Hosilani funksiyani tekshirishga tadbiqi

4. Funksiyaning qavariqligi. Egilish nuqtalari
Yuqoridagi rejada qavariq to’plamda berilgan qavariq yoki botiq funksiya ta’riflangan edi. Ko’p hollarda, qavariq iborasi qavariqligi bilan quyiga, botiq iborasi esa qavariqligi bilan yuqoriga qaragan deb yuritiladi.
y = f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz, (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, kesmada qavariq yoki botiq funksiyani o’zgacha ta’riflash va shu bilan birga, (a;b) intervalda ikki marta differcnsial-lanuvchi bo’lsa, [a;b] kesmada qavariqlik shartini aniqlash imkoni tug’iladi.

4-rasm
y = f(x) funksiya grafigi (a;b) interval chegarasida o’z urinmalaridan yuqorida yotsa, grafik [a;b] kesmada qavariqligi bilan quyiga yo’nalgan (yoki qavariq) deyiladi (4-a rasm). Agarda funksiya grafigi (a;b) interval chegarasida o’z urinmalaridan quyida yotsa, grafik [a;b] kesmada qavariqligi bilan yuqoriga yo’nalgan (yoki botiq) deyiladi (4-b rasm).

6 - Teorema. y = f(x) funksiya (a;b) intervalda ikkinchi tartibli f «(x) hosilasiga ega bo’lib, [a;b] kesmaning chetki nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u holda (a;b) intervalda f «(x) > 0 bo’lsa, funksiya grafigi [a;b] kesmada qavariqligi bilan quyiga, f «(x) ≤ 0 bo’lganda esa qavariqligi bilan yuqoriga yo’nalgan bo’ladi.
Masala. y = (x - 4)· funksiyani qavariqligini tekshiring.

x € (-∞;2)U(0; ∞) da f «(x) > 0 va funksiya grafigi qavariqligi bilan quyiga,

x € (-2;0) da f «(x) < 0 va funksiya qavariqligi bilan yuqoriga yo’naltirilgandir.
y = f(x) funksiya grafigining x₀ abssisali nuqtasiga o’tkazilgan urinma mavjud bo’lib, (x₀ - δ ; x₀) va (x₀; x₀ + δ) intervallarda funksiya grafigining qavariqligi turli yo’nalishda bo’lsa, u holda (x₀; f(x)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deyiladi.

5-rasm.
5 - a rasmda M₀(x₀; f(x₀)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasidir. 5-b rasmda M₁(x₁; f(x₁)) nuqta esa funksiya grafigining egilish nuqtasi bo’la olmaydi, chunki qavariqlik yo’nalishi turlicha bo’lgan bilan M₁(x₁; f(x₁)) nuqtada urinma mavjud emas.

7-teorema. (Egilish nuqta zaruriy sharti) Agar у = f(x) funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, M₀(x₀; f(x₀)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo’lsa, u holda yoki f «(x₀) = 0 yoki f «(x₀) - mavjud emas.