Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning

Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.

5. 
   misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari
   

^Cⁿ , 0  n  s,

a  _ ^s

formula asosida aniqlangan
a , a , a ,..., a ,...
sonlar ketma-

_0,
s  n,
0 1 2 n

ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda
Cⁿ 
s! n!(s  n)!
– binomial koeffitsientlar. Bu

s
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra
 s
_a xⁿ  _Cⁿxⁿ  (1 x)^s

n
n0
s
n0

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun
s  0
son uchun

C⁰, C¹, C²,..., C^s ,0,0,...,0,...
ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi

s s s s

funksiyasi
f (x)  (1 x)^s
ko‘rinishga egadir.

Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.