Geometriya 7 toshkent œyangiyo4l poligraf servisb

BERILGAN BURCHAKKA TENG BURCHAKNI YASASH
54
128

129
1. a) 300; b) 600; c) 150; d)1200; e) 450 li burchaklar 
berilgan. Ularga teng burchaklarni yasang.
2.  
A
=
α
 va 
B
= burchaklar berilgan (
α
>
β
). 
O4lchovi: a) 2; b) 
α
−
β
; c) 2
α
+
β
 bo4lgan 
burchaklarni yasang.
3.  450 va 300 li burchaklar berilgan. O4lchovi:         
a) 150; b) 750; c) 1050; d) 1200 ga teng bur-
chak larni yasang.
4. 300 li burchak berilgan. Unga teng burchak va 
biror nur yasang. Shu nurga yasalgan burchakni 
qo4ying.
2-qadam. 
AC
 nurga ikkinchi burchakka teng bo4lgan 
CAD
 burchakni 
B
 va 
D
 
nuqtalar 
AC
 nurga nisbatan turli yarimtekislikda yotadigan qilib qo4yamiz. Hosil 
bo4lgan 
BAD 
burchak berilgan burchaklar yig4indisiga teng burchak bo4ladi.
3-masala.
 Berilgan ikkita burchak ayirmasiga 
teng burchakni yasang. 
Yasash:
 Berilgan burchaklar 
E
 va 
F
 bo4lib                            

F
 > 
E 
bo4lsin (6
a
-rasm). 
AB
 nur yasaymiz. 
AB
 
nurga nisbatan bitta yarim tekislikda joylashadi gan 
qilib  
BAC 
=  
E 
va
 

BAD
  =  
F 
burchaklarni 
qo4yamiz (6
b
-rasm). 
CAD
 − berilgan ikki bur -
chak ayirmasi bo4ladi.
6
a)
b)
F
E
A
D
С
B
Savol, masala va topshiriqlar
5.  Biror burchak va biror nur yasang. Shu nurga yasalgan burchakni qo4ying.
6.  1-masala bo4yicha yasashlarning to4g4riligini asoslang.
Geometrik boshqotirmalar
7.  7-rasmda nechta to4rtburchak bor?
8.  8-rasmda ko4rsatilgan shaklni qalamni qog4ozdan uzmasdan va bir chiziq 
ustidan qayta yuritmasdan chizing.
9.  Tomonlari 9-rasmda berilgan to4rtta nuqtadan o4tuvchi uchburchak chizing.
10. 10-rasmda tasvirlangan 9 ta nuqtaning hammasidan o4tuvchi, bo4g4inlari soni 
4 ta bo4lgan siniq chiziq chiza olasizmi?
7
8
10
9
129

130
2-qadam. Radiusni o4zgartirmasdan, 
markazlari  B va 
C
 nuqtalarda bo4lgan 
ikkita aylana chiziladi (2-rasm). Bu ikki 
aylana kesishuvidan hosil bo4lgan 
D
 nuqta 
belgilanadi (3-rasm). 
2
A
C
B
3-qadam. 
A
 va 
D
 nuqtadan o4tuvchi to4g4 ri 
chiziq o4tkaziladi (4-rasm). 
AD
  to4g4ri chiziq # berilgan burchak 
bissektrisasi bo4ladi.
Asoslash.
 
ABD
 va 
ACD
 uchburchaklarda
1) yasashga ko4ra 
AB
 = 
AC
;
2) yasashga ko4ra 
BD
 = 
CD
;
3) 
AD
 # umumiy tomon.
Uchburchaklar tengligining TTT alo-
matiga ko4ra, 
ABD
 = 
ACD
. Xususan, 
                                       

BAD
 = 
CAD
.
3
A
C
B
D
 
A
 burchak berilgan bo4lsin (1-rasm). Bu burchakni teng ikkiga bo4lish uchun 
quyidagicha yo4l tutiladi:
Yasash:
1-qadam. Markazi 
A
 nuqtada bo4lgan 
ixtiyoriy radiusli aylana chiziladi va uning 
burchak tomonlari bilan kesishish nuqtalari 
B
 va 
C 
belgilanadi.
1
A
C
B
4
A
C
B
D
Masala.
 Berilgan to4g4ri burchakni teng 
uchga bo4ling.
Yechilishi:
  
