Geometriya 7 toshkent œyangiyo4l poligraf servisb

MASALALAR YECHISH
58
136

137
20.   Teng  yonli 
ABC
 uchburchakning (
AB
=
BC
) 
uchidagi burchagi 1200 ga teng, 
CK
 # 
bissektrisa, 
AK
=14 sm. 
K
 nuqtadan 
BC
 to4g4ri 
chiziqqacha masofani toping.
21.   Uzunligi 
a + b,  b + с
 va 
a + c
 kesmalar berilgan. 
a, b, c 
kesmalarni yasang.
22.  Ikkita kateti bo4yicha to4g4ri burchakli 
uchburchak yasang.
23.  To4g4ri chiziq chizing va unda yotmagan 
nuqta belgilang. Shu nuqtadan o4tuvchi va 
shu to4g4ri chiziqqa perpendikulyar to4g4ri 
chiziq yasang.
24.  To4g4ri chiziq chizing va unda yotmagan 
nuqta belgilang. Shu nuqtadan o4tuvchi va 
shu to4g4ri chiziqqa parallel to4g4ri chiziq 
yasang.
25.   1-rasmda  
B
=600, 
BD
=
BE
, 
FK
||
DE
. 
BDE
 
va 
BKF
 uchburchaklar teng tomonli ekanini 
isbotlang.
26.  2-rasmda 
a
 va 
b 
to4g4ri chiziqlar parallel. 
AB

b
, 
DC

a
,
 AE
=
EC
. 
BED
 uchburchak teng 
yonli ekanligini isbotlang.
1
2
3
a
A
E
C
D
B
b
B
60°
D
E
K
F
1.  1-rasmda Qadimgi Misrda geometrik shakl chizish jarayoni tasvirlangan. 
Chizmachilar qanday asboblardan foydalanmoqdalar va qanday geometrik 
shaklni chizmoqdalar?
2.  2-rasmda xalqimizning milliy amaliy san’ati buyumlari tasvirlangan. Ularni 
yasashda qanday geometrik shakllar asos qilib olingan.
3.  3-rasmdagi geometrik shakllarni mustaqil yasang.
4.  4-rasmdagi eshik chizmasini chizishda qanday asboblardan foydalanilgan? 
Eshik chizmasini mustaqil ravishda qayta chizing.
5.  5-rasmdagi yer o4lchovchilar o4z faoliyatida qanday asboblardan foydalani-
shadi?
6. Kiyimlar bichimi shakliga qarab har xil geometrik shakllar bilan bog4lab 
nomlanadi. Masalan, "kvadrat shaklidagi palto" kabi. 6-rasmdagi kiyimlar 
bichimlarini o4zingiz nomlang va bu shakllarni mustaqil yasang.
123-betdagi VI-bob tituli bo4yicha
Geometrik boshqotirma
Shohjahon dadasining yozuvlari ichidan 3-rasmda tasvirlangan chizmani 
topib oldi. Afsuski, bu burchakning bir qismiga siyoh to4kilib, o4chib ketgan ekan. 
Shohjahon bu burchakning bissektrisasini yasay oladimi?
137

138
1.  Ixtiyoriy tekislikda biror burchak yasang. Shu burchakka teng boshqa burchak 
chizing.
2.  Ixtiyoriy tekislikda biror burchak yasang. Uning bissektrisasini chizing.
3.  To4g4ri chiziq chizing va unda yotmagan nuqta belgilang. Shu nuqtadan o4tuvchi 
va shu to4g4ri chiziqqa perpendikulyar to4g4ri chiziq yasang.
4.  To4g4ri chiziq chizing va unda yotmagan nuqta belgilang. Shu nuqtadan o4tuvchi 
va shu to4g4ri chiziqqa parallel to4g4ri chiziq yasang.
5.  Biror kesma chizing va uni teng ikkiga bo4ling.
6.  Uchta kesma chizing. Tomonlari shu kesmalarga teng bo4lgan uchburchak 
yasang.
7.  Biror uchburchak yasang. Uning bitta a) medianasini; b) bissektrisasini; 
          
