini 
tutashtiradi
5.  Uchburchak balandligi
E. Bitta ichki burchagiga qo4shni va qolgan 
ikkita burchagi yig4indisiga teng
6. 300 li burchak qarshisidagi katet F. Kesishmaydi
7. Mediana
G. 
900 li burchak ostida kesishadi
8.  Uchburchak tashqi burchagi
H. Tomonlari teng
9.  Teng yonli uchburchak
I.  Nuqtalari markazidan teng uzoqlashgan
10. Kesma
J.  Uning tomonlaridan teng uzoqlikda yotadi
11. Parallel to4g4ri chiziqlar
K. Bir uchidan o4tadi va bir tomoniga per-
pendikulyar
1.  1-rasmni geometriyaga bog4lagan holda tavsiflab bering.
2.  2- va 3-rasmlardan foydalanib geometrik shakllarning qoraqalpoq xalq 
amaliy san’atidagi o4rni haqida gapirib bering.
3.  4-rasmdagi tabiat in’omlarining shakllaridagi o4ziga hoslik haqida gapirib 
bering. Ularning shakllarining noodatiyligida qandaydir afzalliklar bormi?
4.  5-rasmdagi shaklni mustaqil yasang.
5.  6-rasmdagi derazalarni yasashda qanday geometrik shakllardan foydala-
nilgan.
6.  7-rasmdagi panjaralarning chizmalarini mustaqil chizing.
143-betdagi VII bob tituli bo4yicha
151

152
1.  Ikki parallel to4g4ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan almashinuvchi 
burchaklarning bissektrisalari parallel bo4lishini isbotlang.
2.  Uchburchakning istalgan bir tomoni uning qolgan ikki tomoni 
ayirmasidan katta bo4lishini isbotlang. 
3.  Uchburchakning burchaklari uchun α < β + γ,  β<α + γ,  γ < α + β munosa-
batlar o4rinli bo4lsa, bu qanday uchburchak bo4ladi?
4.  Berilgan ikki nuqtadan o4tuvchi aylana yasang. Masala nechta yechimga 
ega?
5.  ABC uchburchakning AA
1
 va  BB
1
 bissektrisalari O nuqtada kesishadi. 
Agar a) AOB = 1360;  b) AOB = 1110 bo4lsa, ACB burchakni toping.
6.  1-rasmda tasvirlangan kubda BD=6 bo4lsa, BE=?,  DE=?, AC=?, BED=?
7. Perimetri 42 sm bo4lgan ABC uchburchakning medianasi uni perimetri 
33  sm va 35 sm bo4lgan ikkita uchburchakka ajratadi. Mediananing 
uzunligini toping.
8.  To4g4ri burchakli uchburchak o4tkir burchaklarining bissektrisalari 
qanday burchak ostida kesishadi?
9.  2-rasmda 1 = 2 ekanligini isbotlang.
10.   MN va NM nurlarining umumiy qismi qanday shakl bo4ladi?
11.   A,  B va C nuqtalar bir to4g4ri chiziqda yotadi. Agar  AB  = 2 sm,            
BC = 3 sm va AC =5 sm bo4lsa, B nuqta AC kesmaga tegishli bo4ladimi? 
Javobingizni asoslang.
12.   A nuqta BC to4g4ri chiziqning B va C nuqtalari orasida yotadi. Agar 
BC = 15 sm, AC kesma esa AB kesmadan 3 sm ga qisqa bo4lsa, AB 
kesmaning uzunligini toping.
13.   600 va 300 li burchaklar yasang. 
14.   Aylananing o4zaro perpendikulyar diametrlarini yasang.
1
2
A
E
D
C
B
A
D
C
B
α
α
β
β
1
2
5. Masalalar
152

153
15.   Qo4shni burchaklardan biri ikkinchisidan 4 marta kichik bo4lsa, shu 
burchaklardan kattasini toping. 
16.   Ikki to4g4ri chiziqning kesishishidan hosil bo4lgan burchaklarning nisbati 
7:3 ga teng. Shu burchaklardan kichigini toping.
17.   A, B va C nuqtalar bir to4g4ri chiziqda yotadi. BC kesmaning uzunligi 
AC kesmaning uzunligidan 3 marta katta, AB kesmaning uzunligi esa 
BC uzunligidan 3,6 sm ga qisqa. AC kesmaning uzunligini toping.
18.   Ikki to4g4ri chiziqni uchinchi to4g4ri chiziq kesganda tashqi bir tomonli 
burchaklarning yig4indisi 1800 ga teng bo4lsa, bu to4g4ri chiziqlarning 
o4zaro parallel ekanligini isbotlang.