Giperbolik va teskari giperbolik funksiyalar yopiq egri chiziq bo‘yicha olingan integral Reja

Trigonometrik va giperbolik funksiyalar
Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar ko’rsatkichli funksiyalar orqali kiritiladi.
Ta’rif 1.

Ushbu

,


,
ko’rinishdagi funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi. va W=Cosz funksiyalar butun ko’mpleks tekislik C da aniqlangan, W=tgz funksiya
\
to’plamda W=ctgz funksiya esa C\ to’plamda aniqlangan.
Quyidagiga ,



aniqlangan funksiyalar giperbolik funksiyalar deyiladi. Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar o’zaro quyidagi cosz=chz , sinz=–ish iz, thz=–itgiz, chz=cosiz, shz=–isin iz, cthz=ictg iz munosabatlar bilan bog’langan. Biz ulardan birini, masalan shz=–isin iz
bo’lishini ko’rsatamiz:

1. 
   va(2)munosabatlardan foydalanib topamiz:
   

Demak,

shz=–isin iz.

Biz quyida trigonometrik funksiyalarning ba’zi xossalarini keltiramiz
Ushbu
1)
2)
3)
4)
5)
Bu formulalarning o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. W=Sinz va W=Cosz funksiyalarning ta’riflaridan foydalanib topamiz:
qolgan tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi.
W=Sinz toq funksiya,W=Cosz esa juft funksiya bo’ladi .
Bu xossaning o’rinli bo’lishini W=Sinz,W=Cosz funksiyalarning ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi .
Trigonometrik funksiyalar davriy bo’lib, W=Sinz, W=Cosz funksiyalarning davri 2 ga, W=tgz, W=Ctgz funksiyalarning davri esa  ga teng .
Haqiqatan , W=Sinz, funksiya ta’rifi hamda bo’lishini etiborga olib topamiz:
Demak,

Bu esa W=Sinz davriy funksiya va uning davri 2 ga teng bo’lishini bildiradi .
W=tgz funksiya ta’rifidan foydalanib, ushbu

tenglikka kelamiz.
Demak, tg(z+)=tgz .
Shunga o’xshash W=Cosz, W=Ctgz funksiyalarning davriy funksiya ekanligi ko’rsatiladi.

1. 
   W=Sinz va W=Cosz funksiyalar da hosilaga ega bo’lib (Sinz)=Cosz, (Cosz)=–Sinz, bo’ladi .
   

W=tgz funksiya da hosilaga ega bo’lib

bo’ladi.
W=ctgz funksiya da hosilaga ega bo’lib, ………………………………
bo’ladi.
Haqiqatan ham,


Xuddi shunga o’xshash (3) va (4) formulalarning to’g’riligi ko’rsatiladi.