c) balandligini chiqaring.
8. 
A
, 
B
, 
C
 nuqtalar bir to4g4ri chiziqda yotadi. Agar 
AB
=2,7 m va 
AC
=3,2 m 
bo4lsa, 
BC 
kesma uzunligini toping. Masala nechta yechimga ega?
9. 
MK 
kesmada ixtiyoriy 
P
 nuqta olingan. 
MP 
va 
PK 
kesmalarning o4rtalari mos 
ravishda 
N
 va 
L
 nuqtalar. 
NL 
kesma uzunligi 
MK 
kesma uzunligining yarmiga 
tengligini isbotlang.
10. 
b
 to4g4ri chiziqda 
A
, 
E
 va 
F
 nuqtalar belgilangan. Agar 
AF
=8 va 
AE
+
AF
=14  
bo4lsa, 
AE
 va 
EF
 kesmalarning uzunligini toping. Uchta nuqtadan qaysi biri 
qolgan ikkitasining orasida yotadi?
11. 
AB
 nurdan turli yarim tekisliklarga 
BAC 
va 
BAD 
burchaklar qo4yilgan. Agar: 
a)  
BAC
=800,  
BAD
=1700; b) 
BAC
=870,  
BAD
=980; c) 
BAC
=1400, 

BAD
=300; d) 
BAC
=600, 
BAD
=700 bo4lsa, 
CAD 
burchakni toping.
12. 
AOB
 va 
COB 
qo4shni burchaklarning umumiy tomoni 
OB 
yotadigan yarim 
tekislikda 
OD 
nur o4tkazilgan. 
OD 
nur yoki 
AB 
kesma bilan, yoki 
BC 
kesma 
bilan kesishishini isbotlang. Agar 
AOD 
burchak 
AOB 
burchakdan kichik (katta) 
bo4lsa, 
OD 
nur kesmalardan qaysinisi kesadi? Javobingizni tushuntiring.
13. 
MNP 
va 
SKT 
uchburchaklar teng, jumladan 
MP
=
ST
, 
M
=
S
, 
MN
=17 dm, 

K
=700.
 a) 
N
 burchakni va 
SK 
kesmani toping.
 b) 
SKT 
uchburchakning perimetri 
MNP 
uchburchak perimetridan katta bo4lishi 
mumkinmi?
14. Asosi 
AB 
bo4lgan 
ABC 
teng yonli uchburchakning 
CM
 medianasida 
O
 nuqta 
olingan. 
AOB 
uchburchakning teng yonli ekanligini isbotlang.
15. 
C
 va 
D
 nuqtalar 
AB 
to4g4ri chiziqdan turli tomonda joylashgan va 
AD
=
AC
, 
BD
=
BC 
bo4lsa, 
AB 
nur 
DAC 
burchakning bissektrisasi ekanligini isbotlang.
16. Aylananing o4zaro perpendikulyar ixtiyoriy ikkita diametrini yasang.
BOB BO‘YICHA TAKRORLASH
59
138

139
17. a) Aylananing o4zaro perpendikulyar bo4lgan ixtiyoriy ikkita vatarini yasang.
 
b) Diametri berilgan kesmaga teng bo4lgan aylana yasang.
18. Uchburchaklarning bir burchagi, shu burchak bissektrisasi va shu burchakka 
yopishgan tomoniga, mos ravishda, teng bo4lsa, bu uchburchaklar teng 
bo4lishini isbotlang.
19. 
ABC
 va 
A
1
B
1
C
1
 teng uchburchaklarda: a) 
A
 va 
A
1
 uchlardan o4tkazilgan 
medianalar tengligini; b) 
B
 va 
B
1
 uchlardan o4tkazilgan bissektrisalar tengligini 
isbotlang.
20. 
ABC
 va 
ABC
1
 uchburchaklar umumiy asoslari 
AB
 kesmadan iborat teng yonli 
uchburchaklardir. 
ACC
1
 va 
BCC
1
 uchburchaklarning tengligini isbotlang.
21. 
A
1
B
1
C
1
 uchburchak 
ABC 
uchburchakka teng, jumladan, 
B
1
C
1
=
AC
, 
A
1
C
1
=
AB
.
 a) 
Agar 

