I-bob birinchi tartibli differensial tenglamalar 1-Ma’ruza mashg’ulot

1.1-ilova

Har bir mashg'ulot 0,5 balldan 2 ballgacha baholanadi. Ekspert guruxlarning ish natijalarini baholovchi me'zonlari

Me'zonlar	Ball	%	Gurux natijalari bahosi
			1	2	3	4
Axborotning to'liqligi	1,0	50
Masala yechimining boshqacha usuli, illyustratsiyasi(grafik tarzda taqdim etish, ayrim hisoblashlarni aniq ko'rsatish va h.k.)	0,6	30
Gurux faolligi (qo'shimcha, berilgan savol, javoblarning soni)	0,4	20
JAMI	2	100

86-100% / a'lo"

71-85% / - "yaxshi"

55-70% / - "qoniqarli"

0-54%-- "qoniqarsiz".

1.2.-ilova
“Kirish. Differensial tenglamalarga keltiriladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar, yechim tushunchasi, xususiy va umumiy yechim, integral chiziq, Koshi masalasi.Egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish” mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya, variyasion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi fanlarda keng qullaniladi.

Bu fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi.Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz.

Usha differensial tenglamalar, o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi.Bu model qancha mukammal bo’lsa,differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi.Shuni aytib utish kerakim, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin.

Ta’rif. Differensial tenglama deb, erkli uzgaruvchi  , noma’lum funksiya  va uning hosilalari orasidagi bog’lanishdan iborat bo’lgan tenglamaga aytiladi.

U simvolik ravishda

(1)

ko’rinishda yoziladi.

Bunda  ko’rilayotgan sohada o’z argumentlarining uzluksiz funksiyasidir.(1) tenglamada erkli uzgaruvchi, noma’lum funksiya va hosilalardan bir nechtasi qatnashmasligi mumkin. Lekin u differensial tenglama bo’lsa, u holda hosilalardan hech bo’lmaganda bittasi qatnashishi shart.

Differensial tenglama tarkibiga kirgan hosilalarning eng Yuqori tartibiga, differensial tenglamaning tartibi deyiladi.

Masalan (1) tenglama,  -chi tartibli differensial tenglamadir.

Agar tenlamadagi noma’lum funksiya faqat bitta erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi (ODT).

Agar tenglamadagi noma’lum funksiya bir nechta erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, tenglamada har-bir erkli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan xususiy hosilalar qatnashishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarga xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Masalan funksiya ikkita agrumentga bog’liq bo’lsin.

U holda

(2)

tenglamaga ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama

deyiladi.

(3)

ga esa birnichi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Birinchi tartibli ODT ning umumiy ko’rinishi

(4)

dan iborat.

Agar bu tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa ya’ni

yoki (5)

Tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.

Bunda funksiya tekislikning (sonlar tekisligi R -haqiqiy sonlar to’plami) sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan

funksiya uchun quyidagi uchta shart:

bajarilsa, u holda bu funksiya integralda (5) tenglamaning yechimi deyiladi.

Agar

(6)

(6) funksiya, (5) tenglamani qanoatlantirsa, unga tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.

Bunda  ixtiyoriy o’zgarmas son (parametr) Ba’zi vaqtlarda umumiy yechim oshkormas

(7)

ravishda berilishi mumkin (6) yechimga, tenglamaning umumiy integrali deyiladi.

Tenglamaninng umumiy yechimi yoki umumiy integrali, geometrik nuqtayi nazardan, bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Tekislikda har-bir yechim egri chiziqdan iborat. Unga tenglamaning integral chizig’i deyiladi. (5)tenglamani geometrik nuqtayi nazardan tekshiramiz.

 va o’zgaruvchini tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari uchun qabul qilsak, u holda funksiya aniqlangan sohaning har-bir  ,  nuqtasiga (5) tenglama, sohaning har-bir nuqtadan o’tuvchi integral chiziqqa o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisiyentini ifodalaydi. Boshqacha aytganda qiymatini mos qo’yadi. ningqiymati, integral chizig’ining ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchakning  ini bildiradi. Ya’ni har-bir nuqtada urinmaning yo’nalishini aniqlaydi.Biz yunalishlar maydoniga ega bo’lamiz.

Demak geometrik nuqtai nazardan birinchi tartibli differensial tenglamani yechish, shunday chiziqlarni topish kerakkim uning har-bir nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi, shu nuqtadagi yo’nalishlar maydoniga mos kelsin.

TA’RIF. Bir xil yo’nalish maydoniga ega bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rniga izoklina deyiladi.

Izoklinalarga ko’ra, differensial tenglamalarning integral chiziqlarni chizish mumkin.