Hisoblash tenglamalari sistemasi quyidagi ko‘rinishga EGA

Qon oqimining mexanikasi uzoq vaqt davomida ko‘plab tadqiqotchilarning diqqat markazida bo'lib kelgan. Bu sohadagi birinchi ishlar, aftidan, Eylerga, so‘ngra 1808 yilda arteriyalarda qon oqimining to‘lqin tabiatini matematik tahlil qilgan va puls to‘lqinining tezligini hisoblab chiqqan Yungga tegishli [1]. Biroq, pulsatsiyalanuvchi qon oqimi va arterial bosimni tavsiflovchi birinchi real model ancha keyin paydo bo‘ldi [2]; u Navye-Stoksning chiziqli tenglamasidan foydalangan va obyektni bir jinsli qattiq naycha sifatida ko‘rib chiqdi. Keyin tomir devorlarining elastik xususiyatlari hisobga olindi [3, 4] va Furye tahlili [5, 6] yordamida chiziqli bo‘lmagan ta’sirlar ham ko‘rib chiqildi. So‘nggi o‘n yilliklarda normal sharoitlarda ham, patologiyalar mavjud bo‘lganda ham qon oqimini modellashtirishda bir qator yutuqlarga erishildi [7, 8]. Pulsatsiyalanuvchi qon oqimini o‘rganishning zamonaviy usullari juda murakkab va xilma-xildir. Xususan, stoxastik usullar [9] va kombinatsiyalangan fraktal-to‘lqinli tahlilga asoslangan yondashuvlar mavjud [10]. Biroq, bosim to‘lqinlari va qon oqimining tarqalishini batafsil o‘rganish hali ham bir o‘lchovli modellar yordamida amalga oshirilmoqda [11-16]. Shu bilan birga, bir qator tadqiqotchilar hanuzgacha [17] ta’kidlashadiki, hatto eng oddiy (bir va ikki o‘lchovli) yondashuvlar ham katta miqdordagi hisoblash resurslarini talab qiladi, bu esa qon aylanishini matematik modellashtirish muammosining muhimligi va to‘liq yechilmaganini ko‘rsatadi.

Stenozli tomirlardagi oqimning gidrodinamik xususiyatlarini aniqlash uchun Navye-Stoks tenglamalarining to‘liq tizimi yechilib, uzluksizlik tenglamasi bilan to‘ldirildi. Birinchi taxmin sifatida, muammo ikki o‘lchovli masala sifatida qaraldi, qon oqimi siqilmaydigan suyuqlik sifatida qabul qilindi [1].

Hisoblash tenglamalari sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega:
(2.1)
(2.2)
Biz boshlang‘ich shart sifatida quyidagilarni olamiz:

Bosim uchun biz gidrostatik taqsimotni dastlabki taqsimot sifatida olamiz.
Shuningdek ko‘rib chiqilayotgan ortiqcha bosim P nolga teng bo‘ladi, ya’ni P( 0, x, z) = 0, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ z ≤ H.
Ko‘rib chiqilayotgan hududning kirish qismida, ya’ni x=0 da tezlik, bosim va harorat qiymatlari boshlang‘ich shartlarga to‘g‘ri keladi:

Chiqishda, ya’ni x=L bo‘lganda, quyidagi shartlar qo‘llaniladi:

Ko‘rib chiqilayotgan sohaning quyi chegarasida, ya’ni z=0 da biz quyidagi chegaraviy shartlarini qabul qilamiz:

Istalgan qiymatlar sohalarini 1-bosqichda hisoblashda to‘g‘ridan-to‘g‘ri vaqt o‘tishi barqarorlik holatini nazorat qilish bilan maksimal vaqt qadamini cheklash shaklida amalga oshiriladi [18]:

Mos keladigan differentsial yaqinlashishlarning musbat diffuziya koeffitsiyentlarining shartlarini aniqlashga asoslangan [19, 20]. Manfiy diffuziya koeffitsiyentlari uchun differensial yaqinlashishning dissipativ shartlari vaqt o‘tishi bilan eksponensial ravishda ortib borayotgan yechimga ega bo‘lishi mumkin, bu noturg‘unlikdan dalolat beradi [18]. Ikkinchi va uchinchi bosqich tenglamalari uchun fon Neyman usuli [20] qo‘llanildi, bunda tenglamalar yechimi hadlar soni chekli bo‘lgan Furye qatori bilan ifodalanadi va turg‘unlik har bir individual tebranishlarda pasayadi.
Yechishni osonlashtirish uchun (2.1)-(2.2) masalani toʻgʻri toʻrtburchakli sohada qaraymiz. Unda (2.1)-(2.2) masalani sonli yechish uchun nomaʼlumning oʻzgarish maydonini chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda qadamlarga mos toʻr bilan qoplaymiz:
.
Vaqt va fazo oʻzgaruvchilari boʻyicha approksimatsiyaning yuqori tartibini, shuningdek hisoblash jarayonining turgʻunligini taʼminlash uchun oshkormas ayirmali sxemadan foydalanamiz:
(2.1) tenglamadani OX yo‘nalish bo‘yicha quyidagicha chekli ayirmani qo‘llagan holda approksimatsiyalaymiz:

Ushbu ifodani soddalashtiramiz va quyidagiga kelamiz:

O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz va quyidagiga kelamiz:

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Natijada quyidagi uch diagonalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz:

(2.2) tenglamadani OX yo‘nalish bo‘yicha quyidagicha chekli ayirmani qo‘llagan holda approksimatsiyalaymiz:

Ushbu ifodani soddalashtiramiz va quyidagiga kelamiz:

O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz va quyidagiga kelamiz:

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Natijada quyidagi uch diagonalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz:

(2.1) tenglamadani OZ yo‘nalish bo‘yicha quyidagicha chekli ayirmani qo‘llagan holda approksimatsiyalaymiz:

Ushbu ifodani soddalashtiramiz va quyidagiga kelamiz:

O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz va quyidagiga kelamiz:

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Natijada quyidagi uch diagonalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz:

(2.2) tenglamadani OZ yo‘nalish bo‘yicha quyidagicha chekli ayirmani qo‘llagan holda approksimatsiyalaymiz:

Ushbu ifodani soddalashtiramiz va quyidagiga kelamiz:

O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz va quyidagiga kelamiz:

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Natijada quyidagi uch diagonalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz:






1-rasm. 102, 104, 94, 259 raqamli arteriyalarda vaqtinchalik tezlik profillari 5 raqamli arteriya sog‘lom bo‘lgan – 1–egri chiziq, aterosklerotik blyashka tomir yo‘lagi 50% ga to‘sib qo‘yilgan holda 2 – egri chiziq; 70% 3 – egri chiziq; 90% - 4 – egri chiziq.





2-rasm. 102, 104, 94, 259 raqamli arteriyalarda vaqtinchalik bosim profillari 5 raqamli arteriya sog‘lom bo‘lgan – 1–egri chiziq, aterosklerotik blyashka tomir yo‘lagi 50% ga to‘sib qo‘yilgan holda 2 – egri chiziq; 70% 3 – egri chiziq; 90% - 4 – egri chiziq.