B
1
=600, 
BC
=8 m bo4lsa, 
C
 burchakni va 
B
1
A
1
 kesmani toping.
 b) 
Agar 
ABC
 uchburchakning barcha tomonlari teng bo4lsa, 
A
1
B
1
C
1
 uchburchak 
perimetri 2
AC
+3
B
1
C
1
 yig4indiga teng bo4lishi mumkinmi?
22. Ikki to4g4ri chiziqning kesishishidan hosil bo4lgan burchaklardan biri qolgan 
burchaklar yig4indisidan 8 marta kichik. Bu burchaklar har birining kattaligini 
toping.
23. a to4g4ri chiziqda 
A
 va 
B
 nuqtalar olingan. 
a
 to4g4ri chiziqqa nisbatan bitta yarim 
tekislikda 
CAB 
va 
DBA 
burchaklar qo4yilgan. Agar qo4yilgan burchaklarning:
 
a) ikkalasi o4tkir burchak;
 
b) ikkalasi o4tmas burchak;
 
c) ikkalasi to4g4ri burchak;
 
d) biri o4tmas burchak, boshqasi o4tkir burchak bo4lsa, qaysi hollarda 
CA
 va 
DB to4g4ri chiziqlar parallel bo4lishi mumkin?
24. 
AB
 kesmaning oxirlari a va b parallel to4g4ri chiziqlarda yotadi, 
O
 nuqta # 
AB 
kesmaning o4rtasi. 
O
 nuqta orqali o4tadigan va oxirlari a va b to4g4ri chiziqlarda 
yotadigan har qanday kesma 
O
 nuqtada teng ikkiga bo4linishini isbotlang.
25. 
ABC
 uchburchakning 
AK
 va 
BM 
bissektrisalari 
O 
nuqtada kesishadi. Agar 

KOB
=700 bo4lsa, uchburchakning 
C
 burchagini toping.
26. 
ABC 
uchburchakda 
AK
 va 
BM 
balandliklar 
O
 nuqtada kesishadi. Agar 
uchburchakning 
A
 va 
B
 burchaklari mos ravishda 720 va 600 ga teng bo4lsa, 
AOB
 burchakni toping.
27. 
D
 va 
E 
nuqtalar, mos ravishda, 
ABC
 uchburchakning 
AB
 va 
BC 
tomonlarida 
yotadi, jumladan, 
AD
=
CE
 va 
AE
=
CD
. 
ABC 
uchburchakning teng yonli 
ekanligini isbotlang.
28.
 ABC
 uchburchakda 
F
 va 
M 
nuqtalar mos ravishda 
AB
 va 
BC 
tomonlarda 
yotadi, jumladan, 
CF
=
AM
, 
MAC
=
FCA
. 
ABC 
uchburchakning teng yonli 
ekanligini isbotlang.
139

