Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning

1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir:
k  m  n
sonlar uchun quyidagi


min(k ,n)
_Ci _Ck i _{ C}k _.

n m i max(0,k m)
n  m

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin
u₀  0
sonni qo‘yib,

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz.
u(x)
hosil

Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
  

u(x)  _u x^k  x  _u x^k  x  _(u _

• 
  u _ )x^k 
  

k
k 0

k
k 2

k 2 k 1
k 2
 

 x  _u _ x^k  _u _ x^k  x  x² _u x^s  x_u
x^p 

k 2
k 2
k 1
k 2
s
s 0
p
p 0

 x  x²u(x)  xu(x) .

Endi hosil bo‘lgan tenglama deb qarab,
u(x)  x  x²u(x)  xu(x)
tenglikni
u(x)
funksiyaga nisbatan

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning u(x) 
x
1 x  x²
hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.

2. 
   teorema. Fibonachchi soni u_n ( n  0,1,2,... ) uchun
   

^1
_{5 }n
^1
_{5 }n _

u_n 
^
_
 _ 
²  
^ 
² _ _
tenglik o‘rinlidir.

Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan
R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),...



ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan
r(x)  _ R(n)xⁿ  1 x  2x²  3x³  5x⁴  7x⁵ 12x⁶  ...
n0
darajali qatorni qaraymiz.

L. Eyler uchun tekshirib,
(1 x)(1 x² )(1 x³)...(1 xⁿ )
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n

  _
3m² m

3m² m _




(x)  _(1 xⁿ )  1 _(1)^{m } x ²
 x ^{2 }

n1
m1 _{ }

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi.

2. 
   teorema. (x)r(x)  1.
   

Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini toping:
   

a) 1 2, 2 3, 3 4, ...; b) 1²,2²,3²,4²,...; d) 1,
1 _, 1 _,
4 9
¹ , ... ;
16

e) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...; f) 1,
1 _, 1 _,
¹ , ...
; g) 1, 0,  ¹ , 0, ¹ , ... .

2 3 4 3! 5!

2. 
   Har qanday chekli a songa mos keluvchi
   

1, a, a²,..., aⁿ,...
va 1,1,...,1,...
ketma-

ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalardan foydalanib ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini toping.
0, a 1, a² 1,..., aⁿ 1,...

3. a₀ , a₁, a₂ , a₃ ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)
bo‘lsin.

Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarni aniqlang:
a) a₀  a₁, a₁  a₂ , a₂  a₃ ,... ; b) a₀ , a₀  a₁, a₀  a₁  a₂ ,... ;
d) a , a , a , a ,...; e) a , a b, a b², a b³,... , b – ixtiyoriy chekli son.
0 2 4 6 0 1 2 3

4. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalarini qo‘llab bir necha sonlar ketma-ketliklarining hosil qiluvchi funksiyalarini toping.
   
5. 
   Quyidagi rekurrent formulalar bilan berilgan ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini va ketma-ketliklar elementlarining aniq ifodalarini toping:
   

a) a_n2  4a_n1  4a_n , a₀  a₁  1;

b) a_n3  3a_n2  3a_n1  a_n ,
a₀  1,
a₁  a₂  0 ;

d) a
  ³ a  ¹ a , a  0 , a  1, a
 2 .

n3
₂ n2 ₂ n 0 1 2

4. 
   Bine formulasidan foydalanib Fibonachchi qatoridagi o‘n ikkinchi elementni aniqlang.
   
5. 
   Fibonachchi sonlarining (qar. 4- paragrafda keltirilgan) 4.1-, 4.2-, 4.3- va
   

4.5-xossalarini
u₀  0, u₁  1, u_n  u_n2  u_n1
( n  2 ) ketma-ketlikining hosil

qiluvchi funksiyasidan foydalangan holda isbotlang.

4. 
   Isbotlang: a)
   

R(20)  627 ; b)
R(21)  792 ; d)
R(22)  1002 .