Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi
F(x,y,y’)=0 ( )
Agar ( )tenglamaning ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa
(1)
tenglamaga ega bo’lamiz.(1) tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi
Koshi masalasining qo’yilishi;(1) tenglama berilgan bo’lib, unda funksiya tekislikning sohasida aniqlangan uzluksiz va interval o’qidagi interval bo’lsin, ni o’z ichiga oladigan intervalni va shu intervalda aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi hamda ushbu
(2) Shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani toppish talab etiladi. Har bir (1) ko’rinishdagi differensial tenglama uchun Koshi masalasi (1) ning yechimi bormi ? Agar bunday yechim bor bo’lsa, yagonami?-degan savollarga javob berish kerak bo’ladi.
Yuqoridagi savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi. Quyida ulardan asosiylarini keltiramiz.
1-Teorema (Koshi teoremasi).Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, uning bo’icha xususiy hosilasi biror sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa u holda
(1) tenglamaning ni o’z ichiga oladigan biror intervalda aniqlangan va har bir berilgan nuqta uchun boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
(1) tenglamaning ikkita va yechimlari da ustma-ust tushsa, ya’ni bo’lsa u holda bu va yechimlar aniqlanish sohalarining umumiy qismida ustma ust tushadi.
Ta’rif Agar funksiya sohada aniqlangan bo’lib, shu funksiya uchun shunday son mavjud bo’lsaki, nuqtalar uchun ushbu
(L)
Tengsizlik bajarilsa u holda funksiya sohada bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi. L esa Lipshis o’zgarmasi deyiladi.
2- Teorema (Koshi-Pikar-Lendelef teoremasi) Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, sohada bo’icha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda har bir uchun shunday o’zgarmas son topiladiki, natijada (1) tenglamaning (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan va oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud bo’ladi. 3-Teorema(Peano teoremasi).Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda sohaning berilgan nuqtasi uchun (1) tenglamaning (2) shartni qanoatlantiradigan kamida bitta yechimi mavjud bo’ladi.
Mavjudlik va yagonalik teoremalarida va yechimlar o’zlari aniqlangan intervallarning umumiy qismida bir xil bo’lishi haqida gap bordi. Jumladan agar funksiya da funksiya da aniqlangan va
uchun bo’lsa u holda Lekin bu tasdiqdan zinhor ekani kelib chiqmaydi. Agar bo’lsa da aniqlangan yechim yechimning davomi deyiladi Bizni allbatta, davom ettirish mumkin bo’lmagan yechimlar qiziqtiradi. Bunday yechimlarni davomsiz yechimlar deyiladi.
Aniqrog’i, agar funksiya (1) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi bo’lib, shu yechimning davomidan iborat bo’lgan hech qanday yechimi mavjud bo’lmasa, u holda yechim davomsiz yechim deyiladi.
