Hosilani funksiyani tekshirishga tadbiqi

3 - Teorema. (1-yetarli shart) f(x) funksiya x₀ kritik nuqtaning biror δ atrofida differensiallanuvchi x₀ nuqtaning o’zida uzluksiz bo’lib, diffcrensiallanuvchi bo’lishi shart bo’lmasin. Agar (x₀-δ; x₀) va (x₀; x₀+ δ) intervallarda f ‘(x) hosila qarama-qarshi ishorali qiymatlarga erishsa, x₀ ekstremum nuqta bo’ladi. Xususan:
a) agarda (x₀-δ;x₀) da f(x) > 0, (x₀; x₀+δ) da f ‘(x) < 0 bo’lsa, x₀ qat’iy maksimum nuqta (3a - rasm); b) agarda (x_o- δ; x₀) da f ‘(x )<0, (x₀; x₀+δ) da f (x)>0 bo’lsa, x₀ - qat’iy minimum nuqta (3b - rasm).
Agarda f ‘(x) x₀ dan o’tayotib, o’z ishorasini saqlab qolsa, x₀ kritik nuqta ekstremum nuqta bo’la olmaydi (3с - rasm).

x₁-max(.) x₂-min (.) x₃-ekstremum (.) emas

3 - rasm


Masala. у = (x - 4)· funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.
Yuqorida funksiyaning kritik nuqtalari to’plami {0;l} aniqlangan edi. Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o’qini kritik nuqtalar yordamida intervallarga ajratamiz va yetarli shartlarni tekshirib ko’ramiz:

Demak, x = 0 kritik nuqta ekstremum nuqta emas, x = 1 nuqta esa, funksiyaning minimum nuqtasi bo’lib, y(l) = - 3.

4 - Teorema. (2-yetarli shart) f(x₀) = 0 bo’lib, x₀ statsionar nuqtada ikkinchi tartili hosila f «(x₀) mavjud bo’lsa, u holda agar f (x₀) <0 bo’lsa. x₀ – maksimum nuqta, agar f «(x₀)>0 bo’lsa, x₀ - minimum nuqta va agarda f «(x₀) = 0 bo’lsa, x₀ nuqtada ekstremumning mavjudlik masalasi ochiq qoladi.
Masala. у = x³ + 6x² funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.
Funksiya hosilasi y’= 3-(x²+4x) va y’(x) = 0 tenglama yechimlari x = -4, x = 0 nuqtalar uning statsionar nuqtalaridir. Ikkinchi tartibli hosila y»= 6 - (x+2). Statsionar nuqtalarda y»(- 4) = -12 < 0, y»(0) = 12 > 0 bo’lgani uchun, ikkinchi yetarli shartga ko’ra x = - 4 - qat’iy maksimum nuqta va y(- 4) = 32, x = 0 - qat’iy minimum nuqta va y(0) = 0.