Haqiqatga eng yaqin baholash usulining xossalari Reja


Gamma taqsimot va uning xossalari



Yüklə 366,5 Kb.
səhifə3/4
tarix25.06.2023
ölçüsü366,5 Kb.
#135011
1   2   3   4
Haqiqatga eng yaqin baholash usulining xossalari

Gamma taqsimot va uning xossalari. 2.1.-Ta’rif. Agar t.m. zichlik funksiyasi

  1

x







f (x) () x e


0,
, x  0,
x  0,
(1.2.1)

ko’rinishda bo’lsa, u holda  t.m. gamma taqsimotiga ega deyiladi, bu yerda  0 ,
  0 va


()  t 1et dt


0

- gamma funksiya:




()  (  1)(  1) ,
(n) (n 1)!,
(1/ 2) .

Gamma taqsimotni , orqali belgilaymiz.


 :  , t.m. xarakteristik funksiyasini hisoblaymiz:

it



itx


 1

x







 1

( it ) x



(t)  M e
e () x e dx () x e dx

0 0





((  it)x)1e(it)xd (  it)x
1 




it 
.


()(  it)
10 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3


( )
(  it)









Demak,
t Meit
1 
it 

. Xarakteristik funksiya yordamida gamma





 
taqsimot momentlarini oson hisoblash mumkin: M  , D  .



Xossalari:
  2

  1. Agar

 ,..., bog’liqsiz t.m.lar bo’lib,  : 
, i  1,..., n
bo’lsa, u

1 n i
 ,j


holda



n


Sn j
j 1
ning taqsimoti


1
 ,n j
bo’ladi.

Bu xossani isbotlash uchun xarakteristik funksiyalardan foydalanamiz.
 ,



it  



taqsimotning xarakteristik funksiyasi t 1
 
ga teng. Bog’liqsiz t.m.lar

yig’indisining xarakteristik funksiyasi xarakteristik funksiyalar ko’paytmasiga teng



ekanligidan foydalansak,



n


Sn j
j 1
t.m. xarakteristik funksiyasi


n
n n  j j
t t 1 it 1 it j1

Sn j
j 1

j 1
 

   



bo’ladi.
it

1
 



j j1



n
xarakteristik funksiya esa

taqsimotning xarakteristik



n
 , 


1 j

funksiyasidir. ■

  1. Agar  standart normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda 2

tasodifiy

miqdor1/2, 1/2
taqsimotga ega bo’ladi.


Buni ko’rsatish uchun avval
2 t.m.ning taqsimotini topamiz. Agar
x  0


 
bo’lsa: F 2
x P2 x  0 ,
x  0
bo’lsa:




F 2 x P2 x P   
x F
x F x




bo’ladi. Bu yerda
F x- standart normal taqsimotning taqsimot funksiyasi. Endi

2 t.m.ning zichlik funksiyasini topamiz.
x  0
da:


f 2 x F 2 x F
x 1 F
x 1

 


1 f


x

f
2


x

1 f
2
x 1 ex/2 .

x  0
da:
2




f 2 x 0 .
  



Demak,  2 t.m.ning zichlik funksiyasi




  e
f 2
x 1 x/ 2
2 x
1 / 212



1 / 2


x1/ 21ex/ 2 , x 0 ,


1/ 2,1/ 2
taqsimot zichlik funksiyasiga teng ekan. ■




  1. ,1 taqsimot  parametrli ko’rsatkichli taqsimotdir.

Agar :  ,1 bo’lsa, uning zichlik funksiyasi:



ex ,
f (x) 
0,
x  0,
x  0

 parametrli ko’rsatkichli taqsimot zichlik funksiyasidir.

  1. Agar1,2 , ,k bog’liqsiz va standart normal taqsimotga ega t.m.lar





1 2
bo’lsa, u holda    2   2 K
  2 :
1/2,k /2
bo’ladi.


k
Momentlar usulida noma’lum parametrni baholash, eng sodda va keng qo`llaniladigan usullardan biridir. Gamma taqsimotining momentlar usulidagi bahosini topamiz. Gamma funksiyaning zichlik funksiyasi quyidagicha:






f (x; ;
x2 1  exp x / 

2 1




)  2




1 2 (
)  2 ,


agar
x  0
bo`lsa.

Birinchi tartibli nazariy moment quyidagiga teng:

x2  expx / 
1
x 2
x
x


0 0
MX1
2 dx




 

e 1 dx
t


(2 ) 1 2
(2 )
1  1 





     

1 t 2 e
(2) 0
tdt   1 t 2 de t
(2) 0


  



  




( )
0 2 1 2

=
1 t 2 e t |
2
 t
0
2 1e
tdt     X






Endi ikkinchi tartibli nazariy momentni hisoblaymiz:



x2 1  expx / 



2


x
2
  


1
MX 2
(
)  2
dx t
1
(
t 2 1e
)
tdt

0 2 1


2    
 1
  

2 (

2 0


 1)

( )

0 2
( )




  1
2
t 2 1e t |

(
 1) t 2 e
0
tdt 1 2
2
t 2 e
0
tdt

2 (  1)



  


( )
0 2
1 2 2

1 2
2
t 2 e t |

 t
0
2 1e
tdt   2 ( 2  

)  X 2


Bu tenglamalardan foydalanib 1 va 2
larni topamiz.





µS 2
µ ( X )2




1 X va 1
, (1.2.2)
S 2

baho bo`lar ekan. Bu baholar momentlar usuli bahosi xossasiga ko`ra asosli baho bo`ladi.

Gamma taqsimot haqiqatga maksimal o`xshashlik bahosini topishimiz uchun biz, avvalambor, uning haqiqatga o`xshashlik funksiyasini tuzib olishimiz kerak bo`ladi. Gamma taqsimot haqiqatga o`xshashlik funksiyasi quyidagiga teng:






Yüklə 366,5 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin