Gurux talabasi Luqmonova Gulzodaning matematika oʻqitish texnologiyasi va loyihalashtirish fanidan bajargan mustaqil ishi Mavzu: Matematika fanining mantiqiy qurilishi

Fargʻona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika oʻqitish metodikasi yoʻnalishi
18.04- gurux talabasi Luqmonova
Gulzodaning matematika
oʻqitish texnologiyasi va loyihalashtirish
fanidan bajargan
mustaqil ishi

Mavzu: Matematika fanining mantiqiy qurilishi

Reja:

1. Matematikaning zamonaviy dunyoda, jahon madaniyati va tarixida, jumladan gumanitar fanlardagi o‘rni.

2. Matematika fanining mazmuni va strukturasi.

3. Matematik taffakur, induksiya va deduksiya.

4. Evklid geometriyasi birinchi aksiomatik nazariyasi sifatida.

Tayanch tushunchalar:matematik madaniyat, matematik modellar, zamonaviy matematikaning strukturasi,matematik taffakur, induksiya va deduksiya,teoremalar, aksiomalar, ta’riflar, aksiomatik usul, Evklid geometriyasi birinchi aksiomatik nazariyasi sifatida,matematik til, uning mohiyati.

1. Matematika[1]- aniq mantiqiy mushohadalarga asoslangan bilimlar haqidagi fan deb e’tirof etilgan [2].Dastlabki ob’yekti sanoq bo’lgani uchun ko’pincha unga ’’ hisob haqidagi fan ’’ deb qaralgan.

Matematika eng qadimiy fan sohasi bo’lib, uzoq rivojlanish tarixini bosib o’tgan. Yunonistonda matematika deganda geometriya tushunilgan. IX – XIII asrlarda matematika tushunchasini algebra va trigonometriya kengaytirgan. XVII – XVIII asrlarda matematikada analitik geometriya, differensial, va integral hisob asosiy o’rinni egallaganidan so’ng, to XX – asr boshlarigacha u ’’ miqdoriy munosabatlar va fazoviy shakllar haqidagi fan ’’ mazmunida ta’riflangan.

XIX - asr oxiri XX - asr boshlarida turli geometriyalar, algebralar, cheksiz o’lchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma – xil ko’pincha sun’iy tabiatli ob’yektlar o’rganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta’rifi o’ta tor bo’lib qoldi.

Matematik bilimlar nafaqat baho olish uchun savol – javoblar yoki imtihonlarda, balki uyda, ish jarayonida, sport va san’at bilan shug’ullanishda, savdo – sotiq, oldi – berdi hayotning har bir lahzasida naf beradi. Matematika fani biror misol yoki masala, topshiriqlarni turmushdagi oddiy vaziyatlar yordamida yechishga o’rgatadi. Misol uchun:Shaxnoza opaning plastik kartochkasiga 450 000 so’m oylik maoshi tushdi. U oyligining 35% ini plastik kartochkasiga oladi. Uning jami oyligi necha so’m? Uning naqd pulda oladigan maoshi qancha?

Bu misolni tug’ri proporsional usulida osongina yechish mumkin:

¢ 450 000 – 35 %

¢ X - 100 %

¢ ( 450 000 x 100 / 35 = 1 285 714,29 )

¢ Demak, 1 285 714 so’m – uningjami maoshi. Shundan 450 000 so’m plastik kartochkaga tushsa, 835 714 so’m naqd pul oladi.

Mutaxassislarning ta’kidlashlaricha, matematikani yaxshi o’zlashtirgan o’quvchining tahliliy va mantiqiy fikrlash darajasi yuqori bo’ladi. U nafaqat misol va masalalar yechishda, balki, hayotdagi turli vaziyatlarda ham tezkorlik bilan qaror qabul qilish, muhokama va muzokara olib borish, ishlarni bosqichma – bosqich bajarish qobiliyatlarini o’zida shakllantiradi. Shuningdek, matematiklarga xos fikrlash uni kelajakda amalga oshirmoqchi bo’lgan ishlar, tevarak – atrofda sodir bo’layotgan voqea – hodisalar rivojini bashorat qilish darajasiga olib chiqdi.

Ko’pchilik matematiklar o’z sohasini estetik miqyosda yetakchi deb baholashadi. Haqiqatdan ham, ko’pchilik matematik isbotlar “nodir” hisoblanib, ularning natijalari esa “go’zallik” dir. Bu go’zallikni his etish, o’z hayotida tatbiq etish ma’naviyat, madaniyatni rivojlanishiga asos bo’lib xizmat qiladi.

Matematik madaniyat — umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi hisoblanadi. Barchamizga ma’lumki, matematika fani insonning aqlini o‘stiradi, uning diqqatini rivojlantiradi, ko‘zlangan (rivojlantirilgan) maqsadga erishish uchun o‘zida qat’iyat va irodani tarbiyalaydi, o‘zidagi algoritmik tarzdagi tartib-intizomlilikni ta’minlaydi va eng muhimi uning tafakkuri kengayadi.

Matematikaolamni, dunyoni bilishning asosi bo‘lib, tevarak-atrofimizdagi voqea va hodisalarning o‘ziga xos qonuniyatlarini ochib berishda ahamiyati juda katta.

Matematikada borliq, asosan, matematik modellar yordamida ideallashgan holda in’ikos qilinadi. Ideallashtirish jarayonida mavjud ob’yektlar haqidagi empirik bilimga tayangan holda, haqiqatda mavjud bo‘lmagan va ba’zan mavjud bo‘lishi mumkin ham bo‘lmagan, lekin real mavjud predmetlarga ma’lum bir munosabatda o‘xshash ob’yektlar haqidagi tushunchalar hosil qilinadi.

Tadqiq qilinayotgan jarayon va hodisalardagi qonuniyatlar matematik belgilar yordamida ixcham ko‘rinishda ifoda etilib ularning matematik modeli quriladi va o‘rganiladi. Matematik modellashtirish tashqi dunyoni bilish hamda bashorat qilish va boshqarish uchun samarali usul hisoblanadi.

Vatanimizning gullab-yashnashi, barqaror rivojlanishi ma’lum bir darajada yoshlarning chuqur bilimga, mustahkam ishonch-e’tiqodga va, umuman, komil inson bo‘lishlariga bog‘liq.

Bu haqda birinchi Prezidentimiz Islom Karimov «Komil inson deganda biz, avvalo, ongi yuksak, mustaqil fikrlay oladigan, xulq-atvori bilan o‘zgalarga ibrat bo‘la oladigan, bilimli, ma’rifatli kishilarni tushunamiz. Ongli, bilimli odamlarni oldi-qochdi gaplar bilan aldab bo‘lmaydi. U har bir narsani aql, mantiq tarozisiga solib ko‘radi. O‘z fikr-o‘yi,xulosasini mantiq asosida qurgan kishi yetuk odam bo‘ladi»[3] deb ta’kidlagan.

Matematika fanining yana bir o`ziga xos jihati shundan iboratki, har qaysi fan albatta unga murojaat qiladi. Tarix, dinshunoslik, huquqshunoslik kabi gumanitar fanlar ayniqsa matematika faniga ko`proq aloqada bo`lishadi. Masalan, qamoq jazosini ozodlikdan maxrum qilish jarayonida, aholiga pensiya tayinlash chog`ida matematik amallarni mukammal darajada bo`lishni talab etadi.

2. Hozirgi kunda matematika shartli ravishda elementar va oliy matematika kabi qismlarga ajraladi. Uning strukturasi quyidagicha:

Elementar matematika: arifmetika,elementar algebra, elementar geometriya (planimetriya va stereometriya), elementar funksiyalar nazariyasi va analiz elementlari.

Oliy matematika: matematik tahlil, algebra, analitik geometriya, chiziqli algebra va geometriya, diskret matematika, matematikmantiq, differensial tenglamalar, differensial geometriya, topologiya, funksional analiz va integral tenglamalar, funksiyalar nazariyasi, ehtimolliklar nazariyasi, matematik statistika, variatsion hisob va optimallashtirish usullari, sonli usullar, sonlar nazariyasi.

Matematika eng qadimiy fan sohasi bo‘lib, uzoq rivojlanish tarixini bosib o‘tgan va buning barobarida «Matematika nima?» degan savolga javob ham o‘zgarib, chuqurlashib borgan.

Elementar matematika davrida dastlabki ob’yekti sanoq bo‘lgani uchun ko‘pincha unga «hisob-kitob haqidagi fan» deb qaralgan (ammo bugungi matematikada hisoblashlar, hatto formulalar ustidagi amallar juda kichik o‘rin egallaydi).

Zamonaviy matematika (ba’zan “oliy matematika” deyishadi) davrining boshlang‘ich nuqtasi deb 17-asr – matematik tahlilning paydo bo‘lish asri qabul qilingan.

Bu paytda analitik geometriya va algebra simvolikasi vujudga keldi. 17 –asr ohiriga kelib I.Nyuton, G.Leybnits va ularning o‘tmishdoshlari tomonidan yangi matematik apparat - differensial va integral hisob yaratildi. Bu apparat matematik tahlilning asosini va, ta’bir joiz bo‘lsa, hatto umuman hozirgi zamon tabiatshunosligining matematik asosini tashkil etadi.Bu davrda matematika «Miqdoriy munosabatlar va fazoviy shakllar haqidagi fan» mazmunida ta’riflangan.

3. Tafakkur – voqelikni bilishdan iborat bo‘lgan aqliy faoliyatning yuksak shakli. Matematikada tafakkur yuritish mantiqiyqonunlar asosida amalga oshiriladi.

Matematik tafakkur deganda o‘zaro bog‘langan mantiqiy amallar majmuasi tushuniladi; matematik tilning belgi sistemalari bilan ishlash; fazoviy tasavvurni qabul qilish; shuningdek «xususiy xollarda aniqlangan, qonuniyatlarni umumlashtirish; induktiv isbotlar; analogiya bo‘yicha isbotlar; muayyan xollarda matematik tushunchalarni topish yoki ular asosida shunday xollarni ko‘rish» (D.Poya).

Shuni aytish lozimki, matematik taffakur faqat mantiqiy amallarga tayanmaydi. Masalani to‘g‘ri qo‘yilishi hamda uning yechimini tanlab olishni baholash uchun matematik intuitsiya muhim rol o‘ynaydi.

Ta’rif —avvaldan ma’lum tushunchalar asosida yangi tushuncha kiritishga xizmat qiladigan matematik jumla.

Ta’riflash quyidagi asosiy vazifalarni hal qilishda yordam beradi:

1) tushunchada aks etuvchi predmetning muhim belgilarini ko‘rsatadi;

2) tushunchani ifoda qiluvchi so‘zning (terminning) ma’nosini ochib beradi;

3) termin hosil qilishga imkon beradi. Ta’rifda odatda “deyiladi” (yoki “deb ataladi”, “deb yuritiladi” va h.k.) so‘zlari ishtirok etadi.

Isbot — mulohaza, hukm, nazariyaning chinligini aniqlash (asoslash). Isbotning ob’yektiv metod orqali manti­qiy ishonchga olib boradigan turi va inson his-tuyg‘ulari, mayllariga asoslanib ruhiy ishonchga olib keladigan turi mavjud. Mantiqiy isbotning tuzilish jihatdan tezis (isbotlanishi kerak bo‘lgan fikr), asos (tezisni isboti uchun keltirilgan dalillar) isbotidan iborat. Isbot fan va amaliyotda doim qo‘llanadigan fikrlash usulidir.

Matematikadamulohaza yuritishning deduksiya va induksiya deb nomlangan ikki muhim usuli mavjud.

Induksiya — ayrim fikrlardan umumiy xulosalar chiqarishda va mantiqiy tadqiqotlarda qo‘llaniladigan muhokama usuli. Xususiylikni o‘rganib, umumiylik bilib olinadi. Umumiylik pred­met va hodisalar bilan uzviy aloqada bo‘ladi. Induksiya bilimlarning tashkil topishida, qonuniyatlarni ochishda, tushunchalarni maydonga chiqarish jarayonida, gipotezani olg‘a surishda fan uchun muhim ahamiyatga ega.

Deduksiya — mantiq qoidalariga ko‘ra xulosa chiqarish. Dastlab formal mantiqda umumiylikdan xususiylik, ayrimlik tomon muhokama yuritish deduksiya deb atalgan. Masalan, “All men are mortal” va “Socrates is a man” degan ikki hukmdan deduktiv yo‘l bilan «Socrates is mortal» degan yangi hukm (xu­losa) chiqariladi.

Hozirgi zamon fanida «Deduksiya» termini keng ma’noda qo‘llanilib, muayyan hukmdan mantiq qonunlari asosida xulosa chiqarish tushuniladi. Agar asos qilib olingan hukm haqiqiy va deduksiya qonunlariga rioya qilingan bo‘lsa, undan chiqariladigan xulosa ham haqiqiy bo‘ladi.

O‘z-o‘zidan ravshanligi, ayonligi sababli isbotsiz qabul qilinadigan holat, tasdiq, fikr aksioma deb atalishini eslatib o‘tamiz.

Deduktiv me­tod turli shakllarda, xususan aksio­matik metod, shuningdek, gipotetik — deduktiv metod shaklida uchraydi. Mavjud faktik materiallardan deduk­tiv yo‘l bilan nazariya yaratishda asos bo‘ladigan fikrlar majmuasi (aksio­ma va boshqalar) tanlab olinib, mantiq qo­nunlari asosida ulardan boshqa bilimlar hosil qilinadi.

4. Aksiomatik metod birinchi marta qadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning «Negizlar» (miloddan avval 300-yillar) asarida bayon etilgan geo­metrik sistema aksiomatik usul bilan nazariya qurish namunasidir. Bu asar jami bo‘lib 13 bobdan iborat bo‘lib, uning 1-4 boblarida planimetriyaning aksiomatik nazariyasi qurilgan. Mazkur geometriyaning asosiy aksiomatik tushunchalari «nuqta», «to‘g‘ri chiziq», «tekislik» bo‘lib, ular ideal fazoviy ob’yektlar sifatida olib qaralgan; geometriyaning o‘zi esa fizikaviy fazoning xususiyatlarini o‘rganuvchi ta’limot sifatida talqin qilingan. Evklid geometriyasining qolgan barcha tushunchalari ular yordamida hosil qilingan.

Evklidning «Negizlari» deyarli barcha dunyo tillariga tarjima qilingan.

19-asr oxiri va 20-asr boshlarida turli geometriyalar (Lobachevskiy geometriyasi, Proektiv geometriya, Riman geometriyasi kabi), algebralar (Bul algebrasi, kvaternionlar algebrasi, Keli algebrasi kabi), cheksiz o‘lchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, ko‘pincha sun’iy tabiatli ob’yektlar o‘rganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta’rifi o‘ta tor bo‘lib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va to‘plamlar nazariyasi asosida o‘ziga xos mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng aso­siy xususiyat — qatiy mantiqiy mu­shohada, degan g‘oya vujudga keldi (J. Peano, G. Frege, B. Rassel, D. Gilbert).

19-asr oxiri— 20-asr boshlariga kelib matematika asoslarini mustahkamlash bo‘yicha katta qadamlar qo‘yildi: haqiqiy sonlar nazariyasi tugallandi (Veyershtrass, Dedekind), matematik mantiq shakllandi (Peano, Frege), funksiyalar nazariyasi yaratildi (Riman, Lebeg, Fubini, Stiltes), geometriyaning aksiomalar sistemasi takomilga etkazildi (Gilbert), to‘plam tushunchasining ahamiyati anglandi, bu tushuncha asosida geometriya kabi butun matematikani ham qat’iy aksiomalar asosiga qurishga ishonch paydo bo‘ldi.

19-asr ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari aksiomatik metod bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimolliklar nazariyasi va b.). Aksiomatik metodning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va forma­lizm metodi bilan bog‘liq.

Ammo matematika asoslariga chuqurroq kirishilgani sayin muammolar ham o‘tkirlashib bordi — 20-asrning boshlari matematika tarixidagi eng chuqur inqirozga to‘qnash keldi — matematikaning asoslarida chuqur ziddiyatlar ochila boshladi (Burali — Forti, Rassel, Rishar, Grelling paradokslari). Ularni engib o‘tish yo‘lidagi urinishlar natijasida to‘plamlar nazariyasining aksiomatik nazariyasi yaratildi (Sermelo, Frenkel, Bernays, J. Fon Neyman) va «matematika binosi yaxlit mukammal loyiha asosiga qurilgani» haqidagi Gilbert tasavvuri qayta tiklandi.

Struktura deb o‘zaro bog‘langan va shartlangan munosabatda bo‘lgan elementlardan tashkil topuvchi butunlik tushuniladi. Strukturaga bunday yondashuv o‘rganilayotgan ob’yektni uni tashkil etgan elementlar o‘rtasidagi ichki aloqa va bog‘liqlikni yoritishni talab etadi

20-asr o‘rtalarida Burbaki[4] taxallusi ostida matematika asoslarini qayta ko‘rib chiqqan bir guruh fransuz matematiklari «Matematika —matematik strukturalar majmuasi » degan ta’rif kiritdi.

XX asr boshqa fanlar taraqqiyotida bo‘lgani kabi gumanitar, xususan lingvistika tarixida ham asosiy e’tiborning ob’yektga substansional nuqtai nazardan yondashuvdan struktur-funksional nuqtai nazardan yondashuvga o‘tishi bilan xarakterlanadi. Bunga F.de Sossyurning “Umumiy lingvistika kursi”da bayon qilingan “til substansiya emas, balki shakldir” degan bosh g‘oyasi sababchi bo‘ldi.

Struktura tilshunoslik tilga belgilar sistemasi sifatida qaraydi va tilshunoslikni belgi nazariyasi bilan shug‘ullanuvchi semiotikaning tarkibiy qismi deb baholaydi.

Hozirgi zamon tilshunosligida til o‘ziga xos semiologik sistema (belgi-ishoralar sistemasi), ya’ni “til g‘oyalarni ifodalovchi belgilar sistemasi” ekanligi qabul qilinib, jamiyatda asosiy va eng muhim fikr almashish quroli, jamiyat tafakkurining rivojlanishini ta’minlovchi, avloddan—avlodga madaniy—tarixiy an’analarni etkazuvchi vosita xizmatini o‘tashi taqidlangan.

Tilni hosil qilgan lingvistik ob’yektlar ularga ma’lum darajada o‘xshash matematik strukturalar yordamida yaxshi ifodalanishi ma’lum.

Shuning uchun ham hozirgi zamonda matematik usullar gumanitar fanlarning asosi bo’lmish tilshunoslikda uchraydigan hodisalarni va faktlarini tushuntirishga va bashorat qilishga qodir bo‘lgan matematik modellarini qurishga hamda tahlil qilishga samarali qo‘llanilmoqda.

20-asrning 50-yillardan boshlab matematikaning tabiiy tilni hosil qilgan ob’yektlar bilan ba’zi bir jihatlardan o‘xshash bo‘lgan mavhum strukturalarni o‘rganuvchi matematik lingvistika (lot. lingua – til) deb nomlangan fan vujudga keldi.

Ko‘pincha tilshunoslikda matematik usullarni qo‘llash intuitiv tarzda qo‘yilgan masalani bitta yoki bir nechta soddaroq va mantiqan to‘g‘ri qo‘yilgan matematik masalalar bilan almashtirsa bo‘ladi. Odatda bunday masalalar algoritmik yechimga ega, shuning uchun ham bunday yondashish zamonaviy kompyuter vositalari yordamida og‘zaki muloqotning avtomatik tarzda analiz va sintez qilish, axborotlarni qayta ishlash, avtomatik tarjima tizimlarini yaratish uchun zarurdir.

Shu bilan birga matnlarni lingvistik jihatdan tahlil qilish, leksiko-grammatik hodisalarni topish, funksional va pragmatik tomondan matnning strukturaviy-semantik va stilistik xususiyatlarini anglashida ma’lum darajada matematik taffakkur metodlaridan foydalanishi maqsadga muvofiq[5].

Matematik lingvistika tilshunoslik bo‘limi sifatida tabiiy til­lar hodisalarini va ularni tadqiq etish jarayonlarini mavhumiy-semiotik modellashtirish usulidan foydalanadi; matematik fan sifatida esa ana shu modellarning eng umumiy xossalarini tadqiq etadi va ularning tuzilish usullarini o‘rganadi.

Uning asosiy tushunchalari — asos qilib olingan belgi-ishoralar (alifbo, lug‘at) va ma’lum alifbo belgi-ishoralarining ketma-ketliklari (so‘z shakllar, iboralar) kabi tushunchalardir. Bu asosiy tushunchalar tilshunoslikning har bir sathida qo‘llanadi. SHuning uchun ham o‘z maqsad-vazifasiga kura, matematik lingvistika eng avvalo nazariy tilshunoslik vositasi hisoblanadi.

Matematika tili. Matematika ham o‘z alifbosiga egadir. Bu alifbo harflar, raqamlar va maxsus belgilardan tashkil etilib, ularning har biri o‘z navbatida yaxlit deb qabul qilingan belgilardan iboratdir. Matematik belgilar - matematikaga oid bilimlarni yozuvda ifodalash uchun qo‘llanadigan belgilardir. Hozirgi zamon matematikasining ko‘plab natijalarini rivojlangan va qulay belgilarsiz tasavvur qilish mumkin emas.

Keng ma’noda aytganda matematik til xuddi tabiiy tildek alifbo, so‘zlar, grammatika, bu tilda turli matnlardan tashkil topgan. Matematik tilda so‘zlar va grammatikaning analogi sifatida matematik belgilar, aksiomalar, teoremalar, ta’riflar, matnlar analogi sifatida esa matematik modellar deb qaralsa bo‘ladi.

Xalqaro matematika ittifoqi tomonidan nashr qilingan “Matematika: chegaralari va istiqbollari” nomli kitobda quyidagi ta’rif keltirilgan[6]:

Matematika – bu o‘ziga xos bo‘lgan grammatik qoidalari yordamida chekli alfavit belgilarining chekli zanjirlarini boshqa shunday zanjirlarga almashtirishlarni o‘rganadigan tilshunoslikning bo‘limi.

Tabiiy tillardan farqli tomoni shundaki, bu maxsus til grammatikasida «1 + 2» belgilar zanjiri o‘rniga «3» belgisini qo‘yish qoidasiga o‘xshash qoidalar bisyor.

Matematik tilning afzalliklari:

1. Maxsus belgilar yordamida fikrlash madaniyatini egallagashga, fikrlarni ketma-ket, mantiqan to‘g‘ri, aniq va ratsional ifodalashga imkon yaratadi

2. Tevarak atrofimizdagi voqea va hodislarni ongli o‘rganish uchun katta imkoniyatlarga ega.