140
Nazorat ishi ikki qismdan iborat bo4lib, birinchi qismda quyida keltirilgan 
masalalardan (yoki shularga o4xshash masalalar)dan 3 tasi beriladi. Ikkinchi qismda 
esa quyida keltirilgan testlardan 5 tasi beriladi.
I. Nazariy 5 ta test.
II. Quyidagi masalalarga o4xshash 3 ta masala (4-masala œa’loB baho olmoqchi 
bo4lgan o4quvchilar uchun qo4shimcha).
1. 1200 li burchak berilgan sirkul va chizg4ich yordamida unga teng burchak yasang.
2. Tomonlari 
a
= 5 
sm
, 
b
= 6 
sm
 va 
c
= 7 
sm
 bo4lgan uchburchak yasang.
3.  2-masalada qurilgan uchburchakning 
a
 tomoniga mediana o4tkazing.
4.  Uchburchakni uning asosi, bir tomoni va asosga tushirilgan balandligiga ko4ra 
yasang.
Testlar.
1. Kesmalarning uzunliklari 
a
, 
b
 va 
c
 larning qaysi qiymatlarida bu kesmalardan 
uchburchak yasash mumkin emas?          
 A) 
a
 = 1, 
b
 = 2, 
c
 = 
3; 
  B) 
a
 = 2, 
b
 = 3, 
c
 = 4;
 D) 
a
 = 3, 
b
 = 4, 
c
 = 
5; 
  E) 
a
 = 6, 
b
 = 4, 
c
 = 3.
2.  Geometrik yasashlarni bajarish uchun qaysi o4quv qurollaridan foydalanishga 
ruxsat beriladi? 
   
    A) Transportir;     
 
 
B) Transportir, chizg4ich;
 
D) Sirkul, chizg4ich;       
 
E) Sirkul, transportir.
3.  Geometrik yasashlarni bajarishda chizg4ichdan qanday vazifalarni bajarishga 
ruxsat beriladi.   
 
A) Kesmani o4lchashga;    B) Kesma, to4g4ri chiziq chizishga;
D) Nuqtadan o4tuvchi va berilgan to4g4ri chiziqqa perpendikulyar to4g4ri 
chiziqni chamalab chizishga; 
 
E) Kesmani o4lchab, uni o4rtasini topishga.
4.  Ixtiyoriy ikkita tomonining yig4indisi 10 sm ga teng bo4lgan uchburchak turini 
toping.
 
A) teng tomonli;   
 
B) o4tmas burchak;
 
D) to4g4ri to4rtburchak;   
E) aniqlab bo4lmaydi.
5.  Uchburchakning perimetri tomonlaridan mos ravishda 14 sm, 16 sm va 24 sm 
uzun bo4lsa, uchburchakning eng katta tomonini toping.
 A) 
12 
sm;  
B) 13 sm;  
D) 
15 
sm;      E) 16 sm.
6. Teng yonli 
ABC
 uchburchakda (
AB
=
BC
) 
BH
 # balandlik. Agar 
ABC
 va 
BHC 
uchburchaklarning perimetrlari mos ravishda 48  sm va 32 sm bo4lsa, 
BH 
balandlikning uzunligini toping.
 A) 
4 sm;  
B) 
6 
sm;   D) 
5 
sm; E) 
7 
sm.
6-NAZORAT ISHI
60
140

141
1
2
1.  1-rasmda tasvirlangan shaklni chizing. U yerda aylanalarning radiuslari teng 
va belgilangan nuqtalar chizmadagi biror aylananing markazi.
2.   2-rasmda tasvirlangan shaklni mustaqil chizing.
Amaliy kompetensiyalarni rivojlantiruvchi qo4shimcha materiallar
Geometrik tadqiqotlar
1.  Ixtiyoriy uchburchak chizing. Uning medianalarini o4tkazing (3-rasm). 
Nimani 
payqadingiz? Tajribani yana ikkita uchburchak uchun bajarib ko4ring va 
aniqlangan xossani faraz ko4rinishida ifodalang.
2.  Ixtiyoriy o4tkir burchakli uchburchak chizing. 
Go4niyadan foydalanib, uning 
baland liklarini o4tkazing (4-rasm).
 Nimani payqadin giz? Tajribani yana ikkita 
uchburchak uchun bajarib ko4ring va aniqlangan xossani faraz ko4rinishida 
ifodalang.
3.  Ixtiyoriy uchburchak chizing. 
Transportirdan foydalanib, uning bissektrisalarini 
o4t kazing (5-rasm). 
Nimani payqadingiz? Tajribani yana ikkita uchburchak 
uchun bajarib ko4ring va aniqlangan xossani faraz ko4rinishida ifodalang. 
O4tkazilgan tajribalar asosida aniqlangan xossalarni teorema deb hisoblasak 
bo4ladimi? Nega?
4
A
H
2
C
B
H
1
H
3
5
M
L
2
K
N
L
1
L
3
3
P
M
2
R
Q
M
1
M
3
141

