Iii bob. Jarayonlarni modellashtirishda tabiatning saqlanish qonunlaridan va boshqa usullardan foydalanish

III bob. Jarayonlarni modellashtirishda tabiatning saqlanish qonunlaridan va boshqa usullardan foydalanish


3.1. Energiyaning saqlanish qonuni. Massa (materiya)ning saqlanish qonuni. Impulsning saqlanish qonuni.


Reja

1. 
   Energiya va materiyaning saqlanish qonunlaridan foydalanish.
   
2. 
   Impulsning saqlanish qonuni. Raketa harakatini ifodalovchi matematik model.
   

1. Tayanch iboralar: tabiat fundamental qonunlari, energiyanig saqlanish qonuni, materiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni.

1. Energiya va materiyaning saqlanish qonunlaridan foydalanish. Modellarni qurishning eng ko’p qo’llaniladigan usuli tabiatning fundamental qonunlarini aniq holatlarda qo’llashdir. Bu qonunlar bir qancha tajribalar asosida tasdiqlangan, umumtanolingan qonunlar bo’lib, ilmiy-texnikaviy yutuqlar to’plamining poydevori hisoblanadi.
a) Energiyaning saqlanish qonuni. Bu qonun deyarli 200 yildan beri ma’lum bo’lib, tabiatning barcha qonunlari ichida muhim ahamiyat kasb etadi. Bu qonunni sodda ko’rinishdagi quyidagi masalada qo’llanilishini qaraymiz: yaqin joyda maxsus laboratoriya bo’lmasa, revolverdan otilgan o’qning tezligini kanday aniqlash mumkin.
Buni aniqlashda erkin aylanuvchi uzunlikdagi sterjenli mayatnik tipidagi uskunadan foydalanish mumkin. Bu sterjenga ma’lum og’irlikka ega bo’lgan yuk osilib, unga rivolverdan og’irlikdagi o’q kelib urilsin. Natijada tezlikga ega bo’lgan o’qning kinetik energiyasi miqdorga teng bo’ladi. Bu energiya natijasida sterjenga osilgan yuk

potensial energiyasi miqdori esa ga teng bo’ladi, bunda – o’q ta’sir etgandagi yukning tebranma harakat tezligi. Shunday qilib, energiyaning saqlanish qonuniga ko’ra bu energiyalar teng bo’lishi lozim:
. (1)
Mexanika kursidan ma’lumki, burchak tezlik

miqdorga teng bo’ladi, bunda – erkin tushish tezlanishi, – yukning eng katta og’ish burchagi. Bu tenglikni (1) formulaga qo’ysak, ushbu

tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikdan revolver o’qining tezligi

formula bilan aniqlanishi kelib chiqadi.
O’q va mayatnik orasida ro’y berayotgan hodisa sof mexanik jarayon bo’la olmaydi. Shuning uchun mikdorni hisoblash uchun mexanik energiyaning saqlanish qonunidan foydalanish noto’g’ri. Chunki mexanik energiya o’zgarib, to’la energiya saqlanadi. Bu o’q tezligini aniqlashning quyi chegarasinigina beradi.
b) Materiyaning saqlanish qonuni. Yana bir oddiy ko’rinishdagi hayotiy masalani qaraymiz: og’irlikdagi ho’l mevani quritganda, undan qancha miqdorda quruq meva tayyorlanadi. Buni aniqlash uchun mevadagi suv miqdorini aniqlash kifoya. Chunki materiyaning saqlanish qonuniga ko’ra , bunda va mos holda og’irlikdagi ho’l mevada suv va quruq meva (qolgan moddalar) og’irliklari. Bu tenglikdan esa bo’lishi tabiiydir.
Materiyaning saklanish konunini modellashtirishda qo’llash sohasi nihoyatga keng hisoblanadi.
Quyidagi masalani qaraymiz:
Masala. Kichik miqdordagi radioaktiv modda (uran) qalin qoplamli material (qo’rg’oshin) bilan qoplangan. Bu moddani saqlash yoki uning energiyasidan foydalanish vaziyati mavjud. Mavjud parametrlardan foydalangan holda radioaktiv moddaning sochilish qonuniyatini aniqlang.
Masalada kichik miqdor deganda, radioaktiv moddaning erkin tarqalish uzunligi moddaning xarakterli o’lchami dan sezilarli darajada katta, ya’ni tushuniladi. Qalin qatlamli material deganda, tarqalayotgan radioaktiv moddalarni barchasi II sohada

(qo’rg’oshinda) yutiladigan qilib olingan, ya’ni zarralarni ikkinchi moddada tarqalish uzunligi moddaning xarakterli o’lchami dan sezilarli darajada kichik, ya’ni .
Shunday qilib, qaralayotgan masalada I sohadan (radioaktiv moddadan) uchib chiquvchi barcha zarrachalar II sohada (qo’rg’oshinda) yutiladigan (shu sohadan chiqib ketmaydigan) vaziyatni qaraymiz. Bu holat materiyaning saqlanish qonunini o’zginasidir. Agar boshlang’ich momentda moddalarning vaznlari va bo’lsa, materiyaning saqlanish qonuniga ko’ra ixtiyoriy vaqtdagi moddalarning vaznlari uchun ushbu balans o’rinli bo’ladi:
, (2)
Bunda va – birinchi va ikkinchi moddalarning momentdagi vaznlari. Faqatgina bitta tenglamaning o’zi va qiymatlarning o’lchamini aniqlashning imkoniyatini bermaydi. Moddalarning xarakteridan kelib chiqqan holda, vaqt birligida sochilayotgan atomlar soni radioaktiv moddalar soniga to’g’ri proporsional bo’ladi. Shuning uchun ma’lum vaqt mobaynida va momentlar oralig’ida sochilayotgan atomlar soni
, ,
ifodani qanoatlantiradi. Bunda – momentdagi sochilayotgan zarralar soni. Zarrachalar soni kamayib borayotganligi tufayli oxirgi tenglikning o’ng tomoniga “–” ishorasi qo’yiladi. miqdor esa qaralayotgan vaqt oralig’idagi o’rtacha atomlar sonini bildiradi, ya’ni

deyish mumkin. Shuning uchun oxirgi tenglikdan
yoki
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda vaqtni kichik miqdorligini e’tiborga olsak, ushbu

differensial tenglamani hosil qilamiz. Endi , – 1-modda atomi og’irligi, ekanligini e’tiborga olsak,
(3)
tenglamani hosil qilamiz.
Har bir atom o’z-o’zidan radioaktivligi uchun uni o’rab turuvchi modda holatidan bog’liqsiz holda sochilish ehtimoliga ega bo’ladi. Shuning uchun ham radioaktiv moddalar qancha ko’p bo’lsa, zarralarning sochilishi shuncha ko’p bo’ladi va aksincha. proporsionallik koeffisiyenti esa konkret moddadan bog’liq holda aniqlanadi. (2) va (3) tenglamalar va shartlar asosida , va miqdorlar bilan birgalikda qaralayotgan masalaning matematik modelini ifodalaydi.
(3) tenglamani integrallab, bo’linuvchi modda massasi eksponensial qonun bo’yicha kamayishini ko’rish mumkin
,
miqdorni boshlang’ich shart ekanligidan, izlanayotgan massa

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan, da bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni vaqt o’tishi bilan modda to’liq yo’q bo’lib ketadi. (2) ifodaga ko’ra massalar yig’indisi o’zgarmas bo’lganligi uchun, II sohada modda miqdori ortib boradi:

va da bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni vaqt o’tishi bilan, zarralarning sochilishi tufayli birinchi moddadagi barcha radiaktiv moddalar ikkinchi moddaga ko’chib o’tar ekan.