Gidromashinalar haqida umumiy tushunchalar

Eyler tenglamasi shaklidagi qovushqoq bolmagan suyuqliklar uchun harakat differensial tenglamasi
Reja:

1. 
   Eyler tenglamasi
   
2. 
   Eyler tenglamasi shaklidagi qovushqoq bolmagan suyuqliklar
   

Barcha suyuqliklar muvozanat holatda bolganda, uning tarkibidagi suyuqlik qatlamlari va zarrachalari orasida ozaro tasiri gidrostatik bosim kuchi bilan ifodalanadi. Muvozanat holatidagi suyuqliklarga gidrostastik bosim kuchidan tashqari uning massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlar tasirida muvozanatda boladi. Idishga quyilgan suyuqlik egallagan hajmning turli sathlaridagi gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari ham har xil qiymatlarga ega boladi.
1755 yilda rus olimi L. Eyler tomonidan qovushqoq bolmagan suyuqliklar uchun harakat differensial tenglamasini isbotlab berdi. Ushbu tenglamaga binoan gidrostatik bosimning koordinata oqlari yonalishlari boyicha ozgarishi suyuqlik zichligining massa tufayli yuzaga keladigan ogirlik kuchining shu oq yonalishlaridagi proeksiyasiga kopaytmasiga teng bolarkan, yani muvozanatdagi suyuqliklarda gidrostatik bosimning ozgarishi suyuqlik massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlariga bogliq bolarkan.
Chizmada tasvirlanganidek parallelopipedning yon yoqlariga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari ushbu yoqlarga ichki normallar yo’nalishlarida ta’sir etmoqda, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha ta’sir etuvchi gidrostatik bosim kuchlari: parallelopipedning Po’ng o’ng tarafidan va Pch.- chap tarafidan ta’sir etuvchilari hisoblanadi. Bu kuchlarning qiymatlari quyidagicha:
Ong tarafdan tasir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
Pong = (P + ) (5.7)
Chap tarafdan tasir etuvchi gidrostatik bosim kuchi
Pch. = (P - ) (5.8)
bu yerda:
P kuchning Ox oqi boyicha olingan hosilasi, Ox oqi boyicha bir uzunlik birligidagi ozgaruvchi bosimi;
- gidrostatik bosimning Ox oqi boyicha masofada ozgarishi, yani A nuqtadan dydz yoqgacha.
Shuningdek Ox oqi yonalishi boyicha parallelopipedning yon yoqlariga tasir etayotgan gidrostatik bosim kuchlarining qiymatlari quyidagicha boladi:
dP′x = (P - dydz
dP″x = (P + ) dydz
Xuddi shuningdek boshqa o’qlar yo’nalishlari bo’yicha ham parallelopipedning yon yoqlariga gidrostatik bosim kuchlari ta’sir etadi. Ajratib olingan parallelopiped tashqi gidrostatik bosim kuchlaridan tashqari massa tufayli yuzaga keladigan kuch ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi. Massa tufayli yuzaga keladigan kuchlarning teng ta’sir etuvchisini umumiy ko’rinishda quyidagicha yozishadi:
dM = dm˖γ = ρ˖dW˖γ = ρ˖dx˖dy˖dz˖γ (5.10)
bu yerda,
ρ- suyuqlikning zichligi, [kg/sm3];
dW- elementar parallelopipedning hajmi, [m3; sm3]
γ- massa hisobiga yuzaga keladigan kuchning teng ta’sir etuvchisi, [N], uning o’qlar yo’nalishlari bo’yicha tashkil etuvchilarini quyidagicha belgilash qabul qilingan:
γx = X; γy = У; γz = Z.
Ajratib olingan parallelepiped ushbu kuchlar ta’sirida muvozanat holatida bo’ladi, yani koordinata o’qlariga mos keluvchi muvozanat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin, hususan OX o’qi yo’nalishi bo’yicha tenglama:
(P – )˖dy˖dz + (P + )˖dy˖dz + ρ˖dx˖dy˖dz˖X = 0 (5.11)
Ushbu tenglamaning barcha yaxlitlashlardan so’ngi, natijaviy ifodasi:
Xuddi shuningdek boshqa oqlar yonalishlari boyicha ham natijaviy tenglamalarni umumlashtirsak, u holda suyuqlikning muvozanat holati ifodalovchi tenglama:
; xdx xdу .. (5.13) хdz
Hosil qilingan ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun differensial tenglama deyiladi. Ushbu tenglamaga binoan gidrostatik bosimning koordinata oqlari yonalishlari boyicha ozgarishi suyuqlik zichligining massa tufayli yuzaga keladigan ogirlik kuchining shu oq yonalishlaridagi proeksiyasiga kopaytmasiga teng bolarkan, yani muvozanatdagi suyuqliklarda gidrostatik bosimning ozgarishi suyuqlik massasi tufayli yuzaga keladigan kuchlariga bogliq bolarkan. Suyuqlik muvozanat holatining differensial tenglamasini 1755 yilda L. Eyler tomonidan isbotlab berilgan, shuning uchun ham ushbu tenglama suyuqlikning muvozanat holati uchun Eyler (differensial) tenglamasi deb ham yuritiladi.
Gidrostatik bosim kuchlarining taqsimlanishini ifodalovchi ushbu tenglamadan foydalanish jarayonini qulaylashtirish maqsadida, jumladan tenglamani integrallash jarayonini yengillashtirish uchun uning har birini oz navbatida dx, dy va dz larga kopaytirib, chap va ong tomonlarining yigindilarini keltirib chiqaramiz, yani tenglama:
dx+dу + (5.14)
yoki
dx +dу + (5.15)
Tenglamaning chap tomonidagi yig’indi gidrostatik bosimning to’liq differensialini beradi, yani tenglama:
dP = dx +dу + (5.16)
Bu tenglama suyuqlikning jinsliliga, jazodagi koordinatalariga mos ravishda gidrostatik bosimning o’zgarishini bildiradi va muvozanat holatdagi suyuqlikning har qanday nuqtasidagi bosimini aniqlab berish mumkinligini anglatadi.
Oxirgi tenglamadan teng bosimli sirt tenglamasini keltirib chiqarish mumkin (gidrostatik bosim suyuqlikning hamma nuqtalarida teng bo’lgan sirt, yani P = const.). P = const. bo’lganda, dP = 0, ρ ≠ 0 emas, suning uchun teng bosimli sirtning tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi. dx +dу +