A
 to4g4ri burchak berilgan  
bo4lsin. Uning uchini markaz qilib, ixtiyoriy 
radiusli aylana chizamiz. Aylana to4g4ri 
burchak tomonlarini 
B
 va 
C
 nuqtalarda kesib 
o4tsin. Radiusni o4zgartirmasdan markazi 
B
 
va 
C
 nuqtalarda bo4lgan yana ikkita aylana 
chizamiz.
Bu aylanalar birinchi aylana bilan kesishgan nuqtalardan to4g4ri burchak 
ichida yotganlarini P va Q  bilan belgilaymiz. AP va AQ nurlarni chizamiz. Bu 
nurlar berilgan to4g4ri burchakni uchta teng burchakka ajratadi. Bu tasdiqning 
to4g4riligini mustaqil asoslang.
BURCHAK BISSEKTRISASINI YASASH
55
130

131
5
6
A
B
1
A
1
C
B
2
B
3
A
B
B
P
Q
C
1.  Yasash yordamida:
 a) 900; b) 600; c) 300 li burchaklarni teng ikkiga bo4ling.
2.   Burchak chizing va uni teng ikkiga ajrating. 
3.   Burchak chizing va uni to4rtta teng burchakka ajrating.
4.   450 li burchakni uchta teng burchakka bo4ling.
5.   Berilgan katta tomoni va o4tkir burchagi bo4yicha to4g4ri burchakli 
uchburchak yasang.
6.  360 li burchak berilgan. Sirkul va chizg4ich yordamida 990 li burchak yasash 
mumkinmi? Qanday qilib?
7*.   540 li burchakni yasash yo4li bilan teng uchga bo4ling.
8.   Uchburchak chizing. Uning bissektrisalarini yasang. Qanday xossa kuzatiladi?
9.   Qo4shni burchaklar yasang. Ularning bissek trisalarini yasang. Yasalgan 
bissektrisalar orasidagi burchakni transportir yordamida o4lchang.
10*
.   To4g4ri  burchakli 
ABC 
uchburchakda 
A
= 300, 
B
= 600. 
A  
burchakni teng 
ikkiga bo4luvchi 
AA
1
 kesmani va 
B 
burchakni teng to4rtga bo4luvchi 
BB
1
, 
BB
2
, 
BB
3
, kesmalarni yasang. Natijada 6-rasm hosil bo4ladi. Bu rasmda nechta 
teng yonli uchburchakni, nechta to4g4ri burchakli uchburchakni ko4rish 
mumkin?
Eslatma.
  Berilgan ixtiyoriy burchakni teng 
uchga bo4lish masalasi juda qadimgi va mashhur 
masala bo4lib, bu haqda ko4p olimlar bosh 
qotirishgan. Faqat XVIII asrga kelib, ayrim 
burchaklar istisno bo4lib, burchakni teng uchga 
bo4lib bo4lmasligi isbotlangan. Masalan, 600 li 
burchakni teng uchga bo4lib bo4lmaydi. Gap, 
albatta, geometrik chizg4ich va sirkul bilan aniq 
yasash haqida bormoqda. Bu asboblar bilan juda 
katta aniqlikda taqribiy  yoki boshqa asboblardan 
foydalanib aniq yasash mumkin.
Savol, masala va topshiriqlar
131

132
1-masala.
 Berilgan 
a
 to4g4ri chiziqqa uning 
O
 nuqtasidan o4tuvchi perpendikulyar to4g4ri 
chiziqni yasang.
Yasash:
 
1-qadam. 
O
 nuqtani markaz qilib ixtiyoriy aylana 
chizamiz. U berilgan to4g4ri chiziqni 
A
 va 
B
 nuqtalarda 
kesib o4tsin (1-rasm).
2-qadam. 
A
 va 
B
 nuqtalarni markaz qilib, radiusi 
AB
 
ga teng aylanalar chizamiz (2-rasm). Bu aylanalarning 
kesishish nuqtalaridan birini 
C
 deb belgilaymiz.
3-qadam. 
C
 va 
O
 nuqtalardan o4tuvchi 
OC
 to4g4ri 
chiziqni yasaymiz (3-rasm).
OC
 to4g4ri chiziq berilgan 
a
 to4g4ri chiziqqa uning 
O
 nuqtasidan o4tuvchi perpendikulyar bo4ladi.
Asoslash.
 
AOC
 va 
BOC 
uchburchaklarni qaraymiz. 
Yasashga ko4ra:
1. 
AO
 = 
BO;
2. 
AC
 = 
BC;
3. 
CO
 esa umumiy tomon.
Demak, uchburchaklar tengligining TTT alomatiga 
ko4ra, 
AOC
 = 
BOC
. U holda, 
AOC
= 
BOC
. Lekin 
qo4shni burchaklar teng bo4lsa, ular 900 ga tengdir.
Demak, haqiqatdan ham 
OC

a
.
2-masala.
 Berilgan 
a
 to4g4ri chiziqqa unda 
yotmaydigan 
O
 nuqtadan o4tuvchi perpendikulyar 
to4g4ri chiziqni yasang.
Yasash:
 
1-qadam. Markazi 
O
 nuqtada bo4lgan, 
a
 to4g4ri 
chiziqni kesib o4tuvchi ixtiyoriy aylana chizamiz. U 
berilgan to4g4ri chiziqni 
A
 va 
B 
nuqtalarda kesib o4tsin 
(4-rasm).
2-qadam. Markazlari 
A
 va 
B
 nuqtada bo4lgan, 
radiusi birinchi chizilgan aylana radiusiga teng ay-
lanalar chizamiz. Bu aylanalarning kesishish nuq-
talaridan biri 
O
 nuqta bo4ladi. Ikkinchisini 
O
1
 bilan 
belgilaymiz (4-rasm).
3
A
B
O
a
C
1
A
B
O
a
2
A
B
O
a
C
4
A
B
C
a
O
O
1
BERILGAN TO‘G‘RI CHIZIQQA PERPENDIKULYAR TO‘G‘RI 
CHIZIQ YASASH. KESMANI TENG IKKIGA BO‘LISH
56
132

133
3-qadam. 
O
 va 
O
1
 nuqtalardan o4tuvchi to4g4ri 
chiziq chizamiz. 
OO
1
 O berilgan 
O 
nuqtadan 
o4tuvchi 
a
 to4g4ri chiziqqa perpendikulyar va 
unda yotmagan
  O 
nuqtadan o4tuvchi to4g4ri 
chiziq bo4ladi.
Asoslashni mustaqil bajaring.
Bu masalani yechib, 
a
 to4g4ri chiziqdan 
tashqaridagi nuqta orqali 
a
 to4g4ri chiziqqa 
perpendikulyar to4g4ri chiziq o4tkazish mumkin 
degan xulosaga kelamiz. Bundan va 16-darsda 
keltirilgan teorema natijasi dan quyidagi teo-
remaning o4rinli ekanligi kelib chiqadi. 
3-masala.
 Berilgan kesmani teng ikkiga 
bo4ling.
5
A
B
6
A
B
C
C
1
O
Teorema. 
To4g4ri chiziqda yotmagan nuqta 
orqali bu to4g4ri chiziqqa perpendikular 
bo4lgan yagona to4g4ri chiziq o4tkazish 
mumkin.
Yasash:
AB
 kesma berilgan bo4lsin. 
1-qadam. Radiusi berilgan 
AB
 kesmaga teng bo4lgan, markazlari esa 
A
 va 
B
 
nuqtalarda bo4lgan ikkita aylana chiziladi (5-rasm);
2-qadam. Aylanalar kesishgan 
C
 va 
C
1
 nuqtalari tutashtiriladi (6-rasm). 
CC
1
     
to4g4ri chiziq va 
AB
 kesmaning kesishish nuqtasi berilgan kesmaning o4rtasi 
bo4ladi.
1.   Kesmani teng ikkiga bo4lishning qanday usulini bilasiz? Kesma chizing va uni 
teng ikkiga bo4ling.
2.   To4g4ri burchakni qanday yasash mumkin?
3*.   Faqat bir yarimtekislikda, berilgan kesmani teng ikkiga bo4ling.
4.   Faqat go4niyadan foydalanib berilgan kesmani teng ikkiga bo4ling.
5.   Berilgan gipotenuza bo4yicha teng yonli to4g4ri burchakli uchburchak yasang.
6.   Asosi va  unga tushirilgan balandligi bo4yicha teng yonli uchburchak yasang.
7.   
AB
 kesmaning o4rtasini to4g4ridan to4g4ri aniqlashning iloji bo4lmasa, uning 
o4rtasidan o4tuvchi perpendikulyarni yasash mumkinmi?
8.   Berilgan kesmani to4rtta teng bo4lakka bo4ling .
9.   Uchburchak chizing. Uning balandliklarini yasang.
10.  Berilgan uchburchakning medianalarini yasang.
11*
.   Berilgan 
A
 va 
B
 nuqtalardan bir xil uzoqlashgan hamda berilgan 
a
 to4g4ri 
chiziqda yotuvchi nuqtani toping.
12.  Faqat chizg4ich yordamida 
a
 to4g4ri chiziqda yotmaydigan 
M
 nuqta orqali 
a
 
to4g4ri chiziqqa parallel bo4lgan 
b
 to4g4ri chiziqni o4tkazing.
Savol, masala va topshiriqlar
133