142
Matematik masalalar xazinasi
Internetning web-sahifalaridan 
siz o4zbek, rus, ingliz va boshqa 
tillarda matema 
tika olamidagi 
eng oxirgi yangiliklar, elektron 
kutubxonalar &ombori[da saq-
lanayotgan ko4plab elektron 
darsliklarni topishingiz mumkin. 
Shuningdek, ular orqali turli-
tuman nazariy materiallar, 
metodik tavsiyalar, son-sanoqsiz 
masalalar, misollar va ularning 
yechimlari, turli davlatlarda o4tka-
zilayotgan matematik musobaqalar to4g4ri sidagi ma’lumotlar, ularda taq dim etilgan 
masalalar va ularning yechimlari bilan tanishishingiz mumkin.
Xususan, 
www.uzedu.uz, www.eduportal.uz
 # Xalq ta’li mi vazirli gining axborot 
ta’lim portallaridan geometriyaga oid o4zingizni qiziqtirgan turli ma’lumotlarni 
olib ko4rishni tavsiya etamiz.
Quyida yana bir qator axborot resurs manbalarining manzillari berilmoqda:
www.edu.uz 
# axborot ta’lim portali (o4zbek, rus, ingliz tilida);
www.pedagog.uz 
# malaka oshirish muassasalari sayti (o4zbek va rus tilida);
www.ixl.com/math/geometry 
# AQSh matematika ta’limi portali (ingliz tilida);
www.school.edu.ru 
# umumta’lim portali (rus tilida);
www.allbest.ru 
# Internet resurslari elektron kutubxonasi (rus tilida);
www.schulen-ans-netz.de 
# Germaniyadagi œInternet-MaktabB sayti (nemis tilida);
www.studienkreis.de 
# Germaniya o4quv to4garaklari sayti (nemis tilida);
www.educasource.education.fr 
# Fransiya ta’lim sayti (fransuz tilida);
www.educmath.inrp.fr 
# Fransiya matematika ta’limi raqamli resurslari (fransuz 
tilida);
http://mat-game.narod.ru/
 # matematik gimnastika. Matematik masalalar va 
boshqotirmalar (rus tilida);
http://mathproblem.narod.ru/
 # matematik to4garaklar, maktablar va olimpiadalar 
(rus tilida);
http://mathtest.narod.ru/
 # matematik testlar (rus tilida);
http://www.sch57.msk.ru/collect/smogl.htm
 # matematika tarixiga oid materiallar 
(rus tilida);
http://www.exponenta.ru
 # matematik ta’lim sayti (rus tilida);
http://zadachi.mccme.ru
 # geometrik masalalar sayti (rus tilida);
http://www.math-on-line.com
 # qiziqarli matematika masalalari (rus tilida).
142

