``Grin formulasi va uning tadbiqlari ``

Egri chiziqli integrallarni hisoblashga oid misollar
1-masala. Quyidagi integralni x 2cost, y 2sint, 0 t  yarim aylana

bo’yicha hisoblang

25

^ydl. L

Yechish.Birinchi tur egri chiziqli integralni ta’rif yordamida hisoblash

uchun berilgan yarim aylanani n ta bo’laklarga bo’lib olamiz.(4-chizma)

(4-chizma)

^{A A} ^2,0^{, A 2cos} _n ^,2sin _{n }^{, A} _^2cos _n ^,2sin _{n }^,...,

_A 1 _2cos^n1^_,2sin ^n1^_{, B A 2,4.}

Berilgan yarim aylananing uzunligi 2ga, demak har bir bo’lakchaning uzunligi

i i
_n ^{ga teng ekanligi ravshan.Endi AA}_1 ^{i 0,1,2,...,}^{bo’lakchalardagi ixtiyoriy M}_i nuqtalar sifatida har bir bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indini tuzamiz.


1


i0 _{f M}i _i _{0}n _2sin n _n _2sin n _n _{...2sin} ⁿ n ^_n _





_n _sin n _sin n _...sin ⁿ n ^_n _sin n _sin n _...sin ⁿ n ^_sinn_

26
Demak,





n

L
_sin^^n1^{ydl }_m ^lim _{0 i1} ^{f Mi I lim8}_2n^ _sin 2n <sup>8.

2-masala.Quyidagi integralni y x2 1 parabolaning A</sup>^0,1^{va B}^2,5

nuqtalaridan o’tuvchi AB yoy bo’yicha hisoblang.



^{I }^{xy dx} L

Yechish. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash uchun AB yoyni n ta

bo’lakchalarga bo’lib olamiz (5-chizma)

^{A A} ^0,1^{, A} _n^, _n2 ^1_^{, A} _^{4,16 1}_^{, A} _^{6,36 1}_^,...,

_A 1 ²^n1_, ⁴^n1_1_{, B A 2,5.}


A A
Endi har bir _{i i1} bo’lakchalardagi ixtiyoriy ^M_i nuqta sifatida shu

bo’lakchaning boshidagi nuqtani olib integral yig’indi tuzamiz




i0 _{f M}i _xi _1n _n _n2 _1_n _n _n6 _{1}n _{...}²^n1_⁴^n12 _{1}n _

^{2 }_^{n2 12...n14 }^{14...n1}2 _^

_2__n2_ⁿ^n1_4 ⁿ^n16 ^2n1_20n² 18n^4_.

27
Demak,

I  xy dx lim n1 f x , y x lim ²⁰ⁿ2 ^18n4 ²⁰.
_L maxx 0 _i0 n

(5-chizma)

3-masala.Quyidagi ikkinchi tur egri chiziqli integralni Grin formulasi yordamida hisoblang

^y2^{dxxy}2 ^dy L

^{Bu yerda L chiziq A}^3,0^,B^3,3^{va C}^0,3^{nuqtalarni ketm}_a^{-ket tutashtiruvchi}

uchburchak konturi.

Yechish. Masalaning shartidan chiziq bilan chegaralangan soha

^{D }^{x, y}^{:0x 3,3x y 3}

^{ekanligini topamiz.P}^{x, y}^{y2 ,Q}^{x, y}^^xy2 ^, _y ^{2y va} _x ^2^xy^{lar D}

sohada uzluksiz ekani ma’lum.Grin formulasiga ko’ra


^y2^{dxxy}2 ^{dy }^{2xy2y dxdy }^{2xdxdy }L D D

28

3

 
^^{2xdxdy }^^{2xdydx }^2xy 3 ^{dx }^2x2^{dx 2 x}3 3 ^18. 0 3x 0 3x 0 0

4-masala. Quyidagi integralni x² y² 2x aylana bo’yicha hisoblang

^{I }^{xy dl.} L

Yechish. x² y² 2x aylananing parametrik tenglamasi x 1cost, y sint

ko’rinishda bo’lganligi uchun (1.8) formulaga ko’ra

^{I }^{xydl }^1cost ^{sintsint}2 ^{cost}2 ^{dt }L 0

^^{1cost sintdt t sint cost}2^{2}0

29

XULOSA

Ushbu kurs ishi orqali men geometriya fanida “Grin formulasi va uning tadbiqlari” mavzusini yanada mustahkamladim va menda yangi bilim va ko’nikmalar hosil bo’ldi.Grin formulasi asosan egri chiziqli entegrallardan iborat bo’lgani uchun egri chiziqlarning muhimligini e’tiborga olib, ular haqida ba’zi ma’lumotlarni keltirishni lozim topdim. Ayni paytda ushbu kurs ishi orqali birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning xossalari, yechilish usullari va ularning ba’zi tadbiqlarini o’rgandim. Qolaversa , egri chiziqli integrallarning geometrik va fizik ma’nolari haqida tushunchaga ega bo’ldim. Birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligini, jism massasini, og’irlik markazlarini topish mumkin. Ikkinchi tur egri chiziqli inegrallar asosan fizika fanida qo’laniladi. Ya’ni fizika fanida ikkinchi tur egri chiziqli integrali tekis kuch maydonining bajarilgan ishini hisoblashda qo’llaniladi.Grin formulasi bu kabi fanlarga tadbiqlarida umuman olganda matematik usullar yordamida fizik masalalarda matematik analiz fanining o’rni naqadar muhim ekanligini anglashimiz mumkin.Xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishida o’rganilgan grin formulasi va uning tadbiqlari mavzusi amaliy ahamiyatga ega bo’lgan, geometriya fanidagi muhim mavzulardan bo’lib, hayotda ko’pgina sohalarda qo’llaniladi.

30

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz asoslari 2-qism. Toshkent

“o’qituvchi” 1994y.


2. Sh.R.Xurramov. Oliy matematika.Barcha texnik yo’nalishlar uchun darslik. 2-qism.Toshkent “Tafakkur” nashriyoti , 2018y.
3. Sh.Alimov, R.Ashurov. Matematik analiz 2-qism.Toshkent “Mumtoz so’z” 2018y.
4. B.A.Shoimqulov, T.T.To’ychiyev, D.X.Djumaboyev, Matematik analizdan mustaqil ishlar. Toshkent 2008y
5. Yo.U.Soatov. Oliy matematika 3-jild.Toshkent “O’zbekiston” 1996y

6. G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, T.X.Mansurov, A.B.Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar, 2-qism.Toshkent “Voris-nashriyot” 2010 y
7. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. Москва “Наука” 1987.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III. Москва: «ФИЗМАТГИЗ» 1960.
9. Shokirova X.R. Karrali va egri сhiziqli integrallar. Toshkent ”O`qituvсhi” 1992y.

31