134
Uzunliklari mos ravishda 
a
, 
b
 va 
c
 ga teng kesmalar berilgan 
bo4lib, 
c
 ulardan eng kattasi 
bo4lsin. 
Tomonlari mos ravishda 
AB
 = 
c
, 
BC
 = 
a
 va 
AC
=
b
 bo4lgan 
ABC
 uchburchak yasash uchun 
quyidagicha yo4l tutiladi.
4
A
B
c
A
C
b
B
C
a
A
B
c
C
b
a
3
A
B
c
A
C
b
B
C
a
A
B
c
2
A
B
c
A
C
b
B
C
a
A
B
c
4-qadam. Aylanalar kesishish 
nuqtasi bo4lgan 
C
 nuqta 
A
 va 
B
 
nuqtalar bilan tutashtiriladi. Ho-
sil bo4lgan 
ABC
 uchburchakning 
tomonlari 
a
, 
b
 va c ga teng bo4ladi.
Tahlil.
 Yasashdan ko4rinib 
turibdiki, agar 2- va 3-qadamda 
yasalgan aylanalar kesishsagina 
yechim mavjud. Buning uchun 
        
a
 + 
b
 > 
c
 bo4lishi lozim. 
1-qadam. Ixtiyoriy to4g4ri chiziq 
chiziladi. To4g4ri chiziqda uzunligi 
c
ga teng bo4lgan 
AB 
kesma sirkul 
yordamida ajratiladi (2-rasm).
2-qadam. 
AC
  =  
b
  b o 4 l i s h i 
kerak. Shuning uchun, markazi 
A
 
nuqtada radiusi 
b
 ga teng aylana 
chiziladi (3-rasm).
3-qadam. 
BC
 = 
a
 bo4lishi 
kerak. Shuning uchun, markazi 
B
 
nuqtada radiusi 
a
 ga teng aylana 
chiziladi (4-rasm).
1
A
B
c
A
C
b
B
C
a
A
B
c
Hosil bo4lgan 
ABC
 uchburchak-
ning haqiqatan ham tomonlari 
a
, 
b
 va 
c
 ga teng bo4lishini mustaqil 
asoslang.
1-masala.
 Bir tomoni va shu 
tomonga yopishgan burchaklari 
bo4yicha uchburchak yasang.
5
c
α
β
UCHBURCHAKNI BERILGAN
UCH TOMONIGA KO‘RA YASASH
57
134

135
1.   Ixtiyoriy uzunlikdagi kesmalardan uchburchak yasab bo4ladimi?
2.  Tomonlari 
a
 = 3 
sm
, 
b
 = 8 
sm
 va 
c
 = 9 
sm
 bo4lgan uchburchak yasang.
3.  a) Tomonlari
 a
 = 3 
sm
, 
b
 = 4 
sm
 va 
c
 = 7 
sm
 bo4lgan uchburchak yasash 
mumkinmi?
   b) Uchburchak yasash uchun, uning 
a
, 
b
 va 
c
 tomonlari qanday shartni 
qanoatlantirishi lozim?
4.   Ikkita kateti bo4yicha to4g4ri burchakli uchburchak yasang.
5.   Gipotenuza va kateti bo4yicha to4g4ri burchakli uchburchak yasang.
6.   
Ixtiyoriy to4g4ri chiziq chizing. Bir tomoni unda yotadigan, 7-rasmda 
ko4rsatilgan 
ABC
 uchburchakka teng bo4lgan uchburchak yasang.
7
7*
.   Uzunligi 
a
+
b
, 
b
+
c
 va 
a
+
c
 kesmalar berilgan. 
Tomonlari 
a
, 
b
, c bo4lgan uchburchak  yasang.
8.   Ikki tomoni va ular orasidagi burchak bo4yicha 
uchburchak yasang.
9.   Bir tomoni va unga yopishgan burchaklar 
bo4yicha uchburchak yasang.
Qiziquvchi o4quvchilar uchun.
1. œGeometriya #7B elektron darsligining tegishli bobi sahifalari bilan 
tanishib chiqing. Mazkur bobga kiritilgan mavzularga oid interaktiv animat siya 
ilovalarida berilgan topshiriqlarni bajarish va test topshiriqlarini yechich yo4li bi-
lan o4z bilimingizni sinab ko4ring.
2. Shuningdek, 141-betda keltirilgan Internet resurslaridan mazkur bobga 
tegishli materiallarni toping va o4rganib chiqing.
Yechilishi:
 
c
 kesma va 
α
, 
β 
burchaklar berilgan 
bo4lsin (5-rasm).  Ixtiyoriy to4g4ri chiziq chizamiz. 
Unda 
AB = c 
kesmani belgilaymiz. Berilgan burchakka 
teng burchakni yasash yo4l-yo4rig4ini qo4llab, 
AB
 
nurga 
α 
burchakni, 
BA
 nurga 
β 
burchakni bitta 
yarimtekislikka
 qo4yamiz (6-rasm). Burchaklarning 
ikkinchi tomonlari kesishgan 
C
 nuqtani belgilaymiz. 
ABC
 uchburchak yasalishi talab qilingan uchburchak 
bo4ladi. Bu tasdiqni mustaqil asoslang.
6
β
a
B
A
C
c
Savol, masala va topshiriqlar
10. Ikkala uchburchak bir xil bo4laklardan tashkil topgan. Lekin o4ng 
tomondagi uchburchakning kamtik joyi qayerdan paydo bo4lgan?
A
B
C
135

136
1. Berilgan 
a, b, c
 tomonlari bo4yicha uchburchak yasang, bunda: a) 
a
=2 sm, 
b
=3 sm, 
c
=4 sm; b) 
a
=3 sm, 
b
=4 sm, 
c
=5 sm.
2. 
A
,
 B
, 
C
, nuqtalar bir to4g4ri chiziqda yotadi, 
O
 nuqta esa bu to4g4ri chiziqda 
yotmaydi. 
AOB 
va 
BOC 
uchburchaklar asoslari 
AB
, 
BC
 kesmalardan iborat 
teng yonli uchburchaklar bo4la oladimi? Javobingizni asoslang.
3. 
ABC 
uchburchak berilgan. Unga teng boshqa bir 
ABD 
uchburchak yasang.
4.  Quyidagi ma’lumotlarga ko4ra 
ABC 
uchburchakni yasang:
 a) 
AB
=5 sm, 
AC
=6 sm, 
A
=400;
 b) 
AB
=4 sm, 
A
=450, 
B
=600.
5.  Ikki tomoni va bu tomonlardan kattasi qarshisida yotuvchi burchagi bo4yicha 
uchburchak yasang:
 a) 
a
=6 sm,  
b
=4 sm,  
α
 =700;
 b) 
a
=4 sm,  
b
=6 sm,  
β
 =1000.
6.  Yon tomoni va asosidagi burchagiga ko4ra teng yonli uchburchak yasang.
7.  Burchakni to4rtta teng qismga bo4ling.
8.  600 va 300 li burchaklar yasang.
9.  Uchburchak berilgan. Uning medianalarini yasang.
10.  Ikki tomoni va bu tomonlardan biriga o4tkazilgan medianasi bo4yicha 
uchburchak yasang.
11.  Uchburchak berilgan. Uning balandliklarini yasang.
12.  Gipotenuzasi va bir katetiga ko4ra to4g4ri burchakli uchburchak yasang.
13.  Yon tomoni va asosiga tushirilgan balandliklarga ko4ra teng yonli uchburchak 
yasang.
14.  Ikki tomoni va shu tomonlardan biriga tushirilgan balandligi bo4yicha 
uchburchak yasang.
15.  Berilgan to4g4ri chiziqda shunday nuqta topingki, u berilgan ikkinchi to4g4ri 
chiziqdan berilgan masofa qadar uzoqlikda bo4lsin.
16.   Uchta 
A
, 
B
, 
C
 nuqta berilgan. 
A
 va 
B
 nuqtalardan teng uzoqlashgan va 
C
 
nuqtadan berilgan masofa qadar uzoqlikda yotuvchi 
X
 nuqtani toping.
17.  Berilgan uchburchakning har bir uchi orqali shu uchlardan chiquvchi 
uchburchak bissektrisalariga perpendikulyar to4g4ri chiziqlar o4tkazilgan. 
Bu to4g4ri chiziqlar berilgan uchburchak tomonlari bilan birgalikda uchta 
uchburchak hosil qiladi. Bu uchburchaklar burchaklari mos ravishda tengligini 
isbotlang.
18.  Uchburchak bir burchagi uchidan o4tkazilgan mediana va balandlik bilan teng 
uch qismga ajratilsa, bu uchburchak to4g4ri burchakli ekanligini isbotlang.
19.   Teng  yonli 
ABC
 uchburchakda (
AB
=
BC
) asosdagi burchak 750, 
AK
 # 
uchburchakning bissektrisasi, 
BK
=10  sm. 
K 
nuqtadan uchburchakning 
AC
 
asosigacha bo4lgan masofani toping.