143
VII BOB
TAKRORLASH
2
1
3
5
7
4
6
2
1
3
3
2
1
4
5
6
7

144
Masala.
 
Teng tomonli uchburchak berilgan. Tomonlarining o4rtalari 
kesmalar bilan tutashtirilsa, ular yana teng tomonli uchburchak hosil qilishini 
isbotlang. 
Geometrik masalalarni yechishda quyidagilarga e’tibor berish kerak:
1.  Geometriyaning asosiy tushunchalari, ularning xossalarini yaxshi bilish va 
yodda tutish.
2.  Turli geometrik xossalar haqidagi teoremalarni isbotlash usullarini egallash.
3.  Berilgan geometrik masalaning mohiyatini tushunib yetish.
Odatda geometrik masalalarni yechishni to4rtta bosqichda bajarish mumkin:
1-bosqich. Masalani tushunish. Bu bosqichda masalaning sharti va xulosasi  
alohida ajratib olinadi. Nimalar berilgan, nimani topish, isbotlash yoki yasash 
lozimligi aniqlanadi. Masalaga oid chizma chiziladi. Chizmaning katta va aniq 
bo4lishi maqsadga muvofiq. Berilgan barcha ma’lumotlar chizmada belgilanadi.
2-bosqich. Rejalashtirish. Bu bosqichda masalani yechish usuli tanlanadi. Uni 
qo4llash uchun qanday qo4shimcha ma’lumotlar zarurligi aniqlanadi. Yordamchi 
shakllar chiziladi.
3-bosqich. Yechish. Bu bosqichda masala berilgan reja asosida yechiladi.
4-bosqich.  Tekshirish. Bu bosqichda masalaning topilgan yechimi bevosita 
tekshiriladi. Yechish jarayoniga tanqidiy nazar tashlanadi. Agar xato aniqlansa, 
u tuzatiladi. Tuzatishning imkoni bo4lmasa, masalani yechishning boshlang4ich 
bosqichiga qaytiladi va hamma ish qaytadan boshlanadi.
Masala yechishni o4rganish uchun ko4proq masala yechish kerak!
Masalaga oid chizmani to4g4ri chiza olish va qo4shimcha
chiziqlarni topa olish $ masalaning yarmini yechish demakdir.
Geometrik masalalar qo4yilishi va mohiyatiga qarab uch xil turda bo4ladi:
1.  hisoblashga doir masalalar;
2.  isbotlashga doir masalalar;
3.  yasashga doir masalalar.
Albatta masalani yechish O bu faqat to4g4ri javobni topish degani emas. 
Masalalar yechish davomida ma’lum xossalarni, teoremalarni va ularning 
natijalarini qo4llay olish, turli usullardan foydalana olishni bilish zarur bo4ladi.
Quyidagi masalaning yechilish jarayonini kuzataylik.
GEOMETRIK MASALALARNI YECHISH BOSQICHLARI
61
144

145
Masala shartlari asosida chizma chizib ola miz 
(1-rasm).
2. Rejalashtirish bosqichi. Chizmada bel-
gilangan teng kesmalar va 600li burchaklar 
uchburchaklar tengligining TBT alomatidan 
foydalanishga ishora qilmoqda.
3.  Yechish bosqichi. Shartga ko4ra,
L A
=
A K
=
K B
=
B N
=
N C
=
C L
  v a 

A
= 
B
= 
C
= 600. Unda 
LAK
 uchburchak-
ning 
AL
, 
AK
 tomonlari va 
A
 burchagi mos ra vish da 

KBN
 uchburchakning 
BK
, 
BN
 tomonlari va 
B
 
burchagiga hamda 
NCL
 ning 
CN
, 
CL
 tomon lari 
va 
C
 burchagiga teng. 
Demak, 
LAK
= 
KBN
=
NCL
. U holda bu 
uchburchaklarning uchinchi tomonlari ham o4zaro 
teng bo4ladi: 
KL
=
KN
=
NL
.
Shunday qilib, 
KNL
 O teng tomonli.
4.  Tahlil bosqichi.
Teorema teng yonli uchburchaklar uchun 
ham o4rinli emasmikan?

ABC
 O teng tomonli, 
K
 O 
AB
 tomon o4rtasi, 
N
 
O 
BC
 tomon o4rtasi, 
L 
O AC
 tomon o4rtasi

KNL
  O teng 
tomonli
1
2
A
P
Q
S
B
K
L
N
C
600
600
600
1.   Masalani yechish bosqichlarini sanab bering.