Hosilani funksiyani tekshirishga tadbiqi

II BOB. HOSILA YORDAMIDA FUNKSIYANI TO’LIQ TEKSHIRISH BOSQICHLARI
2.1 Funksiyaning o’sish va kamayish shartlari
Funksiyaning o’zgarish xarakteri bilan uning hosilasi orasida bog’-liqlik mavjud bo’lib, hosila yordamida fiinksiya tabiatiga mansub bir qator xossalarni aniqlash mumkin.
V= [a;b] oraliqda у = f(x) fiinksiya berilgan bo’lib, har qanday shu oraliqdan tanlanadigan ikki x₁ va x₂ sonlar uchun x₁ < x₂ munosabatdan f(x₁)2) (f(x₁)>f(x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda у = f(x) funksiya V oraliqda o’suvchi (kamayuvchi) deyilishini eslatib o’tamiz (3-§ ga qarang).
V= [a;b] kesmada aniqlangan у = f(x) funksiya, shu kesmada uzluksiz va (a;b) intervalda differensiallanuvchi bolsin. Funksiyaning V oraliqda o’sishi (yoki kamayishi)ning yetarli sharti quyidagi teoremadan iborat.
1 - Teorema. V oraliqda differensiallanuvchi f(x) funksiya shu oraliqda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun, oraliqning har bir ichki nuqtasida P(x) hosilaning musbat (manfiy) bo’lishi yetarli.
X oraliqqa tegishli har qanday x₁ va x₂ nuqtalar qaralmasin, [x₁;x₂] kesmada f(x) funksiya uchun Lagranj teoremasi o’rinli, ya’ni, f(x₂) - f(x₁) = f(c) (x₂ - x₁), bu yerda x₁ < x₂ va с € (x₁;x₂). Tenglikdan, agar f(c) > 0 bo’lsa, f(x₂) > f(x₁) va funksiya o’suvchi, agarda f(c) < 0 bo’lsa, f(x₂)< f(x₁) va funksiya kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi.
F unksiya monotonlik alomatlarining geometrik izohi 1 rasmlarda keltirilgan.

a) f ′(c₁) = tga₁>0b) b) f ′(c₂) = tg a₂ < 0

1 - rasm.

у = f(x) funksiya grafigiga o’tkazilgan urinmalar X oraliq ichki nuqtalarida OX o’qi musbat yo’nalishi bilan o’tkir burchak hosil etsa, funksiya o’suvchi, o’tmas burchak hosil qilsa kamayuvchidir.

Masala. у = x- e^-2x funksiyani monotonlikka tekshiring.
Berilgan funksiya R da aniqlangan va har bir x€R nuqtada y’(x) = e^-2x · (1 - 2x) hosilaga ega bo’lib, differensiallanuvchidir. Agar x < 1/2 bo’lsa, y’(x) > 0 bo’lib, funksiya o’suvchi, agarda x > 1/2 bo’lsa, y(x) <0 bo’lib, funksiya kamayuvchidir.
Demak, у = х·е^-2х fijnksiya (-∞; l/2) oraliqda monoton o’suvchi, (l/2; ∞) oraliqda esa monoton kamayuvchidir.
Masala. f(x) = x-arctgx fiinksiyaning sonlar o’qida o’suvchi ekanligini isbotlang.
f ‘ (x) = (x-arctgx)’ = 1 - 1/1+x² bo’lib, har bir x€R uchun, f ‘(x) > 0. Demak, funksiya R da monoton o’suvchi.