Gormonik funksiylar

Gormonik funksiylar.
Faraz qilaylik,

funksiya sohada analitik bo‘lsin. U holda hosila olish formulasiga asosan:
(1)
dan yana bir marta hosila olinsa,
(2)
kelib chiqadi. sohada analitik bo‘lgan funksiya barcha yuqori tartibli uzluksiz hosilalarga egaligi haqidagi teoremaga asosan hamma tartibli
(5)
xususiy hosilalar ham mavjud va uzluksizdir. (2) ning ikki tomonidagi kompleks miqdorlar o‘zaro teng bo‘lgani uchun ularning haqiqiy qismlari o‘zaro teng bo‘lgani uchun ularning haqiqiy qismlari o‘zaro teng bo‘lgani uchun ularning haqiqiy qismlari o‘zaro va mavhum qismlari o‘zaro va mavhum qismlari o‘zaro teng bo‘ladi:
va (4)
O‘ng tomondagi hadlarni chapga o‘tkazib quyidagicha yozish mumkin:
; . (6)
Yuqoridagi (6) xususiy hosilali ikkinchi tartibli differensial tenglama bo‘lib, Laplas tenglamasi , ni esa Laplasning differensial operatori deb ataladi. Bu farazdan gormonik funksiya tushunchasi kelib chiqadi.
1-Ta’rif: Agar haqiqiy funksiya sohada birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lib, (6) Laplas tengamasini qanoatlantirsa, funksiya sohada gormonik funksiya deyiadi.
Teorema: Berilgan sohada analitik bo‘lgan funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari shu sohada gormonik funksiyalardir.


Qo‘shma gormonik funksiyalar.
va funksiyalar sohada gormonik bo‘lsa ham, funksiya sohada analitik bo‘lmay qolishi mumkin. Agar funksiya shu sohada garmonik bo‘lsa, ni analitik funksiyaga aylantiradigan gormonik funksiyani toppish uchun quyidagi
,
Dalamber-Eyler shartlaridan foydalanish kerak. Mana shu shartlar bilan bog‘langan va funksiyalar o‘zaro qo‘shma gormonik funksiyalar deyiladi.
Berilgan garmonik funsiyaga qo‘shma gormonik funksiyani bir necha xil usulda toppish mumkin.
Dalamber- Eyler shartidan
(7)
(7) ning o‘ng tomonini to‘la differensial ekanligini tekshiraylik.
va
funksiya gormonik bo‘lgani uchun ohirgi ikki tenglikning o‘ng tomonlari o‘zaro tengdir. Shunga asosan (7)ni

ko‘rinishda yozish mukin. Bundan ushbu

Integralga ega bo‘lamiz. So‘nggi integral qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmagani uchun uni bunday yozish mumkin:
(8)
Bunda berilgan sohada qo‘zg‘almas, esa o‘zgaruvchi nuqta bo‘lib, ixtiyoriy o‘zgarmas sondir. So‘nggi tenglikda ishtirok etgani uchun ga qo‘shma garmonik bo‘lgan funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular bir biridan o‘zgarmas son bilan farq qiladi.
Quyidagi teoremaning isboti ham shu tariqa bo‘ladi.
Teorema: Bir bog‘lamli sohada gormonik bo‘lgan ixtiyoriy funksiya shu sohada analitik bo‘lgan funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismi eb qabu qilish mumkin.

Garmonik funksiyaning ayrim xossalari.
Teorema: (maksimum va minimum haqida) Agar funksiya sohada gormonik bo‘lib, aynan o‘zgarmas songa teng bo‘lmasa, u holda bu funksiya ning ichki nuqtalarida minimumga ham, maksimumga ham ega b‘lmaydi.
Isbot: Teoremani maksium uhun isbot qilinsa yetarli, chunki gormonik funksiyaning maksimum nuqtasi gormonik funksiya uchun maksimum nuqta bo‘ladi.
Teorema shartlari bajarilganda funksiya sohaning biror nuqtasida maksimum qiymatga erishsin deb faraz qilaylik. - markazi nuqtada bo‘lib, sohada yotuvchi doira bo‘lsin. doirada ga qo‘shma bo‘lgan gormonik funksiya funksiya tuzamiz.
doirada bir bog‘lamli soha bo‘lgani uchun analitik funksiya da bir qiymatli bo‘ladi. funksiya ham da bir qiymatli va analitik funksiya bo‘ladi va uning moduli farazimizga ko‘ra ichki nuqtada maksimumga erishadi.
Teorema: Agar funksiya bir bog‘lamli sohada gormonik bo‘lsa va qiymatlari da yotuvchi funksiya biror sohada analitik bo‘lsa, u holda
murakkab funksiya sohada garmonik funksiya bo‘ladi.
Isbot qilish uchun haqiqiy qismi sohada ga teng bo‘lgan funksiya tuzamiz, ya’ni . Ravshanki, funksiya sohada analitik, demak, sohada gormonik funksiya bo‘ladi.

.Puasson integrali.

tekislikda chegaralangan ochiq to‘plam va funksiya da uzluksiz funksiya bo‘lsin.
Teorema: Agar ning chegaralangan ochiq kichik to‘plami va funksiya da uzluksiz funksiya bo‘lsa, u holda va uchun Dirixle masalasining maksimal yechimi mavjud.
Agar sodda bog‘lamli va uning chegarasi soda yopiq egri chiziq bo‘lsa, u holda Dirixle masalasi doimo yechimga ega bo‘ladi. doirada va har qanday uzluksiz funksiya uchun Dirixle masalasining aniq yechmini ko‘rsatamiz. Konformal xaritalar uning chegarasida Rimanning akslantirish haqidagi teoremasi bizga h muvofiqlik ekvivalenti borligini bildiradi . dagi Dirixle masalasi dagi Dirixle masalasiga ekvivalent ekanini ko‘rsatish uchun ushbu xaritadan foydalanamiz.
Yuqoridagi yondashuvning qiyinligi shundaki, u holda muvofiqlik ekvivalenti uzluksiz teskari bilan birdan birgacha uzluksiz xaritasiga uzaytirilishini talab qiladi. Aslida esa bu to‘g‘ri va bz uni teorema sifatida bayon qilamiz, ammo isbotini keltirmaymiz.
Teorema: